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ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Energia Potencial de Deformação:

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1 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Energia Potencial de Deformação: Nas seções transversais das barras de uma estrutura reticulada atuam os esforços N, V x, V y, T, M x e M y,. Desprezando as deformações devidas aos esforços cortantes, a energia potencial de deformação acumulada num elemento infinitesimal da barra de área A e comprimento dz (variação da energia) é:

2 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Energia Potencial de Deformação: Logo,

3 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema de Castigliano: "A derivada parcial da energia potencial de deformação em relação a um esforço qualquer é igual ao deslocamento do ponto de aplicação do esforço na sua direção." P1P1 P2P2 M1M1 1 1

4 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema de Castigliano: P1P1 P2P2 1 2 P1P1 P2P2 1 2 dP 1 d 1 P1P1 P2P2 1 2 dP 1 d 1 dP 1 d 1 Introduzindo um incremento dP 1 : Acrescentando o sistema original:

5 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema de Castigliano: Igualando as duas expressões desprezível

6 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Integrais de Mohr: O teorema de Castigliano somente permite determinar o deslocamento do ponto de aplicação de um esforço na sua direção. Para se determinar os deslocamentos de qualquer ponto em qualquer direção pode-se utilizar o seguinte recurso: Integrais de Mohr: - aplica-se um esforço virtual no ponto desejado, na direção desejada; - determina-se a energia de deformação do sistema em função deste esforço; - aplica-se o teorema de Castigliano; - e anula-se o esforço virtual.

7 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Integrais de Mohr: Seja N, T, M x e M y os esforços internos numa seção, decorrentes de um sistema de esforços externos aplicados em uma estrutura e N, T,M x, M y os esforços internos decorrentes de um esforço virtual unitário aplicado na direção onde se deseja avaliar o deslocamento. onde E v é o esforço virtual.

8 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Integrais de Mohr: Exercícios As integrais de Mohr constituem o chamado Método da Carga Unitária.

9 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): "O trabalho realizado por um esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação de outro esforço qualquer é igual ao trabalho realizado pelo segundo esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação do primeiro esforço." P1P P2P2 deslocamento do ponto 1 deslocamento do ponto 2 ij : deslocamento do ponto i provocado pela ação de P j

10 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos, P1P aplicando-se inicialmente P 1 e posteriormente P 2 P1P P2P2 P2P2 22 P2P P1P aplicando-se inicialmente P 2 e posteriormente P 1

11 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): Igualando os trabalhos realizados nas duas situações de carregamento, P1P P2P2 P2P2 22 P1P (reciprocidade dos trabalhos)

12 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): Se P 1 = P 2, (reciprocidade dos deslocamentos) "O deslocamento do ponto 1 devido à ação de um esforço aplicado no ponto 2 é igual ao deslocamento do ponto 2 devido à ação de igual esforço aplicado no ponto 1." P 1 2 P 1 2 M 1 2 M 1 2

13 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Seja a viga abaixo representada. O seu grau de hiperestaticidade é: SP X 1 é o hiperestático, isto é, o esforço incógnito abundante. X1X1

14 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método A Equação de Compatibilidade dos Deslocamentos é: onde 1 é o deslocamento, na direção de X 1, da seção onde foi retirado o apoio. Usando o PSE, X1X1 X1X1 =+ carregamento real hiperestático

15 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Para cada um destes carregamentos, a seção onde foi retirado o apoio se deslocará. carregamento real hiperestático X 1 10 é o deslocamento, na direção de X 1, devido ao carregamento real na viga e 11 é o deslocamento, na direção de X 1, devido ao hiperestático X 1 = 1.

16 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Assim, Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são, então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis. Os deslocamentos 10 e 11 são determinados pelo Método da Carga Unitária.

17 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Usando o SP abaixo, a equação de compatibilidade dos deslocamentos será: X1X1 ou SP onde 1 e é o deslocamento angular, na direção de X 1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte esquerda e 1 d é o deslocamento angular, na direção de X 1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte direita.

18 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método = + carregamento real hiperestático X1X1 X1X1 10 e 10 d carregamento real hiperestático 11 e X 1 11 d X 1 Usando o PSE, Deslocamentos no SP: 10 e – 10 d é o deslocamento, na direção de X 1, devido ao carregamento real e 11 e – 11 d é o deslocamento, na direção de X 1, devido ao hiperestático X 1 = 1.

19 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Logo, Esta formulação é a base do processo denominado Equação dos Três Momentos, aplicável a vigas contínuas. Os deslocamentos 10, e 11 são determinados pelo Método da Carga Unitária. Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são,então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis. onde

20 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Seja o pórtico abaixo representado. O seu grau de hiperestaticidade é: VyVy MxMx NN VyVy MxMx SP X2X2 X3X3 X1X1 X1X1 X2X2 X3X3 X 1 = N, X 2 = V y, X 3 = M x são os hiperestáticos.

