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Matemática – Unidade 3. Educação a Distância – EaD Professor: Flávio Brustoloni Matemática.

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Apresentação em tema: "Matemática – Unidade 3. Educação a Distância – EaD Professor: Flávio Brustoloni Matemática."— Transcrição da apresentação:

1 Matemática – Unidade 3

2 Educação a Distância – EaD Professor: Flávio Brustoloni Matemática

3 Cronograma: Turma ADG0096 Matemática DataAtividade 20/10 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina 06/10 1º Encontro 27/10 3º Encontro 2ª Avaliação Disciplina 10/11 4º Encontro 3ª Avaliação Disciplina (FINAL) 06/10 1º Encontro 20/10 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina

4 Objetivos desta Unidade: Compreender a importância do uso de modelos matemáticos na área de Administração e Economia, como recurso para tomada de decisões; 1/44 Reconhecer diferentes tipos de modelos: linear, quadrático, exponencial, bem como algumas de suas aplicações; Identificar as funções custo, lucro e receita, enquanto modelos lineares e polinomiais de grau 2; Reconhecer, sob a ótica matemática, conceitos como depreciação linear e ponto de nivelamento;

5 Unidade 3 APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2/44

6 TÓPICO 1 Modelos Lineares 3/44

7 1 Introdução Os modelos econômicos muitas vezes envolvem questões como fixação de preços, controle de custos e otimização de lucros. O lucro de uma empresa, por exemplo, pode ser expresso em função do preço de venda de um produto, o que nos permite representar algebricamente esta relação, fazendo uso de funções matemáticas. (Estamos na página 125 da apostila) 4/44 Tópico 1

8 2 Vantagens dos Modelos Matemáticos Os modelos matemáticos servem para representar simplificações da realidade. Sua vantagem reside nisto; manipular simuladamente as complexas e difíceis situações reais através do uso de técnicas matemáticas. (Estamos na página 125 da apostila) 5/44 Tópico 1

9 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Função Custo (C): (Estamos na página 126 da apostila) 6/44 Tópico 1 C = C F + C V Onde: C = Custo C F = Custo Fixo C V = Custo Variável

10 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Função Receita (R): (Estamos na página 126 da apostila) 7/44 Tópico 1 R(x) = p.x Onde: R = Receita R(x) = Função Receita x produtos vendidos p = Preço de mercado x = Quantidade de mercadorias vendidas

11 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau Função Lucro (L): (Estamos na página 127 da apostila) 8/44 Tópico 1 L(x) = R(x) – C(x) Onde: L = Lucro L(x) = Função Lucro x produtos vendidos R(x) = Função Receita x produtos vendidos C(x) = Função Custo x produtos vendidos x = Produtos vendidos

12 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau (Estamos na página 127 da apostila) 9/44 Tópico 1 Exemplo 1: o custo fixo mensal de fabricação de um produto é $ 5.000,00 e o custo variável por unidade é $ 10,00. Então a função custo total é dada por: C(x) = x

13 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau (Estamos na página 127 da apostila) 10/44 Tópico 1 C(x) = x GRÁFICO 22 – GRÁFICO DA FUNÇÃO CUSTO

14 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau (Estamos na página 127 da apostila) 11/44 Tópico 1 Supondo que este mesmo produto seja vendido a $ 15,00, a função receita será dada por: R(x) = 15x

15 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau (Estamos na página 127 da apostila) 12/44 Tópico 1 R(x) = 15x GRÁFICO 23 – GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITA

16 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau (Estamos na página 128 da apostila) 13/44 Tópico 1 GRÁFICO 24 – GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITA e CUSTO NO MESMO SISTEMA DE EIXOS Ponto de Nivelamento LUCRO PREJUÍZO RECEITA CUSTO

17 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau (Estamos na página 129 da apostila) 14/44 Tópico 1 15x = x 15x – 10x = x = 5000 x = 5000 / 5 x = 1000

18 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau (Estamos na página 129 da apostila) 15/44 Tópico 1 A função lucro, por sua vez, é determinada através da diferença entre a receita e o custo, ou seja: L(x) = 15x – ( x) L(x) = 15x – 5000 – 10x L(x) = 5x

19 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 3.1 Domínio Discreto e Domínio Contínuo (Estamos na página 129 da apostila) 16/44 Tópico 1 Nas funções custo, receita e lucro, a variável x geralmente representa a quantidade de determinado produto. Se o produto em questão for divisível (por exemplo, número de camisetas produzidas / vendidas), os valores de x serão 0, 1, 2, 3,..., e o gráfico será um conjunto de pontos alinhados.

