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Estabilidade e Estacionariedade em Séries Temporais Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2.

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Apresentação em tema: "Estabilidade e Estacionariedade em Séries Temporais Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2."— Transcrição da apresentação:

1 Estabilidade e Estacionariedade em Séries Temporais Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2

2 Objeto de estudo A econometria de séries temporais dedica- se à estimação de equações de diferença contendo componentes estocásticos.A econometria de séries temporais dedica- se à estimação de equações de diferença contendo componentes estocásticos.

3 Séries Discretas no Tempo Seja y = f(t), portantoSeja y = f(t), portanto Δy = f(t 0 + h) – f(t 0 )Δy = f(t 0 + h) – f(t 0 ) Na prática, as séries econômicas são geradas em intervalos discretos de tempoNa prática, as séries econômicas são geradas em intervalos discretos de tempo Toma-se por conveniência h = 1, representando a unidade de tempo da série em questãoToma-se por conveniência h = 1, representando a unidade de tempo da série em questão

4 Séries discretas Note que o fato do tempo ser discreto não implica que a variável y seja discreta.Note que o fato do tempo ser discreto não implica que a variável y seja discreta. A variável discreta y é dita aleatória (estocástica) se existe pelo menos um valor de r tal que 0 < p(y = r) < 1A variável discreta y é dita aleatória (estocástica) se existe pelo menos um valor de r tal que 0 < p(y = r) < 1 Caso exista um valor de r para o qual p(y = r) = 1, então y é determinísticaCaso exista um valor de r para o qual p(y = r) = 1, então y é determinística

5 Séries Discretas Os elementos de uma série econômica {y 0, y 1,..., y t } podem ser considerados como realizações (resultados) de um processo estocástico.Os elementos de uma série econômica {y 0, y 1,..., y t } podem ser considerados como realizações (resultados) de um processo estocástico. Por exemplo o PIB. Como não podemos prevê-lo perfeitamente, y t é uma variável aleatória.Por exemplo o PIB. Como não podemos prevê-lo perfeitamente, y t é uma variável aleatória. Cada valor conhecido do PIB é uma realização desse processo estocástico.Cada valor conhecido do PIB é uma realização desse processo estocástico.

6 Objetivo do modelo A partir de valores observados de uma séries temporal (i.e., uma amostra), identificar os aspectos essenciais do verdadeiro processo gerador de dados (i.e., do universo).A partir de valores observados de uma séries temporal (i.e., uma amostra), identificar os aspectos essenciais do verdadeiro processo gerador de dados (i.e., do universo). As equações de diferenças estocásticas são um instrumento eficaz para modelar processo econômicos dinâmicos.As equações de diferenças estocásticas são um instrumento eficaz para modelar processo econômicos dinâmicos.

7 Equações de diferenças Uma equação de diferenças expressa o valor de uma variável como função de seus próprios valores defasados, do tempo, e de outras variáveis. Ex:Uma equação de diferenças expressa o valor de uma variável como função de seus próprios valores defasados, do tempo, e de outras variáveis. Ex: y t = 8,2 + 0,75y t-1 – 0,12y t-2 + ε t

8 Ruído Branco Uma seqüência { ε t } é dita ruído branco se cada valor da série tiver média zero, variância constante, e não apresentar correlação serial.Uma seqüência { ε t } é dita ruído branco se cada valor da série tiver média zero, variância constante, e não apresentar correlação serial.

