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Edward Hermann Haeusler Prof. do Departamento de Informática PUC/RJ Teoria da Computação e Fundamentação da Matemática : Um pouco de história.

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1 Edward Hermann Haeusler Prof. do Departamento de Informática PUC/RJ Teoria da Computação e Fundamentação da Matemática : Um pouco de história

2 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 2 Qual a relação entre a Lógica e a Computação ? - O que é a (Teoria da) Computação ? - O que é Lógica ? (Tentativa de) conceituação do Computável (Tentativa de) conceituação do Razoável

3 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 3 Computável Toda tarefa que pode ser realizada por um ser burro com um mínimo de conhecimento/capacidade. burro = Incapaz de Aprender conhecimento = ? Antes de 1900 d.c ====> Máquina de Raciocinar (Leibniz 1667) Máquina de Calcular de Pascal (Pascal sec.XVII)Pascal Máquina de Babbage (Ch. Babbage sec. XIX)Babbage..

4 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 4 Razoável Todo evento que é passível de uma explicação, na forma argumentativa, construída sobre fatos iniciais inquestionáveis. Antes de 1879 ====> Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a.c.) Álgebras Booleanas (Boole 1847) Álgebra Relacional (DeMorgan, Schroeder, C.S.Peirce XIX)

5 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 5 Panorama da Matemática no Século XIX - Problemas da Física Matemática (Sec. XVIII-XIX): - Equação da OndaEquação da Onda - Equação do CalorEquação do Calor - Equação de Poisson - Técnicas de Fourier - Séries Infinitas são usadas na solução de Eq. Dif. ParciaisSéries Infinitas - Problemas de Fundamentação: - Séries divergentes x Séries Convergentes - Conceito de infinito não era preciso - O próprio conceito de número real não era preciso. - Definição de convergência não existia - Conceito de função não era preciso Necessidade de teoria mais abrangente e abstrata

6 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 6 Panorama da Matemática no Século XIX (cont.) Dedekind ( ) Estabelece o princípio de indução e define conceito de número real Cauchy ( ) Bolzano( ) Weierstrass ( ) Riemman( ) Aritmetização da Análise, definição dos conceitos de limite, funções e funções contínuas, convergência de sequências e séries infinitas Definição do conceito de integral e Teorema Fundamental do Cálculo. Geometrias Não-Euclidianas Estabelece critérios para a diferenciação e integração, termo a termo, de séries infinitas Hilbert (em ) Estabelece a fundamentação da geometria Peano (em 1889)Define os axiomas da aritmética

7 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 7 Teoria Ingênua dos Conjuntos Cantor (de 1867 a 1871) define a teoria de conjuntos e prova a existênciaexistência de conjuntos infinitos com cardinalidades diferentes. Conceitos decardinalidades diferentes números cardinais e ordinais transfinitos. Bolzano concebe a noção (abstrata) de conjuntos (finitos e infinitos) Resistência aos principais resultados em função do receio do infinito Os paradoxos: - Burali-Forti (1897) Não há o ordinal de todos os ordinais - Russell (1902) Não há o conjunto de todos os conjuntos R = { x / x x} ==> R R se e somente se R R

8 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 8 Evolução da Lógica como assunto matemático Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal. Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas, com a adição do conceito de pertinência ( ) como primitivo. ===> Os paradoxos aparecem novamente !! DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos. Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan. ===> Paradoxos associados ao axioma da escolhaParadoxos associados ao axioma da escolha

9 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 9 As 3 Abordagens para a Fundamentação da Matemática Logicismo (Frege) - Toda a Matemática é consequência de princípios puramente lógicos. Formalismo (Hilbert) - A Matemática é fundamentada por sistemas formais cujo único requisito é a consistência Intuicionismo (Brouwer) - A Matemática é uma atividade humana funda- mentada em processos construtivos, sendo assim todo objeto matemático tem sua existência expressa por construção.

