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Árvore Binária de Busca Estrutura de Dados II Prof. Gale.

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1 Árvore Binária de Busca Estrutura de Dados II Prof. Gale

2 Analisemos a seguinte árvore: PEDRO MARIAANDRÉMARCELO RODRIGOMARCIAVIVIANECEZARAIDE CLAUDIO

3 Podemos concluir: Esta árvore possui 10 nós distribuidos aleatoriamente. Esta árvore possui 10 nós distribuidos aleatoriamente. O nodo Pedro é a raiz da árvore, que tem 3 sub- árvores com Maria, André e Marcelo. O nodo Pedro é a raiz da árvore, que tem 3 sub- árvores com Maria, André e Marcelo. O número de sub-árvores de um nó determina o grau desse nó. Dessa forma, Pedro e Maria têm grau 3, enquanto André tem grau 2 e Marcelo grau zero. Nodos que possuem grau zero são denominados de terminais ou folhas. O número de sub-árvores de um nó determina o grau desse nó. Dessa forma, Pedro e Maria têm grau 3, enquanto André tem grau 2 e Marcelo grau zero. Nodos que possuem grau zero são denominados de terminais ou folhas.

4 E também... Para identificar os nós da estrutura, usamos as denominações da relação de hierarquia existente em uma árvore genealógica. Dessa forma, Pedro é pai de Maria, André e Marcelo que são irmãos entre si. No sentido inverso, Rodrigo, Márcia e Viviane são filhos de Maria e netos de Pedro. Para conhecermos os antepassados de um nodo, basta identificarmos todos os nodos ao longo do caminho entre a raiz e este nodo. Ex: os antepassados de Cláudio são: Pedro, Maria e Viviane. Para identificar os nós da estrutura, usamos as denominações da relação de hierarquia existente em uma árvore genealógica. Dessa forma, Pedro é pai de Maria, André e Marcelo que são irmãos entre si. No sentido inverso, Rodrigo, Márcia e Viviane são filhos de Maria e netos de Pedro. Para conhecermos os antepassados de um nodo, basta identificarmos todos os nodos ao longo do caminho entre a raiz e este nodo. Ex: os antepassados de Cláudio são: Pedro, Maria e Viviane.

5 E também... Um conceito importante no estudo de árvores é o conceito de nível, que representa a distância do nodo até a raiz. Por definição, a raiz da árvore tem nível 0. Na figura que vimos, os nodos Maria, André e Marcelo têm nível 1, os nodos Rodrigo, Márcia, Viviane, Cézar e Aide tem nível 2, assim por diante. O nodo de maior nível nos fornece a altura (ou profundidade) da árvore. Um conceito importante no estudo de árvores é o conceito de nível, que representa a distância do nodo até a raiz. Por definição, a raiz da árvore tem nível 0. Na figura que vimos, os nodos Maria, André e Marcelo têm nível 1, os nodos Rodrigo, Márcia, Viviane, Cézar e Aide tem nível 2, assim por diante. O nodo de maior nível nos fornece a altura (ou profundidade) da árvore.

6 Exercício 1 Exercício 1: Tente construir uma árvore com base nas informações abaixo: O nodo C tem grau 3. O nodo C tem grau 3. O nodo X é neto de C e filho de B. O nodo X é neto de C e filho de B. O avô de B é A. O avô de B é A. O nodo A tem altura 0 e T tem altura 1. O nodo A tem altura 0 e T tem altura 1. Os antepassados de P são A,T e K, que são também antepassados de H. Os antepassados de P são A,T e K, que são também antepassados de H. T tem grau 2, e um dos seus filhos é o nodo S. T tem grau 2, e um dos seus filhos é o nodo S. O nodo G tem 2 sub-árvores que são netos de C. O nodo G tem 2 sub-árvores que são netos de C. D é irmão de G, que é uma folha. D é irmão de G, que é uma folha. E e F tem graus 0 e 1 respectivamente e são também netos do nodo C. E e F tem graus 0 e 1 respectivamente e são também netos do nodo C. O nodo N tem nível 4. O nodo N tem nível 4.

7 Exercício 2

8 Percurso em uma Árvore Binária Existem três ordens tradicionais de percurso em árvores binárias: Pré-ordem ou prefixa Pré-ordem ou prefixa Simétrica ou Infixa Simétrica ou Infixa Pós-ordem ou Pós-fixa. Pós-ordem ou Pós-fixa.

9 Ordens: -Prefixa: -Prefixa: visita a raiz visita a raiz visita a sub-árvore à esquerda visita a sub-árvore à esquerda visita a sub-árvore à direita visita a sub-árvore à direita -Infixa: -Infixa: visita a sub-árvore à esquerda visita a sub-árvore à esquerda visita a raiz visita a raiz visita a sub-árvore à direita visita a sub-árvore à direita -Pós-fixa: -Pós-fixa: visita a sub-árvore à esquerda visita a sub-árvore à esquerda visita a sub-árvore à direita visita a sub-árvore à direita visita a raiz visita a raiz

10 Observe a seguinte árvore: A BC DEFG Prefixa: A B D E C F G Infixa: D B E A F C G Pós-fixa: D E B F G C A

11 Exercícios 1.) Uma árvore binária de pesquisa tem 10 nodos. Os nodos foram inseridos na seguinte ordem: F, C, E, F, G, A, B, I, H, J. Desenhe a respectiva árvore. 2.) Faça o percurso em pré-ordem da árvore acima. 3.) Monte uma árvore binária de pesquisa (desenhe) inserindo os nós abaixo na ordem apresentada: a) 14, 15, 4, 9, 7, 18, 3, 5, 16, 4, 20, 17. b) 20, 15, 50, 40, 13, 17, 45, 35, 12, 14, 47, 46 e 60

12 Outros Exercícios

13 Exercícios - Continuação 5.) Faça os seguintes percursos na árvore acima: a) percurso in-ordem b) percurso pos-odem

14 Exercícios - Continuação 6.) Ache as expressões na notação (1) infixa, (2) polonesa (pré-fixa) e (3) polonesa reversa (pós-fixa da árvore abaixo):

15 Exercícios - continuação Desenhe a árvore que representa a expressão: [ (x – 2) * 3 ] + (5 + 4) [ (2 * x – 3 * y) + 4 * z ] + 1

16 Árvores binárias balanceadas - AVL Balanceamento Dinâmico: AVL Árvore AVL em homenagem aos matemáticos russos (Adelson- Velskii e Landism -1962) Uma árvore AVL é uma árvore binária de pesquisa onde a diferença em altura entre as subárvores esquerda e direita é no máximo 1 (positivo ou negativo). A essa diferença chamamos de fator de balanceamento de n (FatBal (n)). Essa informação deverá constar em cada nó de uma árvore balanceada

17 AVL Assim, para cada nodo podemos definir um fator de balanceamento (FB), que vem a ser um número inteiro igual a FB(nodo p) = altura(subárvore direita p) - altura(subárvore esquerda p) O Fator de uma folha é sempre Zero (0)


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