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TRANSFORMADA DE LAPLACE Prof. Marcelo de Oliveira Rosa.

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Apresentação em tema: "TRANSFORMADA DE LAPLACE Prof. Marcelo de Oliveira Rosa."— Transcrição da apresentação:

1 TRANSFORMADA DE LAPLACE Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Transformada de Laplace Análise de comportamento de sistemas Extensão natural da transformada de Fourier s Novo domínio s = σ + jΩ Transformada de Fourier Autofunção de senóides complexas Transformada de Laplace Transformada de Laplace exponenciais complexas Autofunção de exponenciais complexas

3 Transformada de Laplace Autofunção e autovalor Convoluindo x(t) com um sistema LTI h(t)

4 Transformada de Laplace Relação com Transformada de Fourier fator de convergência e -σt é um fator de convergência Usado para lidar com sinais descontínuos em FT Lembrar fator de convergência é e -|σ|t Deve-se aplicar o limite σ zero σ = zero Quando σ = zero, temos a FT de x(t)

5 Transformada de Laplace Definição A partir da definição da FT Em que situações as integrais convergem?

6 Transformada de Laplace Região de convergência (ROC) existência da integral plano s Define a existência da integral envolvida na transformada de Laplace no plano s Quais os valores de s que garantem existência de X(s) Convergência absoluta Considere que |e jΩt |=zero para todo t

7 Transformada de Laplace Exemplos Lembrando Funções de duração finita sempre convergem ROC = todo o plano s

8 Transformada de Laplace Relação com Transformada de Fourier Se ROC de X(s) contém {σ = zero} x(t) possui FT

9 Transformada de Laplace Transformada unilateral de Laplace Restrição de funções nulas para t

10 Transformada de Laplace Transformada unilateral de Laplace Exemplos

11 Transformada de Laplace Propriedades Linearidade Linearidade

12 Transformada de Laplace Propriedades Deslocamento tempo Deslocamento tempo t 0 >0 para garantir causalidade de y(t) Deslocamento em freqüência Deslocamento em freqüência

13 Transformada de Laplace Propriedades Escala no tempo Escala no tempo a>0 para garantir causalidade de x(t) Escala em freqüência Escala em freqüência

14 Transformada de Laplace Propriedades Modulação Modulação Convolução Convolução

15 Transformada de Laplace Propriedades Diferenciação Diferenciação Para o caso de TL bilateral:

16 Transformada de Laplace Propriedades Diferenciação sucessiva Diferenciação sucessiva Para o caso de TL bilateral:

17 Transformada de Laplace Propriedades Diferenciação complexa Diferenciação complexa Integração Integração

18 Transformada de Laplace Propriedades Teorema do valor inicial Teorema do valor inicial Teorema do valor final Teorema do valor final sX(s) Desde que todos os pólos de sX(s) localizem-se no semiplano esquerdo do plano s garantia de convergência

19 Transformada de Laplace Frações parciais Representação dos sinais por funções racionais de s Fatorando o denominador raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s)

20 Transformada de Laplace Frações parciais Fatorando o denominador raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s) N>M Esta forma de G(s) depende de N>M Ordem do denominador > ordem do numerador Questões: Como encontrar p i ? Como encontrar K i ?

21 Transformada de Laplace Frações parciais Para pólos p i, sem repetição Multiplicidade nula Multiplicidade nula No tempo, temos:

22 Transformada de Laplace Frações parciais Para pólos p i, com m repetições Multiplicidade m Multiplicidade m No tempo, temos:

23 Transformada de Laplace Frações parciais O que fazer quando ordem do numerador é maior ou igual à ordem do denominador (NM)? Divisão de polinômios Quociente funções descontínuas no tempo Resto/Denominador método das frações parciais

24 Transformada de Laplace Frações parciais Exemplos


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