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4 2 5 1 0011 0010 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade IV Interpolação Polinomial.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROJETO PIBEG Unidade IV Interpolação Polinomial

2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO PROBLEMA GERAL DA INTERPOLAÇÃO POLINÔMIO INTERPOLADOR TEOREMA (EXISTÊNCIA E UNICIDADE) FORMA DE LAGRANGE FORMA DE NEWTON FORMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

3 SUMÁRIO NEWTON GREGORY INTERPOLAÇÃO INVERSA

4 Introdução

5 Introdução: A interpolação consiste em determinar uma função que assume valores conhecidos em certos pontos. A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua.

6 Um dos motivos desta aproximação é: Estimar valores intermediários entre dados precisos. EXEMPLO: É sabido que no Brasil é realizado censo geral a cada 10 anos. Portanto nos anos em que é realizado o censo, tem-se dados precisos da população do país. Os valores do número de habitantes em anos intermediários pode ser estimado através de uma interpolação.

7 Problema Geral da Interpolação Considere a tabela abaixo com (n+1) pontos distintos: xx0x0 x1x1 x2x2...xnxn f(x)f(x 0 )f(x 1 )f(x 2 )...f(x n ) A interpolação de f(x) consiste em se obter uma função g(x), tal que:

8 f(x) x Graficamente: f(x) g(x) (x 0, f(x 0 )) (x 1, f(x 1 )) (x 2, f(x 2 )) (x 3, f(x 3 ))(x 4, f(x 4 )) (x 5, f(x 5 )) f(x) x x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5

9 Nesta unidade consideraremos que g(x) pertence à classe das funções polinomiais. OBSERVAÇÃO: Existem outras formas de interpolação polinomial como, por exemplo, a fórmula de Taylor para a qual as condições de interpolação são outras. Assim como g(x) foi escolhida entre as funções polinomiais, poderíamos ter escolhido g(x) como função racional, função trigonométrica, etc.

10 Polinômio interpolador: Consideremos o intervalo [a, b] R, os pontos x 0, x 1,..., x n [a, b] e uma função f cujos valores são conhecidos naqueles pontos. Um polinômio P, de grau menor do que ou igual a n, que satisfaz P(x i ) = f(x i ), i = 0, 1, 2,..., n, chama-se polinômio interpolador de f nos pontos x 0, x 1,..., x n.

11 Dado um conjunto de n + 1 pontos distintos, isto é (x k, f k ), k = 0, 1,..., n, com x k x j para k j. Existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que p(x k ) = f(x k ) = f k para k = 0, 1, 2,..., n. Teorema (Existência e Unicidade) DEMONSTRAÇÃO

12 Seja p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Para obter os a i usamos a condição de interpolação f k = p(x k ) para k = 0, 1, 2,..., n. Logo, segue que: Que corresponde ao sistema linear da forma

13 A matriz A, associada ao sistema, é uma matriz de Vandermonde, cujo o determinante é dado por Como x l x j para l j, segue que o determinante da matriz A é diferente de zero e portanto o sistema admite uma única solução EXEMPLO

14 Forma de Lagrange

15 Vamos considerar o conjunto de n+1 pontos (x k, f k ), k = 0, 1, 2,..., n, distintos e vamos considerar o polinômio representado por onde L k (x) é um polinômio de grau · n que satisfaz a relação: Com isto temos que p n (x j ) = f 0 L 0 (x j ) + f 1 L 1 (x j ) f j L j (x j ) f n L n (x j ) p n (x j ) = f j

16 Logo p n (x) satisfaz a condição de interpolação, sendo assim, o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x 0, x 1,..., x n. Os polinômios L k (x) são chamados de polinômios de Lagrange e estes são obtidos da seguinte forma:

17 Exemplo: Vamos considerar a tabela de pontos do exemplo anterior e determinar uma aproximação para f(0.3 ) usando a forma de Lagrange. xkxk fkfk Calculando os L k (x) temos:

18 Fazendo: Obtemos: p(x) = x 2 - x + 4. Observe que o polinômio é o mesmo que foi obtido via sistema linear. Isto já era esperado, pois o polinômio interpolador é único. Desta forma, para x = 0,3 [ 0, 0.4 ], teremos f(0.3) p(0.3) = 3.79.

19 Forma de Newton OPÇÃO 1 OPÇÃO 2

20 Nesta unidade será visto outro método de determinar o polinômio de interpolação. Tal polinômio será chamado de Polinômio de Newton. A expressão do polinômio de Newton é dada por: onde os coeficientes da combinação linear dos polinômios (x –x 0 ), (x –x 0 ) (x –x 1 ),..., (x –x 0 ) (x –x 1 )... (x –x n-1 ) são chamados de diferenças divididas.

