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TÉCNICAS DE LOGÍSTICA 1- Programação Linear – Função Objetivo 2- Algorítmos de Rede – 2.1 - Destino Único – Algorítmo de Moore 2.2 - Múltiplos Destinos.

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1 TÉCNICAS DE LOGÍSTICA 1- Programação Linear – Função Objetivo 2- Algorítmos de Rede – Destino Único – Algorítmo de Moore Múltiplos Destinos – Algorítmo de Penalidades 3 - Problema de Alocação – Algorítmo Húngaro ou dos Zeros 4 - Problema dos Transportes – Método de Vogel e Otimização 1

2 1- Programação Linear – Função Objetivo Exemplo - Seja um loteamento com m2 de área livre para a construção de casas (que requerem 300 m2 cada) e/ou sobrados (que requerem 100 m2 cada). O custo de cada casa (C) é de R$ ,00 e de cada sobrado (S) R$ ,00. Cada casa é vendida por R$ ,00 e cada sobrado por R$ ,00. Desta forma o lucro esperado por casa é de R$ ,00 e por sobrado de R$ ,00. O prazo de construção de cada casa em série é de 3 (três) meses e de cada sobrado de 1 (um) mês. A empresa dispõe de R$ 2 milhões para as obras que deverão se estender por um período máximo de 2 anos. Pergunta-se: Quantas casas e quantos sobrados deverão ser construídos para que a empresa obtenha o lucro máximo? 2

3 Equações – Programação Linear Função objetivo: Maximizar Z = 100xC + 70xS Sujeito às seguintes equações de restrição: 200xC + 150xS (restrição financeira) 300xC + 100xS (restrição de área de terreno) 3xC + 1xS 24 (restrição de tempo) C 0 S 0 (o número de casas e sobrados não podem ser negativos) 3

4 Solução Gráfica Para atender as restrições a solução estará nos vértices do polígono OABC 4

5 Solução Gráfica (cont.) Obtenção das coordenadas do Ponto B (1) 200C + 150S = 2000 (restrição de orçamento) e (2) 3C + 1S = 24 (restrição de tempo) 1S = 24 – 3C 200C (24 – 3C) = C – 450C = C = 1600 C = 32/5 =6,4 e S = 24/5 = 4,8 Os mesmos resultados podem ser obtidos usando o Programa de Programação Linear do Prof. Maurício Pereira Santos. Os resultados não são números inteiros, neste caso a solução correta, desde que não sejam alteradas as restrições é obtida usando Programação Linear Inteira. (Ver após programas Prof. Maurício) Se os resultados fossem arredondados tem – se: Se C = 6 S = 5 (Obs. 6 casas e 6 sobrados ultrapassa o orçamento) Se C = 7 S = 3 (Obs. 7 casas e 4 sobrados ultrapassa o prazo) Se S = 4 C = 6 (Obs. 4 sobrados e 7 casas ultrapassa o prazo) 5

6 Programas – PO – Prof. Maurício Pereira Santos 6

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8 Resolução – Loteamento (Casas e Sobrados) 8

9 Solução por Prog. Linear Normal e Prog. Linear Inteira Resposta: A melhor solução, atendendo todas as restrições seria construir 6 (seis) casas e 5 (cinco) sobrados no terreno obtendo um lucro de R$ ,00. Verifica-se, neste exemplo, que a restrição apresentada pela área do terreno (3.000 m 2 ), não foi considerada. As 6 casas e os 5 sobrados ocupariam conforme os dados m 2 (6x x100). Sobrariam R$ ,00 sem utilizar e as obras durariam 23 meses. Resolvendo, contudo o mesmo exercício por Programação Linear Inteira, usando o programa de computador MIPROG do LOGWARE, obtêm-se a construção de 8 (oito) sobrados e 4 (quatro) casas com um lucro total de R$ ,00. Seriam utilizados neste caso, somente m 2 do terreno para as edificações, seriam usados todos os recursos financeiros e as obras estariam prontas em 20 meses. A construtora poderia adquirir uma área menor ou considerar terrenos maiores para cada uma das residências ou aumentar a área de lazer, escolhendo a medida que trouxesse maior valorização ao empreendimento. Na construção de sobrados sem acesso direto para a via pública, a prefeitura exige a destinação de área para lazer. 9

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11 Dados e Solução usando Programa MIPROG do LOGWARE 11

12 2.1-Rede – Destino Único – Algorítmo de Moore 12

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14 Prof. Maurício Pereira Santos – Rota Mínima p/Único Destino 14

