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Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens Mestrado de Instrumentação do CBPF Profs: Marcelo Portes de Albuquerque e Márcio Portes de Albuquerque.

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1 Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens Mestrado de Instrumentação do CBPF Profs: Marcelo Portes de Albuquerque e Márcio Portes de Albuquerque Aula 04 DFT e Sinais Aleatórios

2 A42 Transformada de Fourier Discreta - DFT A Transformada de Fourier Discreta tem um papel importante em várias aplicações do PDS –Filtragem linear –Análise de correlação –Análise espectral Alguns algoritmos para calcular a DFT são muito eficientes Um algoritmo importante é chamado de FFT porque computa a DFT quando o tamanho N da sequência é uma potência de 2

3 A43 A DFT e algumas de suas propriedades Transformada de Fourier Discreta - DFT A04

4 A44 Algumas propriedades da DFT Transformada de Fourier Discreta - DFT A04

5 A45 Algumas propriedades da DFT Transformada de Fourier Discreta - DFT A04 Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution

6 A46 Algumas propriedades da DFT Transformada de Fourier Discreta - DFT A04 Exemplo: Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution 6

7 A47 Algumas propriedades da DFT Transformada de Fourier Discreta - DFT A04 Exemplo ilustrando o cálculo de x 3 (n) através da DFT e da IDFT

8 A48 Algumas propriedades da DFT Transformada de Fourier Discreta - DFT

9 A49 Algumas propriedades da DFT Transformada de Fourier Discreta - DFT A04

10 A410 Filtragem Linear Baseada na DFT Transformada de Fourier Discreta - DFT DFT provides a discrete frequency representation of a Finite Duration sequence We can explore its use as a computational tool for linear system analysis and for linear filtering A system with frequency response H( ), when excited with an input signal X( ), possesses an outup spectrum Y( )= H( )X( ) The output sequence y(n) is determined from its spectrum via the inverse Fourier transform The DFT allow us a computation of the TF on a digital computer We will see a computational procedure that serves as an alternative to time domain convolution

11 A411 Uso da DFT na Filtragem Linear Transformada de Fourier Discreta - DFT A04

12 A412 Exemplo: DFT na Filtragem Linear Transformada de Fourier Discreta - DFT A04 12

13 A413 Exemplo: DFT na Filtragem Linear Transformada de Fourier Discreta - DFT

14 A414 Exemplo: DFT na Filtragem Linear Transformada de Fourier Discreta - DFT A04

15 A415 Fenômenos Aleatórios Muitos fenômenos físicos encontrados na natureza são caracterizados de forma mais adequada por funções estatísticas –Exemplo: fenômenos meteorológicos como a temperatura do ar e a pressão atmosférica variando aleatóriamente como uma função do tempo Os sinais aleatórios são modelizados como sinais de duração infinita e energia infinita Sinais Aleatórios

16 A416 Função de Distribuição de Probabilidade Uma variável aleatória X é uma variável que pode ter valores aleatórios Uma variável aleatória pode ser pensada como sendo a saída de algum exerimento aleatório A maneira de especificarmos a probabilidade para os diferentes valores obtidos por uma variável aleatória é através da utilização da função de distribuição de probabilidade F(x) F(x) = Pr(X x) Ou pela função de densidade de probabilidade f(x) f(x) = dF(x) / dx Sinais Aleatórios

17 A417 Função de Distribuição de Probabilidade A relação inversa da função de densidade de probabilidade f(x) é: F(x) = - x f(u) du Uma característica evidente da função de densidade de probabilidade é F( ) = - f(u) du = 1 função de distribuição de probabilidade função de densidade de probabilidade Sinais Aleatórios

18 A418 Esperança de uma Variável Aleatória A esperança de uma variável aleatória é definida como sendo a soma de todas os valores que esta pode ter ponderada pela probabilidade destes valores E[X] = - x f(x) dx Esta esperança é tambem chamada de média de X, ou média da distribuição de X ou ainda o primeiro momento de X Isto é definido como sendo o número para o qual X tende quando o número de observações aumenta Sinais Aleatórios

