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GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Recta - Introdução.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Recta - Introdução

2 RECTA Uma recta é um conjunto de pontos alinhados segundo uma mesma direcção. Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção.

3 PONTO PERTENCENTE A UMA RECTA Para que um ponto pertença a uma recta, é necessário que as suas projecções estejam contidas nas projecções do mesmo nome (homónimas) da recta, ou seja, as projecções do ponto têm que se situar sobre as projecções homónimas da recta. x B1B1 B2B2 y z A1A1 A2A2 r1r1 r2r2

4 PROJECÇÕES DE UMA RECTA Desenha as projecções de uma recta r, definida pelos pontos A (2; 5; 1) e B (- 2; 2; -1). Determina as projecções de um ponto C, qualquer, pertencente à recta. x y z A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 C1C1 C2C2 r2r2 r1r1

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6 DEFINIÇÃO DE UM PLANO Um plano é uma região do espaço, uma superfície plana, na qual se pode assentar completamente um recta em qualquer direcção. Em geometria descritiva, um plano pode ser definido pelas seguintes situações: Três pontos não colineares (não alinhados); x A2A2 A1A1 B1B1 C1C1 B2B2 C2C2 x xz xy α A B C A1A1 A2A2 B2B2 C2C2 C1C1 B1B1

7 x xz xy α A B C A1A1 A2A2 B2B2 C2C2 C1C1 B1B1 Uma recta e um ponto exterior à recta; x A2A2 A1A1 B1B1 C1C1 B2B2 C2C2 r2r2 r1r1 r2r2 r1r1 r

8 x xz xy α A B D A1A1 A2A2 B2B2 D2D2 D1D1 B1B1 Duas rectas paralelas; x A2A2 A1A1 B1B1 D1D1 B2B2 D2D2 s2s2 r1r1 r2r2 r1r1 r C2C2 C1C1 C s1s1 C1C1 C2C2 r2r2 s2s2 s1s1 s

9 x xz xy α A B A1A1 A2A2 B2B2 B1B1 Duas rectas concorrentes; x A2A2 A1A1 B1B1 B2B2 s2s2 r1r1 r2r2 r1r1 r C2C2 C1C1 C s1s1 C1C1 C2C2 r2r2 s2s2 s1s1 s

10 x xz xy α Os seus traços (que são duas rectas do plano); x fαfα hαhα fαfα hαhα

11 x xz xy α Uma das suas rectas com maior declive ( rectas que fazem o maior ângulo com o Plano Horizontal de Projecção); x fαfα hαhα fαfα hαhα dαdα d α1 d α2 d α1 d α2

12 x xz xy α Uma das suas rectas com maior inclinação (rectas que fazem o maior ângulo com o Plano Frontal de Projecção). x fαfα hαhα fαfα hαhα iαiα i α1 i α2 i α1 i α2

13 x xz xy α A B A1A1 A2A2 B2B2 B1B1 A condição para um ponto pertencer a um plano, é se pertence a uma recta do plano. Os pontos A, B e C pertencem a rectas (r e s) que pertencem ao plano α, portanto pertencem ao plano α. x A2A2 A1A1 B1B1 B2B2 s2s2 r1r1 r2r2 r1r1 r C2C2 C1C1 C s1s1 C1C1 C2C2 r2r2 s2s2 s1s1 s

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15 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy x α fαfα hαhα hαhα fαfα i i 2 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). θ fθfθ hθhθ fθfθ hθhθ i 1 i 2 i 1

16 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy x α fαfα hαhα hαhα fαfα i i2i2 Como ambos os planos são projectantes horizontais, a recta de intersecção tem que ser uma recta projectante horizontal, uma recta vertical, localizada na intersecção dos traços horizontais dos dois planos. φ (h φ ) (i 1 )

17 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante). x xz xy α fαfα hαhα i θ fθfθ hθhθ x hαhα fαfα i2i2 fθfθ hθhθ i 1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção frontal. F H

18 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo δ (não projectante). x xz xy δ fδfδ hδhδ x fδfδ hδhδ υ (f υ ) i i 2 F2F2 F1F1 i1i1 F A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal). Como a recta i pertence aos dois planos, o traço frontal da recta i situa-se na intersecção dos traços frontais dos dois planos. A partir da projecção horizontal (F 1 ) do traço frontal da recta i, é possível obter a sua projecção horizontal, com a mesma orientação do traço horizontal (h δ ) do plano δ.

19 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos. x xz xy α x fαfα hαhα fαfα hαhα θ i fθfθ hθhθ fθfθ hθhθ H2H2 H1H1 H F F2F2 F1F1 i1i1 i2i2 Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.

20 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas). x (f υ ) r2r2 r1r1 s1s1 s2s2 R2R2 R1R1 S2S2 S1S1 i1i1 i 2 x xz xy υ (f υ ) r s α i R S Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos R e S, que permitem obter a projecção horizontal da recta i.