15 Prof. Maurício Pereira – Rota Mínima p/Único Destino Rota Mínima entre o Nó 1 e o Nó 6 15

16 Programa ROUTE do LOGWARE 16

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18 2.2 - Rede – Destinos Múltiplos – Algorítmo de Penalidades Exemplo – Seja a malha viária abaixo dada pelos nós, A, B, C, D, E e F e as distâncias entre os mesmos. Pede-se definir o roteiro de distância mínima saindo de qualquer dos nós, passando por todos os demais e retornando ao ponto inicial. A D C F B E

19 Algorítmo de Penalidades – resolução parte 1 19

20 Algorítmo de Penalidades – resolução parte 2 20

21 Algorítmo de Penalidades – resolução parte 3 21

22 Algorítmo de Penalidades – resolução parte 4 - Final 22

23 Resultado Final – Algorítmo de Penalidades 23

24 Programa ROUTESEQ do LOGWARE Encontra a rota mínima para pontos dados por suas coordenadas. Exemplo: 24

25 Resultados do ROUTESEQ do LOGWARE 25

26 3-Problema de Alocação – Algorítmo Hungaro Ou problema de designação, de asignação, de localização ou de atribuição. Aplicações: 1)Locais para colocar materiais numa construção minimizando os custos totais. 2)Designação de pessoas para fazerem determinadas tarefas com a produção máxima. 3)Designação de veículos para transportarem determinadas cargas com custo total minimizado. 4)Escolher que atividade será feita por equipamentos semelhantes (por exemplo tratores) da empresa com custos mínimos ou lucros máximos. 5)Escolher que empresa fará que projeto de forma a obter para o custo total mínimo. Resolução: Montar matrizes e criar zeros; as soluções estarão nas posições com zeros. Existe uma função objetivo e as restrições são representadas por equações de primeiro grau. Nestas equações é possível demonstrar matematicamente que a subtração (ou adição) de um mesmo número em todos os termos não altera a solução. Desta forma os zeros são criados fazendo o menor número em cada linha (e em seguida em cada coluna) igual à zero e o subtraindo dos demais números. Se a matriz for de lucros ou receitas, inicialmente transforma-se a mesma em matriz de custos, fazendo o maior valor igual à zero e subtraindo o mesmo dos demais números. O algoritmo só é válido para matrizes com custos e para matrizes quadradas, se a matriz não for quadrada incluem-se linhas ou colunas adicionais com custos iguais à zero. Se uma dada atividade não puder ser realizada atribui-se a mesma um custo muito alto. 26

27 3-Problema de Alocação – Algorítmo Hungaro - Exemplo 3- Tentar definir a alocação usando os zeros

28 3-Problema de Alocação – Algorítmo Hungaro – Exemplo (cont.) Como não foi possível fazer todas as alocações só usando as posições com zero, criar novo zero no menor número não cortado por linhas horizontais e verticais que cubram todos os zeros anteriores e tentar fazer novamente a alocação. (manter zeros anteriores, a menos que sejam cortados por 2 linhas). 28

29 3-Problema de Alocação – Algorítmo Hungaro – Exemplo (cont.2) Custo Mínimo total = = 141 Estes problemas são resolvidos por programas de computador como o QSB (Quantitative System for Business), PO, LOGWARE, etc. 29

30 Prof. Maurício Pereira Santos – Problema de Alocação ou Atribuição 30

31 Prof. Maurício Pereira Santos – Problema de Alocação ou Atribuição (cont.) 31

32 Prof. Maurício Pereira Santos – Problema de Alocação ou Atribuição (cont.) 32

33 Prof. Maurício Pereira Santos – Problema de Alocação ou Atribuição (cont.) 33

34 4- Problema dos Transportes Problema dos Transportes – Método de Vogel Problema de distribuição ou problema de concorrência. APLICAÇÕES 1)Verificar que depósito de uma rede de lojas deve abastecer cada loja com cada produto e em que quantidade. 2)Para a construção de várias obras de engenharia (casas, prédios) ao mesmo tempo por uma empresa verificar onde deve ser adquirido e as quantidades de cada um dos materiais (cimento, tijolos, portas, janelas, areia, pedras, etc.). 3)Que garagem de ônibus deve enviar ônibus para cada uma das linhas e em que quantidades. 4)Verificar se determinada empresa tem condições de ser estabelecida num dado mercado praticando determinados preços. Caso positivo dimensionar a empresa (problema de concorrência). 5)Escolher quantidades de carga em cada um dos percursos mínimos definidos na rede de transportes. 34

35 4- Problema de Transportes – Método de Vogel 35

36 4-Problema dos Transportes – Método de Vogel (cont.) 36

37 Prof. Maurício Pereira dos Santos – Problema dos Transportes – Entrada Dados 37

38 Prof. Maurício Pereira Santos – Problema dos Transportes - Solução 3- Otimização


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