19 A419 Valor Médio Quadrático de uma Variável Aleatória Um outro parâmetro estatistico importante que descreve a distribuição de X é o seu valor médio quadrático O valor esperado do quadrado de X é: E[X 2 ] = - x 2 f(x) dx E[X 2 ] também é chamado de segundo momento de X O valor RMS (root mean square) de X é a raiz quadrada de E[X 2 ] A variância de uma variável aleatória é o desvio médio quadrático da variável aleatória de sua média O desvio padrão de uma variável aleatória é a raiz quadrada da variância O valor RMS e o desvio padrão são iguais somente para variáveis aleatórias de média zero Sinais Aleatórios

20 A420 Soma e Produto de Variáveis Aleatórias Outras funções de interesse povêm da soma ou do produto de variáveis aleatórias O valor esperado da soma de variáveis aleatórias é a soma dos valores esperados sendo ou não as variáveis independentes A variância da soma de variáveis aleatórias é a soma das variâncias se as variáveis forem independentes O valor esperado do produto de variáveis aleatória é igual ao produto dos valores esperados somente se as variáveis forem independentes Sinais Aleatórios

21 A421 Correlação Estatística entre Variáveis Aleatórias Um conceito importante é a correlação estatística entre variáveis aleatórias A covâriancia é a indicação parcial do nível de realação entre variáveis aleatórias O termo E[XY] é o segundo momento de X e Y Sinais Aleatórios

22 A422 Covariância Normalizada A covariância normalizada pelos desvios padrões de X e Y é chamada de coeficiente de correlação O coeficiente de correlação é a medida do grau de dependência linear entre X e Y Se X e Y são independentes =0 Se Y é uma função linear de X, = 1 Sinais Aleatórios

23 A423 Função de Distribuição de Probabilidade Normal e Uniforme Sinais Aleatórios A04

24 A424 Processos Aleatórios Um processo aleatório pode ser pensado como um conjunto (ensemble) de funções no tempo A notação {x(t)} é um conjunto de funções Uma função do conjunto é x(t) O valor observado de uma função em um conjunto no determindado tempo é x(t 1 ) A probabilidade de x(t 1 ) assumir um valor em um intervalo é dada pela função de distribuição de probabilidade Neste caso a dependencia do tempo é evidenciada F(x 1, t 1 )= Pr[x(t 1 ) x 1 ] Sinais Aleatórios

25 A425 Processos Aleatórios As funções de probabilidade são utilizadas na definição do intervalo de amplitude que o processo aleatório pode apresentar A função de distribuição de probabilidade de segunda ordem é definida como F(x 1, t 1 ; x 2, t 2 )= Pr[x(t 1 ) x 1 and x(t 2 ) x 2 ] Função de distribuição de probabilidade conjunta de ordem superior pode ser estendida usando a formula acima para t 3, t 4,... Entretanto estas funções são raramente utilizadas Sinais Aleatórios

26 A426 Função de Correlação Sinais Aleatórios

27 A427 Processos Estacionários Processos estacionários são aqueles que as propriedades estatísitcas são invariantes no tempo Isto implica que a função de densidade de probabilidade do processo F(x 1, t 1 ) é independente do tempo de observação t 1 Todos os momento desta distribuição, como por exemplo E[x(t 1 )] e E[x 2 (t 1 )] são constantes A função de densidade de probabilidade de segunda ordem, neste caso é independente do valor absoluto dos tempos de observação t 1 e t 2, porém é dependente da diferença entre eles Sinais Aleatórios

28 A428 Processos Ergódicos Um conceito associado a processos aleatórios e estacionários é a hipotése de ergodicidade A média dos membros em um determinado tempo pode ser calculada pela média de uma representação em todo tempo Uma única função representa o todo Se um função particular do experimento representa estatísticamente o todo, esta deve mostrar em vários pontos no tempo todo o intervalo de amplitude, taxa de variação da amplitude etc. O que também é encontrada dentre todos os membros do experimento member Another member Sinais Aleatórios

29 A429 Exemplo de um Processo Estacionário e Ergódico Sinais Aleatórios A04

30 A430 Densidade Espectral de Potência Sinais Aleatórios A04

31 A431 Ruído Branco Sinais Aleatórios A04

32 A432 Resumo A DFT tem um papel importante no Processamento Digital de Sinais Vimos que a multiplicação de duas DFTs tem como conseqüência uma convolução circular Filtragem Linear Baseada na DFT Apresentamos a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição de probabilidade Introduzimos os conceitos de processos aleatórios, estacionários e ergódicos. Ruído Branco e sua DSP


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