10 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 10 O Programa de Hilbert => Obtenção de uma prova da consistência da matemática, observando-se que: - As teorias mais complexas são extensões das mais simples. - Tais extensões são, na sua maior parte, obtidas por operações básicas (classes de equivalência, completamento por simetria, por compactação, completamento algébrico, etc) Th(N) Th(Z) Th(Q) Th(R) Th(C) => Prova da consistência da Aritmética ( Th(N)) com o usoconsistência de técnicas finitárias.finitárias => Provar que não existe prova de 0 = 1 usando

11 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 11 Principais Resultados em Lógica/Metamatemática no início do século XX - Teoria dos Tipos como solução ao paradoxo em Russell - Presburger (1929) prova que a aritmética sem a multiplicação é decidível. - Russell e Whitehead publicam o Principia Mathematica. - Skolem (1931) prova que a aritmética sem a adição e o sucessor é decidível - Herbrand (1931) prova a consistência de um fragmento fraco da aritmética (só o sucessor). -Tarski (1930) formaliza a semântica adequada para a lógica de primeira ordem - Gödel (1930) prova a completude do cálculo de primeira ordem - Gödel (1931) introduz a idéia de aritmetizar (codificar na forma numérica) a linguagem de um sistema formal de forma que (meta) teoremas do sistema possam ser vistos como teoremas aritméticos e prova seu famoso teorema da incompletude. Obs: # é o código de. - Gödel (1931) prova a não-provabilidade da consistência.

12 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 12 Os Teoremas de Gödel Lema da diagonal (Gödel/Tarski): ( Th(N) T) T |- diag x1 (#,# ( )) se e somente se x1 é a única variável livre em e (t) indica sua substituição por t Seja (x1) uma fórmula com somente x1 livre, então existe tal que T |- (# ) Teorema de Tarksi: Não existe uma fórmula Verd(x1) em T capaz de definir a verdade aritmética, isto é, T |- Verd(# ) se e somente se é verdadeira na aritmética. Paradoxo do mentiroso: Eu estou mentindo Teorema de Gödel: Qualquer axiomatização de Th(N) onde seja possível aritmetizar o conceito de prova é incompleta. Prova: Seja Th(N) e uma fórmula Pr(x,y) tal que |- Pr(#, # ) se e somente se é uma prova com axiomas de. Aplique o lema da diagonal a p Pr(p,x1) Segundo Teorema de Gödel: Seja uma axiomatização como acima, então a fórmula p Pr(p,#(0=1)) não é demonstrável a partir de Pr

13 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 13 Codificando Pr em uma definição recursiva Prova formada por Regras de Inferência formada por Premissasconclusão são Sentenças Átomosconectivos/ quantificadores Sentenças Compostas Axiomas

14 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 14 Leitura computacional do teorema de Gödel Todas as funções computáveis são representáveis em [N, <, 0, suc, +, *]. Toda computação pode ser expressa em forma de Dedução a partir de um conjunto de axiomas ( A) que defina as operações aritméticas básicas. Gödel define o conceito de função primitivamente recursiva e relaciona com aquelas que são representáveis em aritmética.

15 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 15 h( [N, <, 0, suc, +, *]) diag é computável. Como é r.c. então Ded é computável Ded é representável em Cn( ). Qualquer axiomatização r.c. para [N, <, 0, suc, +, * ] é incompleta, i.e, Cn( ) é incompleta. Existem funções não computáveis

16 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 16 Seja T = fórmulas válidas T ser r.c fórmula repr. f em Cn(T ) Cn(T ) é r.c. função f computável que reconhece Cn(T ) Diag. sobre ~ ~ (# ) Cn(T ) Contradição

