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1 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro MODELO IMPEDÂNCIA E CÁLCULO DE REDES Professor: Lissandro Brito Viena

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1 1 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro MODELO IMPEDÂNCIA E CÁLCULO DE REDES Professor: Lissandro Brito Viena Site:

2 2 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Vimos que a matriz admitância de barra é esparsa e possui muitos elementos nulos. Vimos também que a matriz admitância de barra pode ser construída ramo por ramo de admitâncias primitivas. A matriz impedância de barra pode ser construída elemento por elemento usando algoritmos simples para incorporá um elemento por vez na representação do sistema. O trabalho empregado na construção da matriz impedância de barra é muito maior que o trabalho empregado na construção da matriz admitância de barra.

3 3 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Entretanto o conteúdo de informação matriz impedância de barra é maior do que a da admitância de barra. Veremos que cada elemento da diagonal da matriz impedância de barra reflete características importantes de todo sistema na forma da impedância de Thevénin da barra correspondente. A matriz admitância de barra é amplamente usada no fluxo de potência, enquanto a matriz impedância de barra favorece a análise de faltas.

4 4 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A matriz impedância e a matriz admitância de barra Por definição: Para uma rede de três nós independentes a forma padrão é: Para compreender o significado físico das várias impedâncias da matriz, faremos uma comparação com a admitância de barra.

5 5 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Partindo com as equações nodais fornecidas por: E com relação a barra 2 : Se as tensões nas barras 1 e 3 são nulas curto- circuitando as barras 1 e 3 ao nó de referência e a tensão V 2 é aplicada a barra 2 de tal forma que a corrente I 2 entra na barra 2, então a admitância própria da barra 2 é:

6 6 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A admitância própria de uma barra particular deve ser medida colocando em curto todas as barras e então encontrando a razão entre a corrente injetada na barra pela tensão aplicada na mesma.

7 7 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro O resultado equivale a adicionar todas as admitâncias conectadas diretamente a barra, que é o procedimento quando não existem admitâncias mútuas.

8 8 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Já os termos fora da diagonal principal podem ser calculados através da seguinte forma. Por definição Y 12 é a razão do negativo da corrente da corrente deixando a rede no nó em curto (1) pela tensão V 2. O negativo da corrente deixando a rede é utilizada desde que I 1 é definida como a corrente entrando na rede. A admitância resultante é o negativo da admitância conectada diretamente entre as barras (1) e (2).

9 9 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Para resolver a equação abaixo: Observe que V e I são vetores colunas de tensão das barras e de corrente entrando nas barras a partir de fontes de corrente.

10 10 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Expandindo a equação abaixo: Considerando a equação da barra 2.

11 11 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro O circuito é mostrado na figura abaixo:

12 12 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro É possível medir a impedância de transferência entre quaisquer duas barras da seguinte maneira: Por exemplo, Z 12 : As fontes de corrente I 1 e I 3 devem ser abertas. Já Z 32 :

13 13 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro O Teorema de Thévenin e Z bus Iremos examinar a relação entre os elementos da impedância de barra e a impedância de Thévenin apresentada pela rede em cada uma de suas barras. Para estabelecer a notação, denota-se as tensões de barra correspondentes aos valores iniciais de correntes de barra por I 0. Quando as correntes de barra são modificadas de seus valores iniciais para os novos valores:

14 14 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro As novas tensões de barra são fornecidas pelo princípio da superposição: Em que representa as variações nas tensões de barra de seus valores originais. Considere o seguinte esquema: VoVo ΔVΔV ΔVΔV

15 15 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Considere o seguinte esquema: Inicialmente consideramos que o circuito não está energizado de maneira que as correntes de barra I 0 e as tensões correspondentes V 0 são nulas.

16 16 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Então para dentro da barra (k) uma corrente ΔI k é injetada em direção ao sistema a partir de uma fonte de corrente conectada ao nó de referência. Pelo princípio da superposição, haverá variação de tensão em cada barra do sistema por causa da variação da corrente injetada na barra (k). Essa variação é dada através de um vetor:

17 17 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Expandindo:

18 18 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Simplificando as equações anteriores: Supondo agora que as tensões de barras iniciais são não nulas, podemos adicionar essas variações na tensão de cada barra resultando na tensão final após a variação da corrente injetada na barra (k).

19 19 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A tensão na barra (k) adquire um novo valor dado por: O circuito correspondente a essa equação é mostrado abaixo:

20 20 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A tensão na barra (k) adquire um novo valor dado por: Conclusão importante: A impedância Z kk = Z th corresponde à impedância de Thévenin entre a barra (k) e a referência.

21 21 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro De maneira similar podemos determinar a impedância de Thévenin entre quaisquer duas barras (j) e (k). Supomos que as correntes de barra são nulas para facilitar os cálculos.