20 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 3.1 Domínio Discreto e Domínio Contínuo (Estamos na página 130 da apostila) 17/44 Tópico 1 C t (x) x 5000 FIGURA 8 – FUNÇÃO CUSTO COM DOMÍNIO DISCRETO

21 3 Funções Custo, Receita e Lucro do 1º Grau 3.1 Domínio Discreto e Domínio Contínuo (Estamos na página 130 da apostila) 18/44 Tópico 1 C t (x) x 5000 FIGURA 9 – FUNÇÃO CUSTO COM DOMÍNIO CONTÍNUO

22 4 Depreciação Linear (Estamos na página 130 da apostila) 19/44 Tópico 1 Devido ao desgaste, obsolescência e outros fatores, o valor de um bem diminui com o tempo. Essa perda de valor ao longo do tempo chama-se depreciação. Assim, o gráfico do valor em função do tempo é uma curva decrescente.

23 4 Depreciação Linear (Estamos na página 130 da apostila) 20/44 Tópico 1 Exemplo: O valor de uma máquina hoje é de R$ ,00, e estima-se que daqui a 6 anos seja R$ 1.000,00. a) Qual o valor da máquina daqui a x anos? b) Qual sua depreciação total daqui a x anos?

24 4 Depreciação Linear (Estamos na página 131 da apostila) 21/44 Tópico 1 Para determinar a expressão que expressa o valor da máquina daqui a x anos, vamos considerar os pontos conhecidos A(0, 10000) e B(6, 1000) e determinar a função dos coeficientes da função y = ax+b.

25 4 Depreciação Linear (Estamos na página 131 da apostila) 22/44 Tópico 1 y = ax+b 0a + b = a + b = a = 0, logo b = a = a = a a = / 6 a = V(x) = x

26 4 Depreciação Linear (Estamos na página 132 da apostila) 23/44 Tópico 1 A depreciação é resultante da diferença entre o valor inicial do bem e a função que determina sua variação de valor no decorrer do tempo x: D(x) = V 0 – V(x)

27 4 Depreciação Linear (Estamos na página 132 da apostila) 24/44 Tópico 1 D(x) = V 0 – Vx D(x) = – (-1500x ) D(x) = x – D(x) = 1500x Como a variável x é expressa em anos, a função que determina a depreciação D(x) para x anos, apresenta uma desvalorização anual do equipamento correspondente a R$ 1.500,00.

28 TÓPICO 2 Modelos Polinomiais 25/44

29 2 Oferta e Demanda (Estamos na página 137 da apostila) 26/44 Tópico 2 Uma equação de demanda expressa a relação entre o preço por unidade e a quantidade demandada. O gráfico da equação de demanda é chamado de curva de demanda. Função Demanda: p = f(x) Função Oferta: p = f(x)

30 2 Oferta e Demanda (Estamos na página 137 da apostila) 27/44 Tópico 2 Uma função demanda p = f(x) onde p mede o preço por unidade e x o número de unidades, é geralmente uma função decrescente de x, enquanto a função oferta é geralmente uma função decrescente de x.

31 2 Oferta e Demanda (Estamos na página 138 da apostila) 28/44 Tópico 2

32 3 Função Receita e Lucro Quadráticas (Estamos na página 139 da apostila) 29/44 Tópico 2 Exemplo: A função de demanda de um produto é p(x) = 10 – x, e a função custo é c(x) = 20 – x. Vamos obter: a)A função receita e o preço que a maximiza; b) A função lucro e o preço que a maximiza.