17 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 17 A Computação do ponto de vista das funções prim. recursivas Gödel define as funções prim. recursivas associando-as a provas em aritmética 1927/ Ackermann define uma função que necessita de recursão simultânea Rózsa Péter - Prova que as funções prim. recursivas formam a classe definida por recursão simples e nested a partir de funções iniciais constantes, identidade e a função sucessor. Prova que a função de Ackermann é na realidade definida por recursão em duas variáveis e não é portanto primitivamente recursiva, mas é computável A. Turing - Define uma máquina formal a partir de princípios simples (ler, apagar e escrever símbolos em uma fita) e define o conceito de Máquina Universal. Prova que não existe máquina capaz de verificar se outra máquina pára ou não. Desde o início a sua máquina com versão Não-Determinística A. Church Define o -Calculus e mostra que este é capaz de definir todas as funções para as quais existe uma Máquina de Turing Kleene Define, aceitando que o computável inclui a parcialidade funcional, as funções parcialmente recursivas e lança a Tese de Church Markov Estabele o conceito de computável com base em identificação de palavras e símbolos (algoritmos de Markov) e justifica o ponto de vista finitista da computação.

18 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 18 Sxyz (xy)xz Kxy x Ix x (I SKK) Tese de Church: f: N N é computável se e somente se existe um combinador F C 1 C 2... C n tal que para todo n N (F:n: :m:) f(n) = m) :0: I :1: P0K :2: P1K..... :n: P:n-1:K.... P f é recursiva existe uma máquina de Turing M, tal que M com na fita de entrada M pára com na saída sss f(n) = m m n existe um algoritmo de Markov A, t.q. A lendo pára e produz o string na saída sss f(n) = m m n

19 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 19 A Tese de Church é um enunciado científico, portanto não possui demonstração matemática. Evidência Forte para a Tese de Church Teorema de Rogers (1958): Sejam duas FAAs ( i ) i N e ( i ) i N então existe f recursiva tal que i = f(i) Obs: Uma FAA é um conjunto de funções parciais ( i ) i N, tal que: 1- As funções parc. recursivas estão todas em ( i ) i N 2- Existe u N com u parc. recursiva tal que para todo i e x u (i,x) = i (x) 3- Existe c recursiva tal que c(i,j) = i j

20 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 20 A Tecnologia e a Construção do Computador : Hollerith cria o cartão perfurado e o utiliza na sua máquina eletromecânicaHollerith cria o cartão perfurado de processamento de dados (Censo de 1890). Criação da perfuradora de cartões (usada até fins dos anos 70 do século XX) : Invenção do diodo a vácuo (rádio-com)- Flemming, Invenção do tríodo (válvula eletrônica)- De Forest, Invenção do CRT- Swinton, descoberta da supercondutividade- Onnes, descoberta da semicondutividade (germânio) -Benedicts, invenção do FLIP-FLOP (unid. armazenamento de 1 bit)- Jordan 1925 : Primeiro computador analógico é construído para resolver equações dif. Bush 1931 : Konrad Zuse constrói a primeira calculadora elétrica digital Z1.Z : Claude Shannon aplica lógica booleana a circuitos de chaveamento. Primeiro somador em base binária (Dissert. Mestrado em matemática). G. Stibitz desenvolve o somador usando relés elétricos (na Bell Labs) : Zuse define o circuito para o teste de igualdade entre números binários : Zuse constrói a Z2 que refina a Z1 com aritmética binária em relés. É o primeiro computador eletromecânico

21 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática : Primeiro computador eletrônico (não-programável), o ABC, Clifford & Berry 1941 : Zuse desenvolve o Z3, primeira máquina controlada por programa. Memória de 64 palavras e 3 sec por multiplicação : John Mauchly introduz a válvula eletrônica como substituta do relé : Computador Britânico Collossus (quebra do código alemão ??) 1943 : Computador Mark I na IBMMark I 1943 : ENIAC (Eletronic Numeric Integrator and Computer) (30 ton e 18000ENIAC válvulas) : Visita de John von Neuman às instalações do ENIAC. Após esta visita é iniciado o projeto do EDVAC (computador com programa armazenado) : Um inseto (bug) nos contatos de um relé do Mark II é descoberto ser a causa de seu mal funcionamento.

