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O gráfico da função é côncavo para baixo no intervalo (-,0) e côncava para cima no intervalo (0, ).

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Apresentação em tema: "O gráfico da função é côncavo para baixo no intervalo (-,0) e côncava para cima no intervalo (0, )."— Transcrição da apresentação:

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3 O gráfico da função é côncavo para baixo no intervalo (-,0) e côncava para cima no intervalo (0, ).

4 Como determinar a concavidade do gráfico de uma função? Observe o crescimento e o decrescimento da derivada da função f:

5 Observe que no intervalo (-, 0), a derivada y decresce e o gráfico é côncavo para baixo. Já no intervalo (0, ), a derivada y cresce e o gráfico é côncavo para cima.

6 Portanto, para determinar a concavidade do gráfico de f, precisamos verificar onde a função f é crescente e onde ela é decrescente, ou seja, precisamos verificar onde a derivada de f é positiva e onde a derivada de f é negativa. Mas, a derivada de f é a função f, logo, para saber a concavidade da função f, precisamos estudar o sinal da função f.

7 Teorema: Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I. Se f>0 em I, então f tem a concavidade para cima em I. Se f>0 em I, então f tem a concavidade para cima em I. Se f<0 em I, então f tem a concavidade para baixo em I. Se f<0 em I, então f tem a concavidade para baixo em I.

8 Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão. Ponto de inflexão

9 x < 00 < x < 22 < x < 33 < x Sinal de f---+ Comportamento de fdecrescente crescente Sinal de f+-++ Comportamento de fCôncava para cima Côncava para baixo Côncava para cima Côncava para cima f(0)=10 f(2)=-6 f(3)=-17

10 Seja f uma função tal que f(x 0 ) = 0 e tal que a segunda derivada de f exista em um intervalo aberto contendo x 0. Se f (x 0 ) > 0, então f tem um mínimo relativo em ( x 0, f(x 0 )). Se f (x 0 ) < 0, então f tem um máximo relativo em ( x 0, f(x 0 )). Se f (x 0 ) = 0, o teste falha. Neste caso, podemos usar o Teste da Primeira Derivada.


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