33 3 Função Receita e Lucro Quadráticas (Estamos na página 139 da apostila) 30/44 Tópico 2 R(x) = p. x R(x) = (10-x). x R(x) = 10x – x 2 y = ax + b a = -1, b = 10 X v = -(b / 2a) X v = -(10 / 2.(-1)) X v = 5

34 3 Função Receita e Lucro Quadráticas (Estamos na página 139 da apostila) 31/44 Tópico 2 p(x) = 10 – x x = 5 p(x) = 10 – 5 p(x) = 5

35 3 Função Receita e Lucro Quadráticas (Estamos na página 139 da apostila) 32/44 Tópico 2 L(x) = R(x) – C(x) L(x) = 10x – x 2 – (20 + x) L(x) = 10x – x2 – 20 – x L(x) = -x2 + 9x - 20

36 3 Função Receita e Lucro Quadráticas (Estamos na página 139 da apostila) 33/44 Tópico 2 X v = -(b / 2a) X v = -(9 / 2.(-1)) X v = 4,5 p(x) = 10 – 4,5 p(x) = 5,5

37 TÓPICO 3 Modelos Exponenciais 34/44

38 1 Introdução (Estamos na página 143 da apostila) 35/44 Tópico 3 O modelo exponencial se apresenta como alternativa para descrição ou previsão de determinados fenômenos. A função exponencial é uma das funções matemáticas mais utilizadas em estudos ambientais, aplicável, entre outros exemplos, ao crescimento das populações e das necessidades (consumo de recursos) e ao estudo de problemas como a acumulação de poluentes.

39 2 Modelo de Crescimento Exponencial (Estamos na página 143 da apostila) 36/44 Tópico 3 Exemplo 1: Suponhamos que uma população tenha hoje habitantes e que haja um crescimento populacional de 2% ao ano. Assim: Daqui a 1 ano o número de habitantes será: y 1 = (0,02) = (1 + 0,02) Daqui a 2 anos o número de habitantes será: Daqui a 3 anos o número de habitantes será: y 2 = y 1 + (0,02).y 1 = y 1.(1 + 0,02) = (1 + 0,02) 2 y 3 = y 2 + (0,02).y 2 = y 2.(1 + 0,02) = (1 + 0,02) 3

40 2 Modelo de Crescimento Exponencial (Estamos na página 144 da apostila) 37/44 Tópico 3 Podemos concluir que: y = (1,02) x Taxa de crescimento da cidade Quantidade inicial de habitantes Taxa de crescimento anual (2%) Variável Tempo (anos) y = y 0. (1 + k) x

41 2 Modelo de Crescimento Exponencial (Estamos na página 144 da apostila) 38/44 Tópico 3 Exemplo 2: Se daqui a 10 anos o número de habitantes for igual a , qual será a taxa de crescimento anual?

42 2 Modelo de Crescimento Exponencial (Estamos na página 144 da apostila) 39/44 Tópico 3 Exemplo 2: Se daqui a 10 anos o número de habitantes for igual a , qual será a taxa de crescimento anual? A taxa de crescimento será de 4,14% para que daqui a 10 anos, a população desta cidade seja de habitantes.

43 3 Juros Compostos (Estamos na página 145 da apostila) 40/44 Tópico 3 Exemplo 1: Consideremos um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos à taxa de 10% ao ano. Significa que: AnoCapitalJurosMontante ,00100, , ,00110, , ,00121, ,00

44 3 Juros Compostos (Estamos na página 145 da apostila) 41/44 Tópico 3 Podemos concluir que: M = C.(1 + i) n Montante Capital inicial Taxa de Juros Variável Tempo

45 3 Juros Compostos (Estamos na página 146 da apostila) 42/44 Tópico 3 Exemplo 2: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 1.061,36. Qual a taxa mensal de juros desta aplicação?

46 3 Juros Compostos (Estamos na página 146 da apostila) 43/44 Tópico 3 Exemplo 2: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 1.061,36. Qual a taxa mensal de juros desta aplicação? A taxa mensal de juros será de 1,5% para que, daqui a 4 meses, o montante seja de R$ 1.061,36.

47 4 Decaimento Exponencial de Vendas (Estamos na página 147 da apostila) 44/44 Tópico 3 Se S 0 é o número de vendas no último mês após a interrupção dos esforços promocionais, então um bom modelo matemático para S(t) é:

48 Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

49 PRÓXIMA AULA: Matemática 4º Encontro da Disciplina 3ª Avaliação da Disciplina (AVALIAÇÃO FINAL)


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