22 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática : Invenção do Transistor (Bardeen, Brattain & Schokcley) : Início da construção do EDSAC em Cambridge : Introduzido o uso de disco magnético como memória secundária : Mark I passa a ser o primeiro computador digital com armazenamento de programas. Limitado porém : Primeiro computador pleno com armazenamento de programas (EDSAC) 1950 : Zuse instala o Z4 na universidade de Zurique : Primeiro UNIVAC é vendido ao departamento de demografia americano. Pesava cerca de 20 tons e realizava 1000 operações por segundo : Primeiro computador americano com arm. de programa EDVAC finalizado e operacional (Univ. Pensilvânia). O conceito de microprogramação é introd : UNIVAC equipado com memória de núcleo de ferrite. Em 1955 UNIVAC com transistores no lugar das válvulas.

23 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática : FORTRAN é desenvolvido por J. Backus na IBM é o ano do primeiro compilador comercial da linguagem : John McCarthy desenvolve LISP. ALGOL 58 é desenvolvido pela equipe de Backus : Desenvolvimento de FLIP-FLOP em circuitos integrados : PDP-1 desenvolvido pela Digital. 4k de RAM, palavras de 18 bits, fita de papel e CRT : Desenvolvido o princípio de comunicação por pacotes de dados, P. Baran : COBOL é distribuído para instalações comerciais. Consórcio Americano- Europeu especifica o padrão ALGOL : Programa ELIZA escrito por J. Weinzenbaum (MIT) : Computadores IBM pós série 700: s. 1400, 7090, projeto do System/ : Conceito de time-sharing, multiusuário e multiprogramação são introd : Linguagem BASIC (Beginners All Purpose Language), PL/I (IBM)

24 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática : PDP-8 (Digital) é o primeiro mini-computador : Projeto Multics (MIT). Linguagem APL (IBM) : SIMULA-67, primeira linguagem orientada a objeto (Nyygard) 1967 : Primeiro artigo sobre uma rede integrada de computadores (Arpanet) 1967 : Desenvolvimento de PASCAL (N. Wirth) : Programação Estruturada (gotos are out), Dijkstra : Primeiro computador feito somente com circuitos integrados (B2500 e B3500) 1969 : Primeira rede não local operacional UCLA, UC Santa Barbara, SRI, U. Utah : Padrão RS-232 de comunicação com periféricos : UNIX. Linguagem C em : Primeiro microprocessador 4004 (4 bits), F. Fagin (Intel) (1972)

25 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 25 E a história se repete : Conferência Internacional (NATO conf. on Prog) discute a crise do software e cunha o termo Engenharia de Software. Duas exceções e outros desenvolvimentos: 1970 : Codd define o modelo relacional e sua álgebra, enquadrando BD em uma abordagem com fundamentação matemática e formal : Desenvolvimento da teoria de linguagens formais (Chomsky) coloca a área de implementação de linguagens de programação em bases mat. e formais (YACC e etc) : Uso de álgebra e lógica em modelos de concorrência e de desenvolvimento de software. Introdução do conceito de prova de correção de programa, validação de modelos, etc

26 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 26 P : Encontra solução em tempo polinomial NP : Verifica solução em tempo polinomial CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomial Sat NP Taut CoNP Obs: Se CoNP NP então NP P Verificação de ModelosProva de Teoremas A Ciência da Computação Hoje : NP = P ? (Cook 1970)

27 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 27 Def. Seja C uma classe de problemas (linguagens). Diz-se que um problema (ling.) P é C-completo (a) se e somente se todo problema (ling) de C é redutível a P. Isto é resolver P é tão difícil quanto resolver qualquer outro problema em C. - Saber se um programa pára (via outro programa) é Rec-Completo, onde Rec é o conjunto dos problemas (ling) recursivos. Exemplos: - Saber se dado uma solução para um problema esta é verificável em tempo polinomial é tão difícil quanto decidir se uma sentença da lógica proposicional é verdadeira. Sat é NP-completa.