21 Como p n (x 0 ) = f(x 0 ) f(x 0 ) = d 0 é o polinômio interpolador de f pelos pontos x 0, x 1,..., x n então p n (x i ) = f(x i ), 0 i n. Assim, p n (x 1 ) = f(x 1 ) f(x 1 ) = d 0 + d 1 (x 1 - x 0 ) d 1 = p n (x 2 ) = f(x 2 ) f(x 2 ) = d 0 + d 1 (x 2 - x 0 ) + d 2 (x 2 - x 0 ) (x 2 – x 1 ) d 2 = f[x 0, x 1 ]

22

23 Diferenças divididas: CASO GERAL Pode-se mostrar que o operador diferenças divididas tem as seguintes propriedades: onde j é uma permutação do conjunto {0, 1,..., n} (1) (2)

24 Desta forma, o polinômio de Newton é expresso por: As diferenças divididas são facilmente calculadas através de uma tabela recursiva. Como exemplo, será apresentado uma tabela envolvendo diferenças divididas até ordem 4.

25 x Ordem 0Ordem 1 Ordem 2Ordem 3Ordem 4

26 DIFERENÇAS DIVIDIDAS Sejam x 0, x 1,..., x n, n + 1 pontos distintos do intervalo [a, b] e f 0, f 1,..., f n os valores de uma função f(x) sobre estes pontos. Define-se: onde, f[x i ] é a diferença dividida de ordem zero e f[x 0, x 1,..., x n ] é a diferença dividida de ordem n, da função f(x) sobre os n + 1 pontos x 0, x 1,..., x n..

27 TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS Pode-se construir uma tabela de diferenças divididas à partir de sua definição. Sejam, por exemplo, cinco pontos dados: para estes pontos, a tabela é construída da seguinte forma:

28 FÓRMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR Seja f(x) uma função contínua e com derivadas contínuas em [a, b]. Sejam, n + 1 pontos distintos da função. Deseja-se construir o polinômio p n (x) que interpola f(x) nestes pontos.

29 Consideremos p 1 (x) que interpola f(x) em x 0. x 1 onde,

30 Verificação: p 1 (x) interpola f(x) em x 0. x 1 ?

31 Seja p 2 (x) que interpola f(x) em x 0. x 1, x 2 mas,

32 Verificação: p 1 (x) interpola f(x) em x 0. x 1, x 2 ? portanto,

33 Aplicando sucessivamente o mesmo raciocínio, obtém-se a fórmula de Newton para o polinômio interpolador dada por: e o erro de truncamento dado pela expressão:

34 ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL Teorema Seja f(x) derivadas contínuas até ordem n + 1. Sejam x 0 < x 1 <...< x n, n + 1 pontos distintos da função. Seja p n (x) o polinômio que interpola f(x) nestes pontos. Então,, o erro de truncamento da interpolação polinomial vale: INT. INV. N. G.

35 A equação tem uso limitado na prática, pois raramente ξ é conhecido. Sua principal aplicação é na estimativa do erro de truncamento para as fórmulas de interpolação, integração e diferenciação numérica. Assim, é usual trabalhar com uma cota superior de erro de truncamento dada por:

36 Caso a expressão f(x) não seja conhecida, o erro pode ser estimado através do maior valor absoluto das diferenças divididas de ordem n + 1, isto é: pois, e Logo,

37 NEWTON GREGORY

38 OPERADOR DIFERENÇAS ORDINÁRIAS Sejam n + 1 pontos distintos igualmente espaçados com passo h, tais que: Define-se: onde, é a diferença ordinária de ordem zero e é a diferença ordinária (ou dif. finita progressiva) de ordem n, da função f(x) sobre os n + 1 pontos

39 TABELA DE DIFERENÇAS ORDINÁRIAS (T. D. O. ) Pode-se construir uma T.D.D. (ou uma T.D.F.P.) à partir de sua definição. Sejam, por exemplo, cinco pontos dados: para estes pontos, a tabela é construída da seguinte forma:

40 RELAÇÃO ENTRE DIFERENÇA DIVIDIDA E DIFERENÇA ORDINÁRIA Se então: Teorema: DEMONSTRAÇÃO

41 DEMONSTRAÇÃO: Será feita por indução finita: 1) Para dois pontos ( n = 1 ), tem-se: 2) Suponhamos válido para n pontos:

42 ) Provemos para n+1 pontos: (c.q.d.)

43 EXPRESSÃO DO ERRO PARA NEWTON- GREGORY: Na dedução da fórmula de Newton o erro de truncamento é dado pela equação: substituindo a diferença dividida pela ordinária, obtém-se: Obs.: como o polinômio é único, a estimativa para o erro de truncamento pode ser obtida através da mesma equação.

44 INTERPOLAÇÃO INVERSA

45 Sejam conhecidos n + 1 pontos distintos O problema da interpolação inversa consiste em : dado obter tal que Uma solução para este problema é obter pontos e em seguida encontrar tal que que interpola f(x) nos Neste caso, não é possível fazer nem mesmo uma estimativa do erro cometido. As equações permitem medir o erro ao se aproximar f(x) por, e não o erro ao se aproximar

46 Interpolação inversa: Considerando que f(x) seja inversível em um intervalo contendo pode-se fazer a interpolação de Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a, b] seja inversível é que seja monótona crescente (ou decrescente) neste intervalo.

47 Se f(x) é inversível, o problema de se obter resolvido, obtendo-seque interpola o intervalo Para isto, basta considerar x como uma função de y e aplicar algum dos métodos estudados para interpolação:, é facilmente sobre

48 Desta forma, o erro de truncamento cometido pode ser medido, utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente. Uma estimativa para o erro é dada por:


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