Lógica Matemática.

Apresentação em tema: "Lógica Matemática."— Transcrição da apresentação:

1 Lógica Matemática

2 Proposições

3 Proposição Conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Transmitem pensamentos Afirmam fatos Sentença declarativa, afirmativa. Frases que possam assumir valor verdadeiro ou falso.

4 Proposições A Lua é um satélite da Terra.
Recife é a capital de Pernambuco. O México fica na América do Norte. 𝜋> 5 Vasco da Gama descobriu o Brasil. O Japão fica na África. Ela é muito talentosa!

5 Valor lógico Verdade: se a proposição é verdadeira
Falsidade: se a proposição é falsa

6 Proposições A Lua é um satélite da Terra.
Recife é a capital de Pernambuco. O México fica na América do Norte. π> 5 Vasco da Gama descobriu o Brasil. O Japão fica na África.

7 Princípios Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

8 Proposições simples Não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Designadas por letras latinas minúsculas p,q,r,s. p: Carlos é careca. q: Pedro é estudante. r: O número 25 é quadrado perfeito.

9 Valores lógicos p: A Lua é um satélite da Terra. V(p) = V
q: Recife é a capital de Pernambuco. V(q) = V r: Vasco da Gama descobriu o Brasil. V(r) = F

10 Exercício Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: O número 17 é primo. Fortaleza é a capital do Maranhão. Tiradentes morreu afogado. (3+5) 2 = -1 < -7 Todo número divisível por 5 termina por 5. O produto de dois número ímpares é um número par. O número 11 é primo.

11 Exercício Quais das frases a seguir são proposições:
Curitiba é a capital do Paraná. Todos os animais são mamíferos. Quero mais café! 3 + 4 = 7 1 > 2

12 Exercício 7 – 2 X > 3 Ele é médico. Ana é fisioterapeuta.
Você gosta de quiabo?

13 Proposições compostas e conectivos

14 Proposições compostas
Proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições. Designadas pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, S. P(p,q) P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. R: Se Carlos é careca, então é infeliz.

15 Conectivos Palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. R: Se Carlos é careca, então é infeliz. S: Não está chovendo. T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.

16 Tabela-Verdade

17 Tabela Verdade Toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa. V p V F p F

18 Tabela Verdade O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. A Tabela-Verdade é um recurso utilizado para determinar todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta, a partir de todas as possíveis atribuições de valores lógicos dados às proposições simples que a compõem.

19 Tabela Verdade V P(p,q) p q V F q V F p V F q F

20 Tabela Verdade Q(p,q,r) R(p,q,r,s)

21 Tabela Verdade

22 Interruptores F a V a a

23 Operações Lógicas sobre Proposições

24 Operações lógicas O raciocínio envolve certas operações sobre proposições: operações lógicas Estas operações obedecem a regras do cálculo proposicional

25 Negação (~)

26 Negação p: O Sol é uma estrela. V(p) = V
~p: O Sol não é uma estrela. V(~p) = F q: 2+3 = 5. V(q) = V ~q: 2+3≠ 5. V(~q) = F r: Roma é a capital da França. V(r)=F ~r: Roma não é a capital da França. V(~r)=V

27 Negação p: Carlos é mecânico. ~p: Não é verdade que Carlos é mecânico.
Ou ~p: É falso que Carlos é mecânico.

28 Negação a a

29 Negação p ~p V F Seja p uma proposição. ~p : não p
~p tem o valor lógico oposto ao de p ~V = F, ~F = V V(~p) = ~V(p) p ~p V F

30 Conjunção (∧)

31 Conjunção Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. p e q p ∧ q

32 Conjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∧ q
A neve é branca e 2<5.

33 Conjunção a b a b a b a b

34 Conjunção V ∧ V = V V ∧ F = F F ∧ V = F F ∧ F = F p q p ∧ q V F

35 Conjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∧ q
A neve é branca e 2<5. V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ V = V

36 Conjunção p: O céu é roxo. q: 7 é um número primo. p ∧ q
O céu é roxo e 7 é um número primo. V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = F ∧ V = F

