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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 08.

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1 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 08

2 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução III.2. Torção de Barras III.2.1. Seção Circular III.2.2. Seções Não Circulares III.3. Flexão Simples de Barras

3 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES III.1. Introdução As seções planas permanecem planas após a deformação Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Nas solicitações transversais esta hipótese somente é válida no caso de Torção de Seções Circulares. seção circular torcida dz d T T TT Exemplos: eixos de transmissão seções de grelhas onde o fletor é nulo Estado de Cisalhamento Puro seção não-circular torcida

4 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES As seções planas permanecem planas após a deformação Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Nas solicitações transversais esta hipótese somente é válida no caso de Torção de Seções Circulares. Exemplos: seções de vigas em geral Estado Plano de Tensão VyVy VyVy dz barra fletida com cortante (flexão simples) III.1. Introdução

5 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado de Cisalhamento Puro: Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

6 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado de Cisalhamento Puro: Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

7 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado de Cisalhamento Puro: Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

8 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado de Cisalhamento Puro: Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

9 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado de Cisalhamento Puro: Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

10 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado de Cisalhamento Puro: Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples 45º yz III.1. Introdução

11 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado Plano de Tensão ( y = 0): Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

12 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado Plano de Tensão ( y = 0): Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

13 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado Plano de Tensão ( y = 0): Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

14 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado Plano de Tensão ( y = 0): Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

15 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado Plano de Tensão ( y = 0): Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

16 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado Plano de Tensão ( y = 0): Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

17 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Estado Plano de Tensão ( y = 0): Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples 45º z z min yz p c min máx z /2 Logo, III.1. Introdução

18 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações Estado de Cisalhamento Puro: Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

19 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações Estado Plano de Tensão y = 0): Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

20 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações Estado Plano de Tensão y = 0): Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução

21 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução III.2. Torção de Barras III.2.1. Seção Circular III.2.2. Seções Não Circulares III.3. Flexão Simples de Barras

22 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Circular III.2. Torção de Barras Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples dz d T T yz onde R é o raio externo da seção x y x y zx dA yz dA dA A seção circular é simétrica em relação a qualquer eixo que contenha o seu cento geométrico. Assim, qualquer sistema de eixos cartesianos ortogonais com origem no centro do círculo é um sistema de eixos centrais principais. x y x y dA tz dA rz dA Portanto, as componentes de tensão de cisalhamento podem ser representadas segundo os eixos radial e tangencial. ou

23 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples dz d T T tz onde R é o raio externo da seção x y x y dA tz dA rz dA No ponto de coordenadas (-x,-y) deverá haver duas componentes rz dA e tz dA em sentido contrário às que atuam no ponto de coordenada (x,y). rz dA tz dA y x As componentes no sentido radial se anulam e aquelas no sentido tangencial formam um binário. III.2. Torção de Barras

24 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples dz d T T tz onde R é o raio externo da seção x y x y dA tz dA tz dA y x III.2. Torção de Barras

25 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples dz d T T tz onde R é o raio externo da seção x y x y dA tz dA tz dA y x W p é o Módulo de Resistência da Seção à Torção e As tensões e as deformações variam linearmente com GI p é o Módulo de Rigidez da Seção à Torção. tz máx III.2. Torção de Barras

26 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação Na superfície do contorno, não há solicitações tangenciais na direção longitudinal (z) nem direção tangencial (t) - momento atua em torno de z, isto é, no plano r-t. zr zt z zr z r t tr zt tz rt rz plano da superfície do contorno plano da seção transversal plano da seção longitudinal tensões na seção transversal Portanto, nessa superfície, não há também tensões tangenciais nas direções z e t.. III.2. Torção de Barras

27 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação tz z zt plano da seção longitudinal Na seção transversal, as tensões são auto-equilibradas e tangenciais ao contorno. III.2. Torção de Barras

28 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação A Teoria da Elasticidade, por outro lado, determina que, para todas as seções, e Observações: onde W T é o Módulo de Resistência da Seção à Torção, GI T é o Módulo de Rigidez da Seção à Torção e I T é a Constante de Torção da Seção Para as seções circulares, e A constante de torção I T é também designada por J III.2. Torção de Barras