28 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 28 Como SAT é NP-Completo então Taut é CoNP-Completo ===> Se existe um sistema dedutivo onde todas as provas tem tamanho polinomial em função do tamanho da conclusão, então CoNP = NP. Senão existe tal sistema então CoNP NP e portanto NP P. - Já se tentou técnicas de construção de modelos via forcing (funcionou com a hipótese generalizada do continum) mas a crença geral é que não funciona. ===> P = NP é um problema genuinamente matemático. ===> P = NP é um problema genuinamente de ciência da computação. ===> P = NP é um problema genuinamente de fundamentação e lógica. - Técnicas de diagonalização e relativização (tradição lógico-matemática) tem sido extensivamente usadas no estudo de questões relacionadas a NP=P.

29 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 29 Alguns Fatos Importantes : Fato 1: Se P NP então NP-NPC. Fato 2: Existe um oráculo B tal que P B = NP B Fato 3: Existe um oráculo C tal que P C NP C Prova: Diagonalização Prova: NPSPACE=PSPACE e B um problema NPSPACE completo Prova: Diagonalização conjectura-se que isograph está em NPI

30 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 30 Lema: Sejam C1 e C2 duas classes de Linguagens, tais que : 1- C1 e C2 são construtivamente enumeráveis 2- C1 e C2 são fechadas para variação finita 3-Existe L1 C1 e L2 C2 nestas condições existe L, tal que: L C1 C2 Teorema: Se P NP, então Sat P e NPC então existe L P NPC Prova: Diagonalização

31 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 31 Teorema do Razborov ( ) Indício de que NP P Obs: A prova do teorema de Razborov usa a técnica de ultraprodutos introduzida em 1938 por Lós para provar a compacidade da lógica de primeira ordem Fato: Se L P então existe uma família de circuitos booleanos (C n ) n N e um polinômio p(x) tal que L n é aceita por C n e | C n | p(n). Corolário: Se existe L tal que toda família de circuitos para L n não é limitada por polinômio então NP P. Teorema (Razborov): Circuitos monotônicos para CLIQUE n,k quando k = 4 n tem cota inferior :

32 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 32 Lembretes: Computação (Matemática/Lógica) Computação Tecnologia não é a essência da Ciência da Computação Engenharia = Conjunto de Técnicas Ciência

33 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 33 O que são técnicas finitárias ??? - Operações efetivas sobre objetos concretos Objetos concretos: |, ||, |||, ||||, ||||||,....,,,, Operações efetivas: ???????? juntar símbolos apagar símbolos escrever símbolos reconhecer um símbolo (visão a posteriori)

34 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 34 Consistência Def. Uma Teoria é consistente se não sustenta fatos falsos. Def. Uma Teoria é consistente se não prova fatos falsos. Def. Uma Teoria é consistente se não prova todos os fatos. Def. Uma Teoria é consistente se não prova algum absurdo.

35 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 35 Daniel Bernouli 1753 u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct) DAlembert Euler 1748 u xt u t (x,0) = g(x) e u(x,0) = f(x) u(x,t) = 2 0 (sin n y sin n x cos n ct )f(y)dy (1/n) (sin n y sin n x sin n ct )g(y)dy Lagrange 1759 Equação da onda

36 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 36 Equação do calor u(0,t) = u(L,t) = 0 u(x,0) = f(x) u(x,t) = c n e -n Kt/L sin(n x/L) n= f(x) = c n sin(n x/L) n=1 c n = (2/L) f(x) sin(n x/L)dx 0 L Fourier 1811 ==> Toda função tem expansão em série de senos ????? L Dirichlet (1829,1837) + Fund. Análise (Bolzano, Cauchy, Weierstrass) + Riemann (def. integral, 1900s)

