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COORDENADAS NUM EIXO Num eixo a posição de um ponto fica definida por um só número. A • x 3 A 3.

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1 COORDENADAS NUM EIXO Num eixo a posição de um ponto fica definida por um só número. A x 3 A

2 O Referencial Cartesiano no Plano
x y Origem Eixo das Abcissas Eixo das Ordenadas

3 As Coordenadas no Plano
No plano a posição de um ponto fica definida por um par ordenado de números. x y b a P P (a , b) O Ponto P tem abcissa a e ordenada b. a e b são as coordenadas do ponto P.

4 Síntese A uma dimensão A duas dimensões Eixo Plano A x A (a,b) A A

5 Referencial Cartesiano no Espaço
z y x Eixo das Cotas Origem Eixo das Ordenadas Eixo das Abcissas

6 Referencial Cartesiano no Espaço
Os três eixos são perpendiculares dois a dois (referencial ortogonal) e considera-se a mesma unidade de comprimento nos três eixos (referencial monométrico). z y x

7 Referencial Cartesiano no Espaço
No espaço a posição de um ponto fica definida por um terno ordenado de números. z y x A ( 2,3,0 ) A tem: Abcissa 2 Ordenada 3 Cota 0 3 2 A

8 Referencial Cartesiano no Espaço
z y x Ordenada De um modo geral P (a,b,c) abcissa Cota

9 Referencial Cartesiano no Espaço
Conclusão: Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos pontos do espaço e o conjunto dos ternos reais ( ).

10 Coordenadas de Pontos nos Eixos
z 4 C A ( 3, 0, 0 ) A ( 3, 0, 0 ) B ( 0, -4, 0) B ( 0, -4, 0) -4 B y C ( 0, 0, 4 ) A 3 x

11 PLANOS COORDENADOS z - plano xOy - plano yOz y x - plano xOz
Os três eixos coordenados Ox, Oy e Oz definem três planos, perpendiculares entre si: z - plano xOy - plano yOz y x - plano xOz

12 Os octantes Os planos dividem o espaço em oito octantes. z x y

13 PLANO xOy z y x P Conclusão:
Todo o ponto deste plano tem cota 0, logo o plano pode ser definido por z = 0. O plano xOy (z = 0) é perpendicular a Oz.

14 Condição do Tipo z = k • • Plano z = 5 Plano z = 0 Plano z = -3 z 5 y
x Plano z = 5 5 Plano z = 0 -3 Plano z = -3 Estes planos são perpendiculares ao eixo Oz e paralelos ao plano xOy.

15 PLANO xOz z x P Conclusão:
x P Conclusão: Todo o ponto deste plano tem ordenada 0, logo o plano pode ser definido por y = 0. O plano xOz (y = 0) é perpendicular a Oy.

16 Condição do Tipo y = k • -3 z y x Plano y = 0 Plano y = 4 4
Plano y = 0 Plano y = 4 4 Plano y = -3 Estes planos são perpendiculares ao eixo Oy e paralelos ao plano xOz.

17 PLANO yOz z y x P Conclusão:
z x y P Conclusão: Todo o ponto deste plano tem abcissa 0, logo o plano pode ser definido por x = 0. O plano yOz (x = 0) é perpendicular a Ox.

18 Condição do Tipo x = k • • • z Plano x = -3 -3 y Plano x = 0 2
2 Plano x = -3 -3 Plano x = 0 Plano x = 2 Estes planos são perpendiculares ao eixo Ox e paralelos ao plano yOz.

19 Simetrias em relação a uma recta
P P’ r P’ é simétrico P em relação a r se: PP’ e r são concorrentes; PP’ r; r é a mediatriz de [ PP’ ]

20 Simetrias em relação a um plano
P’ é simétrico do ponto P se PP’ P e P’ são equidistantes de

21 Simetrias em relação ao plano xOy
z x y P P’ P’ é simétrico de P em relação ao plano xOy P (x,y,z) P’ (x,y,-z)

22 Simetrias em relação ao plano xOz
z x y P P’ P’ é simétrico de P em relação ao plano xOz P (x,y,z) P’ (x,-y,z)

23 Simetrias em relação ao plano yOz
z x y P P’ P’ é simétrico de P em relação ao plano yOz P (x,y,z) P’ (-x,y,z)

24 Condição do Tipo x = k e y = c
z A condição x = k e y = c define uma recta paralela a Oz, ou seja, uma recta perpendicular ao plano xOy. x = k -3 y x y = c

25 Condição do Tipo y = k e z = c
A condição y = k e z = c define uma recta paralela a Ox, ou seja, uma recta perpendicular ao plano yOz. z = c y y = k x

26 Condição do Tipo x = k e z = c
A condição x = k e z = c define uma recta paralela a Oy, ou seja, uma recta perpendicular ao plano xOz. z = c y x

27 Distância entre 2 pontos na recta
P a Q b dPQ= |a-b| a b x A distância entre P e Q é dada por dPQ = |a - b|

28 Distância entre 2 pontos no plano
y P(a1,b1) Q(a2,b2) Q b2 a2 a1 x R b1 P ( ) 2 1 b a d PQ - + =

29 Distância entre 2 pontos no espaço
z P P(a1,b1,c1) Q(a2,b2,c2) y R Q x

30 A circunferência Circunferência de centro C (a,b) e raio r é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a C é igual a r e tem por equação:

31 De centro C(x0,y0,z0) raio R P(x,y,z) um ponto da superfície esférica
O que é equivalente a

32 O círculo Círculo de centro C (a,b) e raio r é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a C é menor ou igual a r e tem por equação:

33 A esfera De centro C(x0,y0,z0) R o raio P(x,y,z) um ponto da superfície esférica ou interior a ela

34 Plano Mediador A B M O Plano mediador de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos equidistantes de A e de B.


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