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Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Por que utilizar vetores? Para determinar.

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1 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Por que utilizar vetores? Para determinar outras grandezas, entretanto, são necessárias mais informações, como sua direção e sentido. deslocamentovelocidadeforçaaceleraçãotorque Existem grandezas físicas perfeitamente definidas por seu tamanho e sua unidade. comprimentomassatempotemperaturapressão Inúmeras leis da física são expressas em termos de operações vetoriais.

2 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano O que são vetores? Antes de definir vetores, vamos falar sobre SEGMENTOS ORIENTADOS Dois pontos no espaço definem: A) Um segmento de reta, onde estão contidos os extremos A e B, bem como todos os pontos entre A e B; AB B) Um segmento de reta orientado de origem no ponto A e extremidade no ponto B, indicado por AB e representado por uma flecha de A para B; AB C) Um segmento de reta orientado de origem no ponto B e extremidade no ponto A, indicado por BA e representado por uma flecha de B para A. AB

3 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano SEGMENTOS ORIENTADOS Os segmentos orientados são caracterizados e diferenciam-se uns dos outros por apresentarem: Comprimento: é a sua medida em relação a uma unidade de medida pré-fixada. u.m. A B Direção e sentido: dois segmentos orientados tem a mesma direção se forem paralelos. Os sentidos de dois segmentos orientados só podem ser comparados se eles tiverem a mesma direção A BCD Direções diferentes Não podemos comparar sentidos XYP Q Mesma direção Sentidos contrários M NLK Mesma direção Mesmo sentido

4 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano SEGMENTOS ORIENTADOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientados são eqüipolentes quando tiverem a mesma medida, mesma direção e mesmo sentido. A BCD OBS: não são IGUAIS, pois os pontos formadores de cada segmento são diferentes. AB CD Podemos escrever: A B C DPropriedades:A B 1) Se AB CD então AC BD D C

5 Propriedades: E B A Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano CD F 2) Se AB CD e CD EF então AB EF AB CD CD EF AB EF 3) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe e é único, um ponto D tal que AB CD D tal que AB CDB A C AB CD D

6 = outro vetor B Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Consideremos um conjunto de n segmentos orientados eqüipolentes entre si. VETORES: Definição A = 1 vetor A este conjunto denominamos de 1 vetor, o qual será indicado por um representante do conjunto. Portanto, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB. Desta forma, o vetor fica caracterizado como sendo um vetor livre. Nomenclatura: AB ou v ou (B-A)

7 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano VETORES Vetores iguais Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB CD Vetor nulo Os segmentos nulos (extremidade coincide com a origem), por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, indicado por 0. Vetores opostos Dado um vetor v = AB, o vetor BA é um vetor oposto a AB, indicado por – AB ou – v. |AB|=|CD|; AB e CD tem mesma direção; AB e CD tem mesmo sentido. Vetores unitários ou versores É um vetor cujo módulo (ou comprimento) é igual a 1. O versor de um vetor v é indicado por v, e apresenta mesma direção e sentido de v. v v

8 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano OPERAÇÕES ELEMENTARES COM VETORES 1) Produto de um número real por um vetor Dado um vetor v e um número a qualquer, o produto a v resulta num outro vetor p com as seguintes características : Exemplos: p v p = 2 v r = -3 w w r A direção do vetor p é a mesma do vetor v ; A direção do vetor p é a mesma do vetor v ; O módulo (comprimento) do vetor p é o módulo do vetor v vezes o módulo do número real a ; O módulo (comprimento) do vetor p é o módulo do vetor v vezes o módulo do número real a ; se a > 0, p e v tem mesmo sentido se a < 0, p e v tem sentidos contrários O sentido do vetor p depende do sinal do número real a: O sentido do vetor p depende do sinal do número real a: u.m. d = - 4,5 e d e

9 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano 2) Soma de vetores Uma das maneiras de se somar dois vetores é através do método gráfico. Cada vetor a ser somado é transladado de maneira que o final de um coincida com o início do próximo. O vetor resultante é obtido unindo-se o início do primeiro com o final do último. p v s = v + p s

10 v Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades v + p = p + v (propriedade comutativa) a) p s s = v + p = p + v

11 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano v w p Propriedades s = v + p + w = v + w + p = w + p + v (propriedade comutativa) s = v + p + w = v + w + p = w + p + v (propriedade comutativa)a) s

12 Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades s = ( v + p ) + w = v + ( p + w ) (propriedade associativa) s = ( v + p ) + w = v + ( p + w ) (propriedade associativa)b) v w p s v + p p + w

13 2) Subtração de vetores Não se define a subtração para vetores. Ao invés disso, realiza-se a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano d = v – p = v + ( – p ) v – p p d d

14 2) Subtração de vetores Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano d = r – u = r + ( – u ) r d u u

15 DESVANTAGENS DO MÉTODO GRÁFICO Qual o módulo (intensidade), direção e sentido do vetor soma? Qual o módulo (intensidade), direção e sentido do vetor soma? É necessário uma construção geométrica, medida de ângulos....