9 Ruído Branco

10 E( ε t ) = E( ε t ) =... = 0 Var(ε t ) = Var(ε t ) =... = 2 E(ε t.ε t-s ) = 0 para todo s 0

11 Solução de equações de diferenças A solução de equações de diferenças lineares pode ser dividida em duas partes: a solução particular e a solução homogênea.A solução de equações de diferenças lineares pode ser dividida em duas partes: a solução particular e a solução homogênea. A parte homogênea da equação dá uma medida do desequilíbrio inicial em relação à posição de equilíbrio de longo prazoA parte homogênea da equação dá uma medida do desequilíbrio inicial em relação à posição de equilíbrio de longo prazo A equação homogênea é importante porque dá as raízes características, que determinam se a série é convergente (estável)A equação homogênea é importante porque dá as raízes características, que determinam se a série é convergente (estável)

12 Exemplo: Equação de ordem 2 y t = a 0 + a 1 y t-1 + a 2 y t-2 + ε t Equação homogênea y t - a 1 y t-1 - a 2 y t-2 = 0 Equação característica x 2 - a 1 x - a 2 = 0 As raízes dessa equação são chamadas raízes característicasAs raízes dessa equação são chamadas raízes características

13 Raízes e estabilidade As raízes características serão funções dos coeficientes a 1 e a 2As raízes características serão funções dos coeficientes a 1 e a 2 As raízes características determinam se a série é estável (convergente) ou instável (divergente)As raízes características determinam se a série é estável (convergente) ou instável (divergente) Isto é, a estabilidade da série depende dos coeficientes a 1 e a 2Isto é, a estabilidade da série depende dos coeficientes a 1 e a 2

14 Série convergente (estável)

15 Série divergente (instável)

16 Condições de Estabilidade Condição necessáriaCondição necessária Condição suficienteCondição suficiente Se algum a i = 1, o processo tem raiz(es) unitária(s)Se algum a i = 1, o processo tem raiz(es) unitária(s)

17 Estabilidade e Estacionariedade Se y t é uma equação estocástica de diferenças, então a condição de estabilidade é uma condição necessária para que a série temporal {y t } seja estacionária.Se y t é uma equação estocástica de diferenças, então a condição de estabilidade é uma condição necessária para que a série temporal {y t } seja estacionária.

18 Estacionariedade Um processo estocástico y(t) é dito (fracamente) estacionário se:Um processo estocástico y(t) é dito (fracamente) estacionário se: E[y(t)] =E[y(t)] = Var[y(t)] = E[y(t) - ] 2 = 2Var[y(t)] = E[y(t) - ] 2 = 2 E{[y(t) - )][y(t - k) - ]} = f(k)E{[y(t) - )][y(t - k) - ]} = f(k) Obs.: um processo fortemente estacionário não precisa de média e variância constantes. (É um conceito menos restritivo).Obs.: um processo fortemente estacionário não precisa de média e variância constantes. (É um conceito menos restritivo).

19 Interpretação Uma série temporal é dita estacionária se suas propriedades estatísticas não mudam com o tempoUma série temporal é dita estacionária se suas propriedades estatísticas não mudam com o tempo A série estacionária tem média e variância constantes no tempo, e a covariância entre valores defasados da série depende apenas da defasagem, isto é, da distância temporal entre eles.A série estacionária tem média e variância constantes no tempo, e a covariância entre valores defasados da série depende apenas da defasagem, isto é, da distância temporal entre eles. Cov(Y t,Y t-k ) = k k

20 Interpretação significa que se, por exemplo, 1 > 0, então um valor alto de Y no presente momento provavelmente será seguido de um valor também alto de Y no próximo momento.significa que se, por exemplo, 1 > 0, então um valor alto de Y no presente momento provavelmente será seguido de um valor também alto de Y no próximo momento. A hipótese de que os k sejam estáveis no tempo, permite que se use essa informação para prever valores futuros da série.A hipótese de que os k sejam estáveis no tempo, permite que se use essa informação para prever valores futuros da série.