37 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 37 3 x + = 9 x = 6 Manipulação com séries infinitas (I) : Resolvendo equações C 1 + aC = C C(1-a) = 1 C = 1/(1-a)

38 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 38 Diferenciação de uma série (termo a termo) dx Integração de uma série (termo a termo)

39 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 39 Geometrias Não-Euclidianas Hiperbólica Bolyai-Lobachevsky 1820 Elíptica Riemman 1800s Plana Euclides 400s Axiomas de Euclides 1. Para cada par de pontos P1 e P2 com P1 P2 existe uma única reta que incide em ambos. 2. Para todos segmentos AB e CD existe um ponto E t.q. E está entre A e B e CD BE 3. Para todo par de pontos O e A com O A existe um única circ. com centro O e raio OA 4. Todos os ângulos retos são congruentes 5. Dados uma reta R e um ponto A fora desta, existe uma única R paralela e R e incidente em A.

40 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 40 O método da diagonal de Cantor a 0 = 0, a oo a o1 a o2 a o3 a o a on a 1 = 0, a 1o a 11 a 12 a 13 a a 1n a n = 0, a no a n1 a n2 a n3 a n a nn suponha que |(0,1)| = |N| b = 0,b 0 b 1 b 2 b 3 b b n bj=bj= 5 se a jj = 9 9 senão |(0,1)| |N|

41 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 41 Teorema de Cantor ==> Seja B um conjunto, então |B| < |2 B | S = { x / x f(x) } Prova: Suponha que |B| = |2 B | então existe f: B 2 B f -1 (S) S se e somente se f -1 (S) S Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes. {A / A B}

42 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 42 T |- (# ) Seja t = #( x2(diag x1 (x1,x2) (x2))) então será x2(diag x1 (t,x2) (x2))) x2(subst x1 (t,x2) (x2))) (diag x1 (t, # ) (# )) T |- diag x1 (t, # ) T |- (# ) (# ) diag x1 (t,x2) T |- diag x1 (t, # ) T |- x2= # T |- (x2) T |- diag x1 (t,x2) (x2) T |- x2 (diag x1 (t,x2) (x2))

43 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 43 Não provabilidade da consistência em Cn( ) ~Pr(# ) Cn( ) se Cn( ) então Provavel(# ) Cn( ) Cn( ) é inconsistente. se Cn( ) é consistente então Cn( ). ~Provavel(#(0=1)) Cn( ) ~Provavel(# ) Cn( ) Cn( ) [Diag] Portanto se ~Provavel(#(0=1)) Cn( ) então Cn( ) é inconsistente

44 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 44

45 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 45

46 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 46

47 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 47

48 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 48

49 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 49

50 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 50 S v -1 (v) S C -1 (S C) = Rotação de 1/10 de radiano C = n ( v) n N S C -1 (v) = Paradoxos associados ao Axioma da Escolha

51 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 51 Paradoxo de Banach-Tarski (1924) e Paradoxo de Hausdorf (1914) Rotações e Translações Divisão da esfera em 5 partes (uso do axioma da escolha)

52 Prof. Edward Hermann Haeusler TECMF-DI-PUC-Rio Teoria da Computação: e Fund. Matemática 52 Existência de um conjunto sem medida em R n - Medida como Comprimento, Área ou Volume (desde a Grécia antiga) - Medida como associada a integral de Riemman - Medida de Jordan (contempla somente conjuntos limitados) Medida de Lebesque generaliza a de Jordan e contempla conjuntos ilimitados incluindo os Riemman integráveis Vitali usa o axioma da escolha para mostrar a existência de um conjunto sem medida (1905) - Solovay (1960s) prova que substituindo-se o axioma da escolha pelo axioma da determinância (Todo jogo infinito tem estratégia vencedora) tem-se que todo subconjunto do R n é mensurável.


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