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Aula 08.

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1 Aula 08

2 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução III.2. Torção de Barras III.2.1. Seção Circular III.2.2. Seções Não Circulares III.3. Flexão Simples de Barras

3 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução As seções planas permanecem planas após a deformação Nas solicitações transversais esta hipótese somente é válida no caso de Torção de Seções Circulares. Estado de Cisalhamento Puro seção circular torcida seção não-circular torcida dz dj T T dz Exemplos: eixos de transmissão seções de grelhas onde o fletor é nulo

4 barra fletida com cortante (flexão simples)
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução As seções planas permanecem planas após a deformação Nas solicitações transversais esta hipótese somente é válida no caso de Torção de Seções Circulares. Estado Plano de Tensão barra fletida com cortante (flexão simples) Vy dz Exemplos: seções de vigas em geral

5 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro:

6 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro:

7 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro:

8 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro:

9 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro:

10 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro: 45º tyz

11 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

12 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

13 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

14 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

15 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

16 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

17 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0): 45º sz smin tyz qp qc smáx tmáx sz /2 Logo,

18 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações Estado de Cisalhamento Puro:

19 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações Estado Plano de Tensão (sy = 0):

20 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações Estado Plano de Tensão (sy = 0):

21 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.1. Introdução III.2. Torção de Barras III.2.1. Seção Circular III.2.2. Seções Não Circulares III.3. Flexão Simples de Barras

22 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras dz dj T gyz r onde R é o raio externo da seção Torção de Barras de Seção Circular A seção circular é simétrica em relação a qualquer eixo que contenha o seu cento geométrico. Assim, qualquer sistema de eixos cartesianos ortogonais com origem no centro do círculo é um sistema de eixos centrais principais. x y r tzxdA tyzdA dA x y r dA ttzdA trzdA Portanto, as componentes de tensão de cisalhamento podem ser representadas segundo os eixos radial e tangencial. ou

23 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras dz dj T gtz r Torção de Barras de Seção Circular onde R é o raio externo da seção No ponto de coordenadas (-x,-y) deverá haver duas componentes trzdA e ttzdA em sentido contrário às que atuam no ponto de coordenada (x,y). x y r dA ttzdA trzdA As componentes no sentido radial se anulam e aquelas no sentido tangencial formam um binário. r trzdA ttzdA y x

24 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras dz dj T gtz r Torção de Barras de Seção Circular onde R é o raio externo da seção x y r dA ttzdA r ttzdA y x

25 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras dz dj T gtz r Torção de Barras de Seção Circular As tensões e as deformações variam linearmente com r onde R é o raio externo da seção ttz tmáx x y r dA ttzdA Wp é o Módulo de Resistência da Seção à Torção e r ttzdA y x GIp é o Módulo de Rigidez da Seção à Torção.

26 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação Na superfície do contorno, não há solicitações tangenciais na direção longitudinal (z) nem direção tangencial (t) - momento atua em torno de z, isto é, no plano r-t. Portanto, nessa superfície, não há também tensões tangenciais nas direções z e t.. tzr tzt z tzr z r t ttr tzt ttz trt trz tensões na seção transversal plano da superfície do contorno plano da seção longitudinal plano da seção transversal

27 plano da seção longitudinal
Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação ttz z tzt Na seção transversal, as tensões são auto-equilibradas e tangenciais ao contorno. plano da seção longitudinal

28 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação A Teoria da Elasticidade, por outro lado, determina que, para todas as seções, Observações: e onde Para as seções circulares, e WT é o Módulo de Resistência da Seção à Torção, A constante de torção IT é também designada por J GIT é o Módulo de Rigidez da Seção à Torção e IT é a Constante de Torção da Seção

29 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Seção Retangular: A máxima tensão ocorre no ponto médio do maior lado do retângulo. tmáx e b a = b = 1/3, a/b>10 a >= b

30 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Abertos: a) Perfis de seção formada por retângulos b1 b2 b3 t3 t2 t1 Cada retângulo i absorve uma parcela do momento Ti . Em cada retângulo a máxima tensão ocorre no ponto médio do maior lado e vale

31 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Abertos: a) Perfis de seção formada por retângulos b1 b2 b3 t3 t2 t1 O ângulo unitário de torção da seção é único. Logo, para n retângulos,

32 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Abertos: a) Perfis de seção formada por retângulos b1 b2 b3 t3 t2 t1 Dessa expressão se conclui que este valor será substituído na expressão da máxima tensão e

33 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Abertos: a) Perfis de seção formada por retângulos b1 b2 b3 t3 t2 t1 Logo, (máxima tensão em cada retângulo) Assim, e

34 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Abertos: a) Perfis de seção genérica Esta seção pode ser considerada como formada por infinitos retângulos de largura Ds e espessura ti. t ds Assim, onde S é o comprimento da Linha Média da seção do perfil. Caso t seja constante, e

35 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T dz Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários de sentidos opostos. Logo, no elemento infinitesimal, as forças resultantes no sentido longitudinal são: dz ds t1 t2 tyz2 tyz1

36 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T dz Da condição de equilíbrio dessas forças longitudinais: Este produto se denomina fluxo cisalhante (fc) e é constante ao longo da seção. dz ds t1 t2 tyz2 tyz1 Daí se conclui que a máxima tensão de cisalhamento ocorre nos pontos de menor espessura.

37 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T dz r dF onde S é o comprimento da Linha Média da seção do perfil dz ds t1 t2 tyz2 tyz1

38 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T dz r dF x y r ds dz ds t1 t2 tyz2 tyz1 Am Am: área delimitada pela LM da seção

39 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T dz r dF 1º Teorema de Bredt x y r ds dz ds t1 t2 tyz2 tyz1 Am Am: área delimitada pela LM da seção

40 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T dz A energia potencial de deformação acumulada no elemento de volume infinitesimal dV = t.ds.dz é r dF dz ds t1 t2 tyz2 tyz1 Como (1)

41 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T dz Por outro lado, esta energia pode ser escrita como T dj r dF dU dz ds t1 t2 tyz2 tyz1 (2)

42 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T dz Igualando as expressões (1) e (2) r dF ou dz ds t1 t2 tyz2 tyz1

43 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T dz Como r dF Logo, dz ds t1 t2 tyz2 tyz1 Caso t seja constante, 2º Teorema de Bredt

44 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras dz dj T Cálculo dos Deslocamentos S1 deslocamento relativo entre as seções S1 e S2 S2 z1 T z2 L deslocamento relativo entre as seções extremas da barra

45 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Projeto de Barras Torcidas Resistência e Estabilidade: e onde e são, respectivamente, as máximas tensões de cálculo normal e de cisalhamento e são, respectivamente, as tensões limites normal e de cisalhamento (funções dos estados limites considerados) e é o coeficiente de resistência

46 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Projeto de Barras Torcidas Resistência e Estabilidade: e e

47 Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples
III.2. Torção de Barras Projeto de Barras Torcidas Rigidez: onde é o ângulo de torção entre duas seções é o ângulo de torção limite Se T for constante ao longo do comprimento,

48 Fim da Aula 08


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