21 Não-estacionariedade No nível da média. A média varia ao longo da série. Séries que apresentam tendências temporais não têm média estacionária.No nível da média. A média varia ao longo da série. Séries que apresentam tendências temporais não têm média estacionária. Se a tendência for não-linear, as covariâncias também se alterarão ao longo do tempoSe a tendência for não-linear, as covariâncias também se alterarão ao longo do tempo

22 Modelo autoregressivo de primeira ordem AR(1) É representado como:É representado como: Y t = a 1 Y t-1 + t significa que o valor de Y em t depende do valor de Y no período anterior mais uma perturbação aleatória.significa que o valor de Y em t depende do valor de Y no período anterior mais uma perturbação aleatória. Note que se tomou a 0 = 0.Note que se tomou a 0 = 0.

23 Média do modelo AR(1) E(y t ) = a 0 /(1 – a 1 )

24 Variância do modelo AR(1) Var(y t ) = 2 /[1 – (a 1 ) 2 ]

25 Covariância do modelo AR(1) Cov(y t, y t-s ) = 2 (a 1 ) s /[1 – (a 1 ) 2 ]= γ s Portanto γ 0 é a variância de y t

26 Autocorrelação Para uma série estacionária pode-se definir a autocorrelação entre y t e y t-s como:Para uma série estacionária pode-se definir a autocorrelação entre y t e y t-s como: s = γ s / γ 0 s = γ s / γ 0 A função de autocorrelação (FAC) mostra os valores de s para valores crescentes de s.A função de autocorrelação (FAC) mostra os valores de s para valores crescentes de s.

27 Restrições para estacionariedade do AR(1) Seja Y t = a 0 + a 1 Y t-1 + tSeja Y t = a 0 + a 1 Y t-1 + t Dada a condição inicial y = y 0 para t = 0, a solução da equação é:Dada a condição inicial y = y 0 para t = 0, a solução da equação é: Y t = a 0 i=0 t-1 a 1 i + a 1 t Y 0 + i=0 t-1 t-i

28 Restrições (continuação) Ao tomar o valor esperado de y para os instantes t e t+s observa-se que:Ao tomar o valor esperado de y para os instantes t e t+s observa-se que: E (y t ) E(y t+s ) Isto é, a média não seria constante e, portanto o AR(1) não seria estacionárioIsto é, a média não seria constante e, portanto o AR(1) não seria estacionário

29 Restrições (conclusão) Esta restrição é contornada ao se tomar o valor limite de y t :Esta restrição é contornada ao se tomar o valor limite de y t : lim y t = a 0 /(1 – a 1 ) + i=0 t-i = a 0 /(1 – a 1 ) Portanto a estacionariedade requer |a 1 | < 1, e requer também que o número de observações seja grande, ou que o processo esteja ocorrendo ahá um tempo infinitamente longoPortanto a estacionariedade requer |a 1 | < 1, e requer também que o número de observações seja grande, ou que o processo esteja ocorrendo ahá um tempo infinitamente longo Portanto é necessário cuidado ao trabalhar com séries originárias de processos recentes, pois podem não ser estacionárias.Portanto é necessário cuidado ao trabalhar com séries originárias de processos recentes, pois podem não ser estacionárias.

30 Autocorrelação parcial Mede a intensidade da relação entre duas observações da série, controlando (mantendo constante) o efeito das demaisMede a intensidade da relação entre duas observações da série, controlando (mantendo constante) o efeito das demais Y t = 11 Y 1 + t 11 = 11 Y t = 11 Y Y 2 + t 22 = 22 Y t = k1 Y 1 + k2 Y kk Y k + t kk = kk a seqüência de pares (k, kk ) constitui a função de autocorrelação parciala seqüência de pares (k, kk ) constitui a função de autocorrelação parcial

31 Interpretação Se, por exemplo, numa série mensal, os valores de Y t forem altamente correlacionados com os valores de Y t-12, então a função de autocorrelação parcial deveria exibir um pico na defasagem 12, e nenhum valor significativo nas demais.Se, por exemplo, numa série mensal, os valores de Y t forem altamente correlacionados com os valores de Y t-12, então a função de autocorrelação parcial deveria exibir um pico na defasagem 12, e nenhum valor significativo nas demais.


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