29 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Seção Retangular: a >= b b A máxima tensão ocorre no ponto médio do maior lado do retângulo. e máx = = 1/3, a/b>10 III.2. Torção de Barras

30 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Perfis Abertos: a) Perfis de seção formada por retângulos b1b1 b2b2 b3b3 t3t3 t2t2 t1t1 Cada retângulo i absorve uma parcela do momento T i. Em cada retângulo a máxima tensão ocorre no ponto médio do maior lado e vale III.2. Torção de Barras

31 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Perfis Abertos: b1b1 b2b2 b3b3 t3t3 t2t2 t1t1 O ângulo unitário de torção da seção é único. a) Perfis de seção formada por retângulos Logo, para n retângulos, III.2. Torção de Barras

32 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Perfis Abertos: b1b1 b2b2 b3b3 t3t3 t2t2 t1t1 Dessa expressão se conclui que e a) Perfis de seção formada por retângulos este valor será substituído na expressão da máxima tensão III.2. Torção de Barras

33 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Perfis Abertos: b1b1 b2b2 b3b3 t3t3 t2t2 t1t1 Logo, a) Perfis de seção formada por retângulos (máxima tensão em cada retângulo) Assim,e III.2. Torção de Barras

34 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Perfis Abertos: a) Perfis de seção genérica Esta seção pode ser considerada como formada por infinitos retângulos de largura s e espessura t i. t ds onde S é o comprimento da Linha Média da seção do perfil. Assim, Caso t seja constante, e III.2. Torção de Barras

35 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): yz 2 yz 1 Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários de sentidos opostos. Logo, no elemento infinitesimal, as forças resultantes no sentido longitudinal são: dz ds t1t1 t2t2 T T dz III.2. Torção de Barras

36 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples T T dz yz 2 yz 1 Da condição de equilíbrio dessas forças longitudinais: Este produto se denomina fluxo cisalhante (f c ) e é constante ao longo da seção. Daí se conclui que a máxima tensão de cisalhamento ocorre nos pontos de menor espessura. dz ds t1t1 t2t2 Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): III.2. Torção de Barras

37 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES T T dz Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples yz 2 yz 1 onde S é o comprimento da Linha Média da seção do perfil r dF dz ds t1t1 t2t2 Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): III.2. Torção de Barras

38 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples dz ds t1t1 t2t2 x y r yz 2 yz 1 AmAm Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): A m : área delimitada pela LM da seção T T dz r dF III.2. Torção de Barras

39 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples dz ds t1t1 t2t2 x y r yz 2 yz 1 AmAm Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): 1 º Teorema de Bredt A m : área delimitada pela LM da seção T T dz r dF III.2. Torção de Barras

40 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples dz ds t1t1 t2t2 yz 2 yz 1 Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): A energia potencial de deformação acumulada no elemento de volume infinitesimal dV = t.ds.dz é Como (1) T T dz r dF III.2. Torção de Barras

41 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples dz ds t1t1 t2t2 yz 2 yz 1 Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): Por outro lado, esta energia pode ser escrita como (2) T d dU T T dz r dF III.2. Torção de Barras

42 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples dz ds t1t1 t2t2 yz 2 yz 1 Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): Igualando as expressões (1) e (2) ou T T dz r dF III.2. Torção de Barras

43 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Torção de Barras de Seção Não Circular Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples dz ds t1t1 t2t2 yz 2 yz 1 Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): 2 º Teorema de Bredt Como Logo, Caso t seja constante, T T dz r dF III.2. Torção de Barras

44 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES z1z1 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Cálculo dos Deslocamentos dz d T T T S1S1 z2z2 S2S2 L deslocamento relativo entre as seções S 1 e S 2 deslocamento relativo entre as seções extremas da barra

45 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Projeto de Barras Torcidas Resistência e Estabilidade: e onde são, respectivamente, as máximas tensões de cálculo normal e de cisalhamento são, respectivamente, as tensões limites normal e de cisalhamento (funções dos estados limites considerados) e é o coeficiente de resistência e e

46 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Projeto de Barras Torcidas Resistência e Estabilidade: e e

47 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Projeto de Barras Torcidas Rigidez: onde é o ângulo de torção entre duas seções é o ângulo de torção limite Se T for constante ao longo do comprimento,

48 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Fim da Aula 08


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