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Teoria e Modelagem Matemática

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Apresentação em tema: "Teoria e Modelagem Matemática"— Transcrição da apresentação:

1 Teoria e Modelagem Matemática
Programação Linear Teoria e Modelagem Matemática Prof. Antônio Sérgio Coelho Prof. Sérgio Fernando Mayerle

2 Programação Linear Sumário – Parte I
Exemplo introdutório Modelagem conceitual e matemática Solução gráfica Dificuldades adicionais Lista de exercícios adicionais

3 Programação Linear Exemplo de Introdutório
A WINDOR GLASS Inc. dispõe de capacidade extra para produzir dois novos produtos. A demanda é muito maior que a capacidade disponível (toda produção poderá ser vendida). Pergunta-se: (a) o que produzir? (b) quanto produzir? (c) qual será o lucro? (d) qual o valor, em $/hora, da capacidade disponível em cada setor produtivo? Os dados estão na tabela abaixo. Setor Produtivo Produto Capacidade Disponível Janelas Portas Montagem 1 hora/unid. - 4.000 horas/mês Laminação 2 hora/unid. horas/mês Corte 3 hora/unid. horas/mês Lucro Unitário $ 3,00 $ 5,00

4 Programação Linear Modelagem Conceitual e Matemática
Setor Produtivo Produto Capacidade Disponível Janelas Portas Montagem 1 hora/unid. - 4.000 horas/mês Laminação 2 hora/unid. horas/mês Corte 3 hora/unid. horas/mês Lucro Unitário $ 3,00 $ 5,00 Variáveis X1 = qtde. de janelas, em milhares de unidades; X2 = qtde. de portas, em milhares de unidades; Z = lucro total obtido com novos produtos. Restrições a) disponibilidade do setor de montagem; b) disponibilidade do setor de laminação; c) disponibilidade do setor de corte; d) quantidades não negativas. Objetivo Maximizar o lucro total da empresa

5 Programação Linear Solução Gráfica
2 x 9 4 1 x 8 7 12 2 x 6 5 4 1 x 3 2 1 18 2 3 1 + x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x 2 x

6 Programação Linear Dificuldades Adicionais ao Problema...
O que fazer se além de portas e janelas a WINDOR puder fabricar, também, mesas e armários? Resolver graficamente o problema torna-se inviável ... É necessário usar métodos numéricos mais eficazes e eficientes. Quantos produtos diferentes uma fábrica pode produzir? 5, 10, 100, 1000, ... Quantos setores de produção uma fábrica possui? E se existem restrições adicionais em relação ao uso de matéria-prima, energia, estoques, mão-de-obra, cadeia de suprimento e distribuição? Outros modelos, mais complexos, poderão ser formulados ...

7 Programação Linear Lista de Exercícios de Formulação
Produção Logística Mistura Finanças e investimentos Carregamento de navios Corte de chapas e barras Aquisição de máquinas Problemas dinâmicos Câmbio Estratégia militar Engenharia estrutural Operação de dutos Dimensionamento de linhas de produção Alocação de mão-de-obra Programação de operações Controle de emissão de poluentes Alguns do problemas acima apresentam variáveis discretas que somente podem assumir valores do conjunto de inteiros, e em casos mais particulares o conjunto de inteiros se limita a {0,1}.

8 Programação Linear Sumário – Parte II
Forma padrão Relações de equivalência Suposições da Programação Linear Propriedades Estrutura do método Simplex

9 Programação Linear Forma Padrão (1)

10 Programação Linear Forma Padrão (2)

11 Programação Linear Forma Padrão (3)

12 Programação Linear Forma Padrão (4)

13 Programação Linear Relações de Equivalência (1)
Qualquer que seja a estrutura do PPL, sempre é possível transformá-lo no formato padrão apresentado. Relação entre maximização e minimização

14 Programação Linear Relações de Equivalência (2)
Relação entre inequações e equações

15 Programação Linear Relações de Equivalência (3)
Tratamento de limites de variáveis

16 Programação Linear Suposições
Proporcionalidade Custos e quantidades de recursos consumidos na produção são proporcionais às quantidades produzidas Aditividade Custos totais e quantidades totais de recursos são determinados pela soma de custos e recursos consumidos na produção de todos items Divisibilidade É possível produzir quantidades fracionárias de cada um dos produtos Certeza Todos os parâmetros do modelo são determinados e conhecidos Perspectiva das suposições Existe a possibilidade de todas estas suposições não serem verdadeiras.

