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Lógica Matemática
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Proposições
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Proposição Conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Transmitem pensamentos Afirmam fatos Sentença declarativa, afirmativa. Frases que possam assumir valor verdadeiro ou falso.
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Proposições A Lua é um satélite da Terra.
Recife é a capital de Pernambuco. O México fica na América do Norte. 𝜋> 5 Vasco da Gama descobriu o Brasil. O Japão fica na África. Ela é muito talentosa!
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Valor lógico Verdade: se a proposição é verdadeira
Falsidade: se a proposição é falsa
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Proposições A Lua é um satélite da Terra.
Recife é a capital de Pernambuco. O México fica na América do Norte. π> 5 Vasco da Gama descobriu o Brasil. O Japão fica na África.
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Princípios Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
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Proposições simples Não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Designadas por letras latinas minúsculas p,q,r,s. p: Carlos é careca. q: Pedro é estudante. r: O número 25 é quadrado perfeito.
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Valores lógicos p: A Lua é um satélite da Terra. V(p) = V
q: Recife é a capital de Pernambuco. V(q) = V r: Vasco da Gama descobriu o Brasil. V(r) = F
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Exercício Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: O número 17 é primo. Fortaleza é a capital do Maranhão. Tiradentes morreu afogado. (3+5) 2 = -1 < -7 Todo número divisível por 5 termina por 5. O produto de dois número ímpares é um número par. O número 11 é primo.
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Exercício Quais das frases a seguir são proposições:
Curitiba é a capital do Paraná. Todos os animais são mamíferos. Quero mais café! 3 + 4 = 7 1 > 2
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Exercício 7 – 2 X > 3 Ele é médico. Ana é fisioterapeuta.
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Proposições compostas e conectivos
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Proposições compostas
Proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições. Designadas pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, S. P(p,q) P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. R: Se Carlos é careca, então é infeliz.
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Conectivos Palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. R: Se Carlos é careca, então é infeliz. S: Não está chovendo. T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.
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Tabela-Verdade
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Tabela Verdade Toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa. V p V F p F
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Tabela Verdade O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. A Tabela-Verdade é um recurso utilizado para determinar todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta, a partir de todas as possíveis atribuições de valores lógicos dados às proposições simples que a compõem.
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Tabela Verdade V P(p,q) p q V F q V F p V F q F
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Tabela Verdade Q(p,q,r) R(p,q,r,s)
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Tabela Verdade
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Interruptores F a V a a
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Operações Lógicas sobre Proposições
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Operações lógicas O raciocínio envolve certas operações sobre proposições: operações lógicas Estas operações obedecem a regras do cálculo proposicional
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Negação (~)
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Negação p: O Sol é uma estrela. V(p) = V
~p: O Sol não é uma estrela. V(~p) = F q: 2+3 = 5. V(q) = V ~q: 2+3≠ 5. V(~q) = F r: Roma é a capital da França. V(r)=F ~r: Roma não é a capital da França. V(~r)=V
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Negação p: Carlos é mecânico. ~p: Não é verdade que Carlos é mecânico.
Ou ~p: É falso que Carlos é mecânico.
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Negação a a
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Negação p ~p V F Seja p uma proposição. ~p : não p
~p tem o valor lógico oposto ao de p ~V = F, ~F = V V(~p) = ~V(p) p ~p V F
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Conjunção (∧)
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Conjunção Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. p e q p ∧ q
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Conjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∧ q
A neve é branca e 2<5.
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Conjunção a b a b a b a b
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Conjunção V ∧ V = V V ∧ F = F F ∧ V = F F ∧ F = F p q p ∧ q V F
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Conjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∧ q
A neve é branca e 2<5. V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ V = V
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Conjunção p: O céu é roxo. q: 7 é um número primo. p ∧ q
O céu é roxo e 7 é um número primo. V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = F ∧ V = F
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Conjunção p: Os elefantes são grandes. q: 5 < 2. p ∧ q
Os elefantes são grandes e 5 < 2. V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ F = F
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Conjunção p: 10 < 5. q: 20 > 30. p ∧ q 10 < 5 e 20 > 30.