22 22 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Em função das correntes injetadas nas barras (j) e (k), as tensões das barras sofrerão variações.

23 23 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Adicionando as variações de tensão nas barras (j) e (k) resulta em: Colocando em (1) e em (2) O circuito equivalente é mostrado a seguir: (1)(1) (2)(2)

24 24 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro O circuito equivalente é mostrado a seguir:

25 25 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro O circuito da figura do slide anterior representa o circuito equivalente de Thévenin do sistema entre as barras (j) e (k). Por inspeção, a tensão de circuito aberto da barra (k) para a barra (j): E a impedância encontrada colocando um curto da barra (k) para a barra (j) é a impedância de Thévenin entre as barras (j) e (k):

26 26 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Ao colocar uma impedância Z b entre as barras (k) e (j), a corrente é dada por:

27 27 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro EXEMPLO 1:

28 28 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Para o sistema anterior, as equações através da matriz admitância nodal são dadas por: Podemos encontrar as tensões de barra invertendo a matriz admitância nodal, além da própria matriz impedância de barra que relaciona as tensões de barra com as respectivas fontes de corrente.

29 29 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Z bus

30 30 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro EXEMPLO 2: Um capacitor com reatância igual a 5 pu é conectado entre o nó de referência e a barra (4) do circuito exemplo 1. As tensões iniciais e as correspondentes correntes injetadas nas barras (3) e (4) foram definidas anteriormente. Encontre a corrente recebida pelo capacitor. Solução: Não é preciso estudar todo circuito para analisar essa situação. Podemos simplificar o circuito e estudá-lo apenas com o equivalente de Thévenin na barra de interesse, que é a barra (4).

31 31 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro O circuito equivalente de Thévenin na barra (4) é constituído por uma fem interna (tensão de Thévenin) em série com a impedância equivalente de Thévenin entre a barra (4) e o nó de referência. A tensão é a tensão da barra (4) antes da conexão do capacitor. A impedância de Thévenin Z 44 na barra (4) completa o equivalente de Thévenin.

32 32 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A corrente recebida pelo capacitor é dada por: Essa corrente recebida pelo capacitor pode ser interpretada como o negativo da corrente injetada na barra (4). Considerando que, então as outras barras sofrerão mudanças em suas tensões devido à variação de corrente na barra (4).

33 33 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Modificação de uma matriz impedância de barra existente Através do uso do circuito equivalente de Thévenin e de uma Z bus existente é possível encontrar novas tensões de barra após a adição de um novo ramo sem que ter que encontrar uma nova matriz impedância de barra. Examinaremos como uma matriz impedância de barra existente pode ser modificada para adicionar novas barras ou conectar novas linhas as barras existentes.

34 34 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro É possível reconhecer diversos tipos de modificações pelas quais um ramo com impedância Z b é adicionada em uma rede com a matriz impedância de barra conhecida. A matriz impedância de barra original é identificada como Z orig, de dimensão N x N. NOTAÇÃO As barras existentes serão identificadas por números ou letras h, i, j, k. A letra p ou letra q designará uma nova barra a ser adicionada na rede para converter Z orig em uma matriz (N+1) x (N+1).

35 35 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Na barra (k) a tensão inicial será designada por e a nova tensão após a modificação de Z bus será identificada por V k. Denotará a variação de tensão na barra (k). CASO 1: Adicionando Z b de uma nova barra (p) ao nó de referência A adição de uma nova barra (p) conectada ao nó de referência através da impedância Z b sem qualquer conexão com outras barras da rede original não pode alterar as tensões de barra originais quando a corrente I p é injetada na nova barra.

36 36 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Para o caso 1, as equações para as tensões de barra são fornecidas por:

37 37 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro CASO 2: Adicionando Z b de uma nova barra (p) a uma barra existente (k)

38 38 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A corrente injetada I p na barra (p) fará com que ocorra uma variação da corrente que entra na rede através da barra (k) original. A corrente após essa mudança que entra na rede pela barra (k) será a soma I k + I p. A corrente I p que entra na rede através da barra (k) aumentará a tensão inicial (antes da conexão da nova barra) da barra (k) pela variação (I p Z kk ).

39 39 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A tensão da nova (p) será maior do que a tensão da barra (k) sendo dada por: E substituindo para : Essa é a nova linha que deve adicionada na matriz impedância original do sistema.

40 40 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Para esse caso o esquema da nova matriz impedância de barra é mostrado abaixo: Nova linha adicionada na matriz Z orig

41 41 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro CASO 3: Adicionando Z b de uma barra existente (k) ao nó de referência Inicialmente conectamos uma nova barra (p) através de uma impedância Z b a barra existente (k) (correspondente ao caso 2). Depois colocamos a barra (p) em curto o que equivale ligar a impedância Z b entre a barra (k) e nó de referência.