17 Programação Linear Propriedades
Se existe exatamente uma solução ótima, então deve ser uma solução factível em um vértice Se existem soluções ótimas múltiplas, então ao menos duas delas devem ser soluções factíveis em vértices adjacentes Existe um número finito de soluções factíveis em vértices, não maior que... Se uma solução factível em um vértice é igual ou melhor (segundo o valor de Z) que todas as soluções factíveis nos vértices adjacentes a ela, então é igual ou melhor que todas as demais soluções factíveis existentes nos vértices, isto é, é uma solução ótima 2 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x

18 Programação Linear Estrutura do Método Simplex
Passo inicial: iniciar com uma solução factível em um vértice. Teste de otimalidade: se não existe solução factível em um vértice adjacente, melhor que a solução atual, então PARE. A solução atual é ótima. Em caso contrário, vá ao passo 3. Passo iterativo: movimente em direção de uma solução factível melhor, em um vértice adjacente; volte ao passo 2. 2 x Solução Ótima 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x

19 Programação Linear Sumário – Parte III
Solução inicial viável (caso trivial) Método Simplex na forma tableau Algoritmo Exemplo da WINDOR Método Simplex na forma matricial Formulação matemática Obtenção da solução inicial viável (caso não trivial) Inclusão de variáveis artificiais Solução inicial pelo método das duas fases Solução inicial pelo método do M-grande

20 Programação Linear Solução Inicial Viável (caso trivial)
a) variáveis não negativas b) restrições com limite superior Solução  variáveis nulas  folgas iguais ao RHS

21 Programação Linear Método Simplex na Forma Tableau (1)
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 RHS 1 4 2 12 3 18 -3 -5 +inf +6 +9 O que fazer para melhorar a solução? Quanto aumentar X2 ? Base Z X1 X2 S1 S2 S3 RHS 1 4 1/2 6 3 -1 -3 5/2 30 +4 +inf +2

22 Programação Linear Método Simplex na Forma Tableau (2)
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 RHS 1 1/3 -1/3 2 1/2 6 3/2 36 Var. Decisões Valor Marg. X1 Janelas 2 X2 Portas 6 S1 Montagem S2 Laminação 1,5 S3 Corte 1 Z Lucro 36 Pergunta-se: o que produzir? quanto produzir? qual será o lucro? qual o valor da capacidade disponível em cada setor?

23 Programação Linear Método Simplex – Algoritmo
Custo marginal mais negativo Início Escolher variável para entrar na base Menor razão não negativa Montar tableau com solução básica inicial viável Calcular razão RHS / coluna (entra) Escolher variável para sair da base 1 Existe custo marginal < 0 ? Existe razão  0 finita ? Sim Sim Não Fazer troca de base e recalcular o tableau Não Solução ótima Solução ilimitada 1 Fim

24 Programação Linear Método Simplex na Forma Matricial (1)
Particionando...

25 Programação Linear Método Simplex na Forma Matricial (2)
Como resolver o sistema de equações lineares ? No caso particular em que as variáveis não básicas são nulas ... Solução Particular

26 Programação Linear Método Simplex na Forma Matricial (3)
E o valor da função objetivo ? No caso particular em que as variáveis não básicas são nulas ... Solução Particular

27 Programação Linear Método Simplex na Forma Matricial (4)
Resumindo, até aqui tem-se ... É possível melhorar o valor da função objetivo ? ...

28 Programação Linear Método Simplex na Forma Matricial (5)
Como melhorar ... Escolher para aumentar (entrar na base) uma variável não básica associada a uma componente positiva do vetor

29 Programação Linear Método Simplex na Forma Matricial (6)
Aumentar a k-ésima variável não básica (escolhida) ... até quanto ? Escolher para sair da base uma variável básica associada ao menor valor calculado.

30 Programação Linear Método Simplex na Forma Matricial (7)
Resumo... Solução Teste de entrada Teste de saída

31 Programação Linear Exemplo (1)

32 Programação Linear Exemplo (1.a)
1a. Iteração

33 Programação Linear Exemplo (1.b)
Entra na base

34 Programação Linear Exemplo (1.c)
Coluna de Sai da base

35 Programação Linear Exemplo (2.a)
2a. Iteração

36 Programação Linear Exemplo (2.b)
Entra na base

37 Programação Linear Exemplo (2.c)
Coluna de Sai da base

38 Programação Linear Exemplo (3.a)
3a. Iteração

39 Programação Linear Exemplo (3.b)
Solução ótima

40 Programação Linear Exemplo (4)
Var. Decisões Valor Marg. X1 Janelas 2 X2 Portas 6 S1 Montagem S2 Laminação -1,5 S3 Corte -1 Z Lucro 36 1

41 Programação Linear Solução Inicial Viável (caso não trivial)
Não tem solução trivial Sempre tem solução trivial Ambas formulações são equivalentes quando

42 Programação Linear Solução Inicial Viável – Método do M-grande

43 Programação Linear Solução Inicial Viável – Método das 2 Fases
Resolver o problema da fase 1 usando as variáveis artificiais para formar uma base inicial viável. Se w = 0, então uma solução inicial viável foi obtida para o problema. Fase 1 Fase 2 Se w = 0, usar solução ótima da fase 1 como solução inicial viável para a fase 2.

44 Exemplo Uma empresa tem três tipos de máquinas de processamento, tendo cada uma delas velocidade e taxas de defeitos diferentes. Devem ser processadas 3500 peças por dia (8 horas/dia). Cada peça defeituosa custa à empresa US$ 1,00. Formule um modelo de PL para determinar a solução ótima para este problema. Tipo Máquina Peças / hora Defeitos US$ / hora # Máquinas I 20 5% 2,00 8 II 15 10% 1,75 10 III 0% 1,50


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