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = F ∧ F = F
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Disjunção(∨)
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Disjunção Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q são verdadeiras e falsidade (F) quando ambas as proposições são falsas. p ou q p∨q
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Disjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∨ q
A neve é branca ou 2<5.
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Disjunção a a b b a a b b
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Disjunção V ∨ V = V V ∨ F = V F ∨ V = V F ∨ F = F p q p ∨ q V F
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Disjunção p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∨ q
A neve é branca ou 2<5. V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ V = V
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Disjunção p: O céu é roxo. q: 7 é um número primo. p ∨ q
O céu é roxo ou 7 é um número primo. V(p∨ q) = V(p) ∨ V(q) = F ∨ V = V
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Disjunção p: Os elefantes são grandes. q: 5 < 2. p ∨ q
Os elefantes são grandes ou 5 < 2. V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = V ∨ F = V
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Disjunção p: 10 < 5. q: 20 > 30. p ∨ q 10 < 5 ou 20 > 30.
V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = F ∨ F = V
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Disjunção exclusiva (V)
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Disjunção exclusiva A palavra ou tem dois sentidos:
P: Carlos é médico ou professor Q: Mario é alagoano ou gaúcho P: Ou inclusivo, ambas as situações podem acontecer Q: Ou exclusivo, somente uma das situações pode acontecer
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Disjunção exclusiva Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras. A falsidade (F) é quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. p∨q
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Disjunção exclusiva p: A neve é branca. q: 2 < 5. p ∨ q
A neve é branca ou 2<5, mas não ambas.
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Disjunção exclusiva p q p ∨ q V F V ∨ V = F V ∨ F = V F ∨ V = V
F ∨ F = F p q p ∨ q V F
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Condicional()
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Condicional Chama-se proposição condicional uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade(F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. Se p então q p implica q pq
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Condicional pq p é condição suficiente para q
q é condição necessária para p p é antecedente q é consequente
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Condicional Se a umidade subir acima de 90% então choverá em menos de 24 horas. p: A umidade sobe acima de 90% q: Choverá em menos de 24 horas. p q p é condição suficiente para q
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Condicional Uma condicional p q não afirma que o consequente se deduz ou é consequência do antecedente p. Sempre que o antecedente for verdadeiro, o consequente deve ser verdadeiro para que o resultado de toda a proposição seja verdadeira. Uma condicional afirma unicamente a relação entre os valores lógicos do antecedente e do consequente.
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Condicional VV = V VF = F FV = V FF = V p q pq V F
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Condicional p q pq V F p: João é engenheiro. q: João sabe matemática.
Se João é engenheiro então sabe matemática. p q pq V F
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BiCondicional()
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BiCondicional Chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos. p se e somente se q p q
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BiCondicional p q p é condição necessária e suficiente para q
q é condição necessária e suficiente para p (p q) ∧ (q p)
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BiCondicional VV = V VF = F FV = F FF = V p q pq V F
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BiCondicional João é careca, se e somente se, João não tem cabelo.
p: João é careca. q: João não tem cabelo. pq: Se João é careca, então João não tem cabelo e Se João não tem cabelo, então João é careca.
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BiCondicional p q pq V F p: João é careca. q: João não tem cabelo.
Se João é careca, então João não tem cabelo e Se João não tem cabelo, então João é careca.
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Ordem de precedência Negação (~) Conjunção e Disjunção Condicional
Bicondicional
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Ordem de precedência p q r p ∨ ~q q ∧ r (p (q r))
Bicondicional p ∨ ~q q ∧ r p ∨ (~q) q ∧ r ((p ∨ (~q)) ( q ∧ r )) Condicional
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