21 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método As Equações de Compatibilidade dos Deslocamentos são: SP X2X2 X3X3 X1X1 X1X1 X2X2 X3X3 ou onde i e é o deslocamento, na direção de X i, da seção cortada, na parte esquerda e i d é o deslocamento, na direção de X i, da seção cortada, na parte direita. 1 e, 1 d, 2 e e 2 d são deslocamentos lineares enquanto 3 e e 3 d são deslocamentos angulares

22 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Usando o PSE, X2X2 X3X3 X1X1 X1X1 X2X2 X3X3 = X1X1 X1X1 X2X2 X2X2 X3X3 X3X3 +++ (a) (b)(c)(d) (a): SP submetido ao carregamento real da estrutura hiperestática; (b): SP submetido ao hiperestático X 1 ; (c): SP submetido ao hiperestático X 2 ; (d): SP submetido ao hiperestático X 3.

23 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Para cada um destes carregamentos a seção cortada se deslocará, à esquerda e à direita. 10 e X Y Z SG 10 d 20 d 30 e 20 e 30 e i0 e – i0 d é deslocamento da seção cortada, na direção de X i, devido ao carregamento real; 1j e X j X Y Z SG 1j d X j 2j d X j 3j e X j 2j e X j 3j e X j ij e – ij d é deslocamento da seção cortada, na direção de X i, devido ao hiperestático X j = 1.

24 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método A equação geral de compatibilidade de deslocamentos é ou onde g é o grau de hiperestaticidade da estrutura. Assim, para o pórtico plano do exemplo, tem-se o seguinte sistema de equações lineares: onde Os deslocamentos i0, e ij são determinados pelo Método da Carga Unitária.

25 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Determinação de Deslocamentos: Como o SP equivale à estrutura hiperestática, estática e geometricamente, os deslocamentos dos pontos das seções desta estrutura são exatamente os mesmos verificados no SP. Logo, após conhecidos os hiperestáticos, pelo Método dos Esforços, pode-se determinar qualquer deslocamento em qualquer seção da estrutura hiperestática, pelo Método da Carga Unitária, na seção equivalente no SP. = ? X1X1 Exercícios

26 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: O processo denominado Equação dos Três Momentos é aplicável a vigas contínuas. Advém do Método dos Esforços, tomando-se, como SP, a viga isostática derivada da viga contínua dada por introdução de rótulas sobre os apoios intermediários. viga contínua SP R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 R5R5 L1L1 L2L2 L3L3 L4L4 M5M5 M1M1 X3=M4X3=M4 X2=M3X2=M3 X1=M2X1=M2 R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 R5R5 L1L1 L2L2 L3L3 L4L4 M5M5 M1M1 g = n-2, onde n é o número de apoios da viga.

27 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: O SP é um conjunto de vigas biapoiadas submetidas ao carregamento real e aos hiperestáticos X i =M i+1. As equações de compatibilidade dos deslocamentos serão ou onde i = 1, n-2. Como todos os hiperestáticos são momentos fletores, os deslocamentos são rotações. Assim, ou

28 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: i = 1, n Desenvolvendo as equações acima:

29 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: As rotações à esquerda e à direita do nó j são determinadas como indicado abaixo. L i-1 MiMi M i-1 LiLi M i+1 MiMi MiMi M i-1 M i+1 MiMi Assim, a equação acima se resume a (Equação dos Três Momentos)

30 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: rotações, no SP, à esquerda e à direita do nó i, respectivamente, devidas ao carregamento real. rotação, no SP, à esquerda do nó i, devida a M i-1 =1. rotação, no SP, à direita do nó i, devida a M i+1 =1. rotações, no SP, à esquerda e à direita do nó i, respectivamente, devidas a M i =1. L i-1 M i-1 =1 L i-1 M i =1 L i-1 LiLi M i =1 LiLi M i+1 =1 LiLi

31 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: Resolvendo pelo Método da Carga Unitária ou por qualquer outro método (integração da linha elástica ou Analogia de Mohr): Assim, a equação fica: Convenção de Sinais: ou A cada apoio interno corresponde uma equação.

32 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: Observações: a) Utilizando os valores absolutos das rotações devidas ao carregamento real, a equação fica: b) Caso as rotações sejam calculadas pela Analogia de Mohr, corresponderão às reações nos apoios da viga conjugada. A equação, então, fica:.

33 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: Observações: R1R1 R2R2 R3R3 L1L1 L2L2 L3L3 M1M1 M3M3 R1R1 R2R2 R3R3 L1L1 L2L2 M1M1 V3dV3d d) Caso haja um balanço, pode-se reduzir as cargas no balanço ao apoio correspondente. c) Se a rigidez EI x for constante, a equação se simplifica: ou

34 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: Observações: e) Caso haja um engaste em alguma extremidade, haverá mais uma incógnita (o momento fletor no engaste) e a equação de compatibilidade de deslocamentos correspondente será para engaste no primeiro apoio ou para engaste no último apoio. Estas expressões podem ser obtidas da equação geral, considerando no primeiro caso, e no segundo.

35 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Fim do Capítulo


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