21 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS COM UM PONTO COMUM SOBRE O EIXO X Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, α e δ, cujos traços são concorrentes entre si num ponto do eixo x, o ponto A. x xz xy α x fαfα hαhα fαfα hαhα fδfδ fδfδ hδhδ hδhδ A 1 A 2 A i Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto A, é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i. Um plano horizontal auxiliar ν permite obter as rectas de intersecção do plano ν com os planos α e δ. (f ν ) F2F2 F1F1 F F I a b F2F2 F1F1 a 2 b 2 a1a1 b1b1 I2I2 I1I1 i2i2 i1i1

22 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE COM PONTO COMUM Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. O ponto P está contido no plano α. x xz xy ρ f ρ h ρ P α A x fαfα hαhα Nesta situação, a determinação da recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é imediata, pois o ponto P é um ponto comum aos dois planos. A 1 A 2 i 1 P2P2 P1P1 i2i2 i fαfα hαhα

23 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano oblíquo α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. x P2P2 P1P1 f ρ h ρ A 1 A 2 É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano ρ é uma recta fronto- horizontal. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano α é uma recta frontal. x xz xy ρ f ρ h ρ P A a H α fαfα hαhα fαfα hαhα i (h φ ) φ b a 1 a2a2 H2H2 H1H1 b 1 b2b2 I A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que juntamente com o outro ponto comum aos dois planos ρ e α, permitem a definição da recta de intersecção i. I2I2 I1I1 i1i1 i2i2

24 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR ENTRE PLANO E BISSECTOR – definido por duas rectas Os traços nos bissectores das duas rectas definem as projecções da recta de intersecção. ENTRE PLANO OBLÍQUO OU DE RAMPA E BISSECTOR – definido pelos seus traços Uma recta auxiliar do plano dado localiza o traço da recta no bissector, que juntamente com ponto do plano no eixo x definem a as projecções da recta de intersecção. ENTRE PLANO PROJECTANTE E BISSECTOR – definido pelos seus traços A projecção homónima com a projectante resulta em projecção coincidente. A outra projecção será simétrica ou coincidente à primeira projecção, consoante o bissector é o β 1,3 ou o β 2,4.

25 INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β 1,3. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. x r2r2 s2s2 s1s1 r1r1 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 1,3. Os traços das duas rectas situados no β 1,3, Q e Q, são dois pontos que pertencem aos dois planos. Q2Q2 Q1Q1 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2

26 INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β 2,4. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. x r2r2 s2s2 s1s1 r1r1 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 2,4. Os traços das duas rectas situados no β 1,3, I e I, são dois pontos que pertencem aos dois planos. I 1 I 2 i 1 i 2

27 INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β 1,3. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. x fαfα hαhα A 1 A 2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β 1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β 1,3. Como o β 1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β 1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção. h2h2 F2F2 F1F1 h1h1 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2

28 INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β 2,4. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. x fαfα hαhα A 1 A 2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β 2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β 2,4. Como o β 2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β 2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção. r1r1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 r2r2 I 1 I 2 i 1 i 2

29 INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β 1,3. x fδfδ hδhδ A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x. i 2 i1i1

30 INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β 2,4. x hδhδ fδfδ A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3 será coincidente com a sua projecção frontal. i 1 i 2

31 INTERSECÇÃO DE UMA RECTA COM UM PLANO

32 GENERALIDADES Uma recta e um plano não paralelos intersectam-se num ponto. x xz xy α fαfα hαhα I r

33 INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta de topo t (projectante frontal) com um plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy x α fαfα hαhα hαhα fαfα t (t 2 ) t1t1 t1t1 I I1I1 I 2 I1I1 É no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante horizontal.

34 INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r com um plano de topo θ (projectante frontal). x xz xy x θ fθfθ hθhθ r r2r2 r1r1 fθfθ hθhθ r2r2 r1r1 I2I2 I1I1 I1I1 I2I2 I É no cruzamento da projecção frontal da recta com o traço frontal do plano, aonde se situa a projecção frontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante frontal.

35 INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta vertical v com um plano de rampa ρ (não projectante). x xz xy ρ fρfρ hρhρ x fρfρ hρhρ v2v2 (v 1 ) v v2v2 I I 1 I2I2 É utilizada uma recta auxiliar r qualquer, que contém o ponto I, para assim se obter a projecção frontal do ponto I. H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 r2r2 r1r1 I2I2 r r1r1 r2r2 H F

36 INTERSECÇÃO DE RECTAS COM PLANOS MÉTODO GERAL 1.Conduz-se pela recta um plano auxiliar que a contenha (em geral um plano projectante, mas não necessariamente). 2.Determina-se a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar. 3.O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado. x xz xy ρ fρfρ hρhρ x fρfρ hρhρ v2v2 (v 1 ) v v2v2 I I 1 I2I2 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 r2r2 I2I2 r r 1 h α r2r2 H F α fαfα fαfα hαhα r 1

37 INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r (não projectante) com um plano oblíquo α (não projectante). x xz xy α x fαfα hαhα fαfα hαhα r2r2 r1r1 r2r2 r1r1 I I2I2 I1I1 fθfθ h θ F2F2 F1F1 H2H2 H1H1 r θ F H i2i2 i 1 I2I2 I1I1 fθfθ h θ i 1 i i2i2


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