37 Conjunção p: Os elefantes são grandes. q: 5 < 2. p ∧ q
Os elefantes são grandes e 5 < 2. V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ F = F

38 Conjunção p: 10 < 5. q: 20 > 30. p ∧ q 10 < 5 e 20 > 30.
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = F ∧ F = F

39 Disjunção(∨)

40 Disjunção Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q são verdadeiras e falsidade (F) quando ambas as proposições são falsas. p ou q p∨q

41 Disjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∨ q
A neve é branca ou 2<5.

42 Disjunção a a b b a a b b

43 Disjunção V ∨ V = V V ∨ F = V F ∨ V = V F ∨ F = F p q p ∨ q V F

44 Disjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∨ q
A neve é branca ou 2<5. V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ V = V

45 Disjunção p: O céu é roxo. q: 7 é um número primo. p ∨ q
O céu é roxo ou 7 é um número primo. V(p∨ q) = V(p) ∨ V(q) = F ∨ V = V

46 Disjunção p: Os elefantes são grandes. q: 5 < 2. p ∨ q
Os elefantes são grandes ou 5 < 2. V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ F = V

47 Disjunção p: 10 < 5. q: 20 > 30. p ∨ q 10 < 5 ou 20 > 30.
V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = F ∨ F = V

48 Disjunção exclusiva (V)

49 Disjunção exclusiva A palavra ou tem dois sentidos:
P: Carlos é médico ou professor Q: Mario é alagoano ou gaúcho P: Ou inclusivo, ambas as situações podem acontecer Q: Ou exclusivo, somente uma das situações pode acontecer

50 Disjunção exclusiva Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras. A falsidade (F) é quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. p∨q

51 Disjunção exclusiva p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∨ q
A neve é branca ou 2<5, mas não ambas.

52 Disjunção exclusiva p q p ∨ q V F V ∨ V = F V ∨ F = V F ∨ V = V
F ∨ F = F p q p ∨ q V F

53 Condicional()

54 Condicional Chama-se proposição condicional uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade(F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. Se p então q p implica q pq

55 Condicional pq p é condição suficiente para q
q é condição necessária para p p é antecedente q é consequente

56 Condicional Se a umidade subir acima de 90% então choverá em menos de 24 horas. p: A umidade sobe acima de 90% q: Choverá em menos de 24 horas. p  q p é condição suficiente para q

57 Condicional Uma condicional p  q não afirma que o consequente se deduz ou é consequência do antecedente p. Sempre que o antecedente for verdadeiro, o consequente deve ser verdadeiro para que o resultado de toda a proposição seja verdadeira. Uma condicional afirma unicamente a relação entre os valores lógicos do antecedente e do consequente.

58 Condicional VV = V VF = F FV = V FF = V p q pq V F

59 Condicional p q pq V F p: João é engenheiro. q: João sabe matemática.
Se João é engenheiro então sabe matemática. p q pq V F

60 BiCondicional()

61 BiCondicional Chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos. p se e somente se q p  q

62 BiCondicional p  q p é condição necessária e suficiente para q
q é condição necessária e suficiente para p (p  q) ∧ (q  p)

63 BiCondicional VV = V VF = F FV = F FF = V p q pq V F

64 BiCondicional João é careca, se e somente se, João não tem cabelo.
p: João é careca. q: João não tem cabelo. pq: Se João é careca, então João não tem cabelo e Se João não tem cabelo, então João é careca.

65 BiCondicional p q pq V F p: João é careca. q: João não tem cabelo.
Se João é careca, então João não tem cabelo e Se João não tem cabelo, então João é careca.

66 Ordem de precedência Negação (~) Conjunção e Disjunção Condicional
Bicondicional

67 Ordem de precedência p  q  r p ∨ ~q  q ∧ r (p  (q  r))
Bicondicional p ∨ ~q  q ∧ r p ∨ (~q)  q ∧ r ((p ∨ (~q)) ( q ∧ r )) Condicional