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COORDENADAS NUM EIXO Num eixo a posição de um ponto fica definida por um só número. Num eixo a posição de um ponto fica definida por um só número. A 03.

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1 COORDENADAS NUM EIXO Num eixo a posição de um ponto fica definida por um só número. Num eixo a posição de um ponto fica definida por um só número. A 03 x A 3

2 O Referencial Cartesiano no Plano Eixo das Abcissas Ordenadas Origem x y 0

3 As Coordenadas no Plano x y 0 b a P P (a, b) O Ponto P tem abcissa a e ordenada b. a e b são as coordenadas do ponto P. a e b são as coordenadas do ponto P. No plano a posição de um ponto fica definida por um par ordenado de números.

4 Síntese A uma dimensão A duas dimensões EixoPlano A x A (a,b) A A

5 z y x 0 Referencial Cartesiano no Espaço Origem Eixo das Abcissas Ordenadas Cotas

6 Os três eixos são perpendiculares dois a dois (referencial ortogonal) e considera-se a mesma unidade de comprimento nos três eixos (referencial monométrico). Referencial Cartesiano no Espaço z y x 0

7 No espaço a posição de um ponto fica definida por um terno ordenado de números. Referencial Cartesiano no Espaço z y x 0 A A ( 2,3,0 ) 3 2 A tem: Abcissa 2 Abcissa 2 Ordenada 3 Ordenada 3 Cota 0 Cota 0

8 Referencial Cartesiano no Espaço z y x 0 De um modo geral P (a,b,c) abcissa Ordenada Cota

9 Referencial Cartesiano no Espaço Conclusão: Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos pontos do espaço e o conjunto dos ternos reais ( ).

10 z y x 0 A 3 -4 B 4C A ( 3, 0, 0 ) B ( 0, -4, 0) C C ( 0, 0, 4 ) Coordenadas de Pontos nos Eixos A A ( 3, 0, 0 ) B B ( 0, -4, 0)

11 PLANOS COORDENADOS Os três eixos coordenados Ox, Oy e Oz definem três planos, perpendiculares entre si: Os três eixos coordenados Ox, Oy e Oz definem três planos, perpendiculares entre si: plano xOy - plano xOy - plano yOz - plano xOz 0 z x y

12 Os planos dividem o espaço em oito octantes. Os octantes 0 z x y 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º

13 PLANO xOy x z y P Conclusão: Todo o ponto deste plano tem cota 0, logo o plano pode ser definido por z = 0. O plano xOy (z = 0) é perpendicular a Oz.

14 Plano z = 5 5 Condição do Tipo z = k Plano z = 0 -3 Plano z = -3 z y x 0 Estes planos são perpendiculares ao eixo Oz e paralelos ao plano xOy. Estes planos são perpendiculares ao eixo Oz e paralelos ao plano xOy.

15 PLANO xOz Conclusão: Todo o ponto deste plano tem ordenada 0, logo o plano pode ser definido por y = 0. O plano xOz (y = 0) é perpendicular a Oy. z 0 x P

16 Plano y = 0 Plano y = -3 Plano y = 4 4 Condição do Tipo y = k -3 z y x 0 Estes planos são perpendiculares ao eixo Oy e paralelos ao plano xOz. Estes planos são perpendiculares ao eixo Oy e paralelos ao plano xOz.

17 PLANO yOz 0 z x y P Conclusão: Todo o ponto deste plano tem abcissa 0, logo o plano pode ser definido por x = 0. O plano yOz (x = 0) é perpendicular a Ox.

18 Plano x = 0 Condição do Tipo x = k Plano x = Plano x = 2 z y x 0 2 Estes planos são perpendiculares ao eixo Ox e paralelos ao plano yOz. Estes planos são perpendiculares ao eixo Ox e paralelos ao plano yOz.

19 Simetrias em relação a uma recta r P P P é simétrico P em relação a r se: PP e r são concorrentes; PP r; r é a mediatriz de [ PP ]

20 Simetrias em relação a um plano P P P é simétrico do ponto P se PP PP P e P são equidistantes de P e P são equidistantes de

21 Simetrias em relação ao plano xOy z x y P P P é simétrico de P em relação ao plano xOy P (x,y,z) P (x,y,-z)

22 0 z x y Simetrias em relação ao plano xOz P P P é simétrico de P em relação ao plano xOz P (x,y,z) P (x,-y,z)

23 P P Simetrias em relação ao plano yOz 0 z x y P é simétrico de P em relação ao plano yOz P (x,y,z) P (-x,y,z)

24 Condição do Tipo x = k e y = c z y x 0 -3 A condição x = k e y = c define uma recta paralela a Oz, ou seja, uma recta perpendicular ao plano xOy. x = k y = c

25 Condição do Tipo y = k e z = c z y x 0 A condição y = k e z = c define uma recta paralela a Ox, ou seja, uma recta perpendicular ao plano yOz. y = k z = c

26 Condição do Tipo x = k e z = c z y x 0 A condição x = k e z = c define uma recta paralela a Oy, ou seja, uma recta perpendicular ao plano xOz. x = k z = c

27 Distância entre 2 pontos na recta a b x d PQ = |a-b| P a Q b A distância entre P e Q é dada por d PQ = |a - b|

28 Distância entre 2 pontos no plano x y 0 P(a 1,b 1 ) Q(a 2,b 2 ) b1b1b1b1 a2a2a2a2 P Q R a1a1a1a1 b2b2b2b bbaad PQ 2

29 Distância entre 2 pontos no espaço z y x 0 P Q P(a 1,b 1,c 1 ) Q(a 2,b 2,c 2 ) R

30 A circunferência Circunferência de centro C (a,b) e raio r é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a C é igual a r e tem por equação:

31 Superfície esférica De centro C(x0,y0,z0) raio R P(x,y,z) um ponto da superfície esférica O que é equivalente a

32 O círculo Círculo de centro C (a,b) e raio r é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a C é menor ou igual a r e tem por equação:

33 A esfera De centro C(x0,y0,z0) R o raio P(x,y,z) um ponto da superfície esférica ou interior a ela

34 Plano Mediador ABM O Plano mediador de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos equidistantes de A e de B.


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