42 42 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Observe que no caso 3 não criamos uma nova barra permanente, ela é fictícia. Temos que utilizar a redução de Kron para eliminar a linha cuja tensão da barra é nula. Os novos elementos da nova matriz impedância de barra são calculados através de:

43 43 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro CASO 4: Adição de Z b entre duas barras existentes (j) e (k)

44 44 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Para efetuar os cálculos da nova matriz impedância de barra podemos analisar a situação onde ocorre variação na corrente injetada através de duas barras.

45 45 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Observa-se que a variação da tensão em cada barra é causada pelas correntes injetadas no sistema original através das barras (j) e (k). A variação da tensão em cada barra (h) causada pela corrente injetada I b através da barra (j) e –I b através da barra (k) para dentro do sistema é dada por: Baseado na definição de variação de tensão podemos escrever as equações para as tensões de barra. Por exemplo, para a barra 1:

46 46 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro De maneira similar para as barras (j) e (k): Precisamos encontrar mais uma equação desde que I b é desconhecida.

47 47 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Precisamos encontrar mais uma equação desde que I b é desconhecida. Z orig L j -L k C j - C k Z bb

48 48 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Precisamos encontrar mais uma equação desde que I b é desconhecida. Resulta em:

49 49 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro O resultado final com a nova matriz impedância de barra é dado por: Podemos eliminar a última linha de maneira que as tensões nas outras barras sejam compensadas pelos novos elementos da nova matriz.

50 50 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Os novos elementos são calculados através de: Removendo um ramo: um ramo de impedância Z b entre duas barras pode ser removido da rede pela adição do negativo de Z b entre os mesmos terminais.

51 51 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Síntese dos casos anteriores

52 52 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Síntese dos casos anteriores

53 53 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Determinação direta de Z bus No princípio tem-se uma lista de impedâncias de ramo mostrando as barras nas quais elas estão conectadas. Inicialmente, escrevemos a equação para uma barra conectada através da impedância de ramo Z a ao nó de referência. Por exemplo, uma segunda barra é conectada ao nó de referência através da impedância Z b.

54 54 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Exemplo 2: Determine a matriz impedância de barra da rede mostrada abaixo onde as impedâncias numeradas de 1 a 6 estão em pu.

55 55 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Solução: 1) Temos uma matriz impedância de barra 1 x 1. 2) Criação de uma nova barra (2) conectada a uma barra existente (1) através da impedância z 2 =j0,25. 3) Criação de uma nova barra (3) conectada a uma barra existente (2) através da impedância z 3 =j0,

56 56 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A nova matriz impedância de barra é igual a: 4) Conexão de uma impedância (4) entre a barra (3) e a referência. Para esse caso criamos uma barra fictícia (p) e conectamos a impedância entre a barra (3) e a barra (p). Depois curto-circuitamos a barra (p)

57 57 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A nova matriz impedância de barra é igual a: Observe que os outros elementos, com exceção de j3,15 na nova linha e na nova coluna correspondem a linha 3 e a coluna 3 da matriz original (Z bus3 ). Podemos eliminar a linha (p) e a coluna (q) pela redução de Kron. 123p p

58 58 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A nova matriz impedância de barra é igual a: 5) Criação de uma nova barra (4) conectada à barra (3) através da impedância j0,

59 59 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro 6) Adição entre duas barras existentes de uma impedância igual a j0,125. As barras são (2) e (4). Aplica-se agora a redução de Kron para eliminar a linha e a coluna (q) através da fórmula abaixo: 123 4q q

60 60 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Continuando, tem-se que: Essa é a matriz impedância de barra do sistema.

61 61 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro EXEMPLO 3: Modifique a matriz impedância de barra abaixo para levar em consideração a conexão de um capacitor com reatância igual a 5 pu entre a barra (4) e o nó de referência. Encontre a tensão na barra (4) usando as impedâncias da nova matriz e as fontes de corrente abaixo. Compare este valor com o valor calculado no exemplo anterior.

62 62 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Trata-se do caso 3: Adição de uma impedância Z b entre uma barra existente e o nó de referência. Nesse caso cria-se uma barra temporária (p) e efetua-se o mesmo procedimento do caso 2.

63 63 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro Como a tensão da nova barra é nula. Podemos eliminar a quinta linha e a quinta coluna. A seguir, o cálculo de alguns elementos da nova matriz impedância de barra:

64 64 de Instituto Federal da Bahia – IFBA Professor: Lissandro A matriz impedância de barra é dada por: O vetor coluna de correntes é multiplicado pela matriz acima para obter os novos valores da tensões de barra.


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