16 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES A = v + h A v h h v | v |=| A | sen | v |=| A | sen | h |=| A | cos | h |=| A | cos | v |=| A | cos | v |=| A | cos | h |=| A | sen | h |=| A | sen Podemos escrever que: E também que:

17 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES A = a x + a y B A axax ayay bxbx byby B = b x + b y a x = A cos a y = A sen b x = B cos b y = B sen S = A +B S = ( a x + a y ) + ( b x + b y ) S = ( a x + b x ) + ( a y + b y )

18 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES B A axax ayay bxbx byby S = S x + S y S Quem é o vetor S ? módulo direção sentido S x = a x + b x S y = a y + b y S = ( S x ) 2 + ( S y ) 2 SxSx SySy Módulo: Direção e Sentido: = tg – 1 (S y / S x ) = tg – 1 (S x / S y ) S = A +B S = ( a x + a y ) + ( b x + b y ) S = ( a x + b x ) + ( a y + b y )

19 DECOMPOSIÇÃO DE VETORES B A i j ax iax i ay jay j bx ibx i by jby j S = ( a x i + a y j ) + ( b x i + b y j ) S = ( a x + b x ) i + (a y + b y ) j S = S x i + S y j S = ( S x ) 2 + ( S y ) 2 = tg – 1 (S y / S x ) S = ( a x + a y ) + ( b x + b y ) S = A +B Vamos determinar: Definindo os versores das direções horizontal e vertical: S SxSx SySy

20 B A 60 ° EXEMPLO 1: S = A +B Vamos determinar 30 ° | A |= A = 12 cm | B |= B = 6 cm i j Lembrando que: b x ( -i ) by jby j ax iax i ay jay j a x = 12 cos(60 °) = 6 cm a y = 12 sen(60 °) = 10,4 cm b x = 6 cos(30 °) = 5,2 cm b y = 6 sen(30 °) = 3 cm S = A + B = a x i + a y j + b x (-i ) + b y j S = 6 i + 10,4 j + 5,2 ( i ) + 3 j S = 6 i + 10,4 j 5,2 i + 3 j S = (6 5,2) i + (10,4+3) j S = 0,8 i + 13,4 j S SxSx SySy = tg –1 ( 13,4 / 0,8 )= 86,6 ° S = ( S x ) 2 + ( S y ) 2 S = (0,8) 2 + (13,4) 2 S = 13,42 cm

21 EXEMPLO 2: Um avião percorre 209 Km em linha reta, fazendo um ângulo de 22,5 ° a nordeste. A que distância ao norte e ao leste o avião viajou desde seu ponto de partida? N S O L 22,5 ° D DyDy DxDx | D |= D = 209 Km D = D x + D y D x é a distância que o avião viajou ao leste D y é a distância que o avião viajou ao norte D x = 209 sen(22,5 °) = 80 Km D y = 209 cos(22,5 °) = 193 Km O avião viajou 193 Km ao norte e 80 Km ao leste desde seu ponto de partida. RESPOSTA:

22 EXEMPLO 3: Um carro viaja para o leste em uma estrada plana por 32 Km. A partir de então ele passa a viajar para o norte, andando 47 Km até parar. Encontre o vetor que indica a localização do carro N S O L D DyDy DxDx D = D x + D y | D x |= D x = 32 Km | D y |= D y = 47 Km D é o vetor que indica a localização do carro Quem é o vetor D ? módulo direção sentido D = ( D x ) 2 + ( D y ) 2 D = (32) 2 + (47) 2 D = 56,9 Km tg = ( D x / D y )= ( 32 / 54 ) = 0,593 = tg –1 (0,593)= 30,7 °

23 ay jay j az kaz k ax iax i i j k x y z Em três dimensões Podemos dizer que: A = a x i + a y j + a y k A


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