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Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens

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Apresentação em tema: "Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens"— Transcrição da apresentação:

1 Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens
DFT e Sinais Aleatórios Mestrado de Instrumentação do CBPF Profs: Marcelo Portes de Albuquerque e Márcio Portes de Albuquerque Aula 04

2 Transformada de Fourier Discreta - DFT
A Transformada de Fourier Discreta tem um papel importante em várias aplicações do PDS Filtragem linear Análise de correlação Análise espectral Alguns algoritmos para calcular a DFT são muito eficientes Um algoritmo importante é chamado de FFT porque computa a DFT quando o tamanho N da sequência é uma potência de 2 A4

3 A DFT e algumas de suas propriedades
Transformada de Fourier Discreta - DFT A DFT e algumas de suas propriedades A4 A04

4 Algumas propriedades da DFT
Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT A4 A04

5 Algumas propriedades da DFT
Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution A4 A04

6 Algumas propriedades da DFT
Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT Exemplo: Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution A4 6 A04

7 Algumas propriedades da DFT
Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT Exemplo ilustrando o cálculo de x3(n) através da DFT e da IDFT A4 A04

8 Algumas propriedades da DFT
Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT A4

9 Algumas propriedades da DFT
Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT A4 A04

10 Filtragem Linear Baseada na DFT
Transformada de Fourier Discreta - DFT Filtragem Linear Baseada na DFT DFT provides a discrete frequency representation of a Finite Duration sequence We can explore its use as a computational tool for linear system analysis and for linear filtering A system with frequency response H(), when excited with an input signal X(), possesses an outup spectrum Y()= H()X() The output sequence y(n) is determined from its spectrum via the inverse Fourier transform The DFT allow us a computation of the TF on a digital computer We will see a computational procedure that serves as an alternative to time domain convolution A4

11 Uso da DFT na Filtragem Linear
Transformada de Fourier Discreta - DFT Uso da DFT na Filtragem Linear A4 A04

12 Exemplo: DFT na Filtragem Linear
Transformada de Fourier Discreta - DFT Exemplo: DFT na Filtragem Linear A4 12 A04

13 Exemplo: DFT na Filtragem Linear
Transformada de Fourier Discreta - DFT Exemplo: DFT na Filtragem Linear A4

14 Exemplo: DFT na Filtragem Linear
Transformada de Fourier Discreta - DFT Exemplo: DFT na Filtragem Linear A4 A04

15 Sinais Aleatórios Fenômenos Aleatórios Muitos fenômenos físicos encontrados na natureza são caracterizados de forma mais adequada por funções estatísticas Exemplo: fenômenos meteorológicos como a temperatura do ar e a pressão atmosférica variando aleatóriamente como uma função do tempo Os sinais aleatórios são modelizados como sinais de duração infinita e energia infinita A4

16 Função de Distribuição de Probabilidade
Sinais Aleatórios Função de Distribuição de Probabilidade Uma variável aleatória X é uma variável que pode ter valores aleatórios Uma variável aleatória pode ser pensada como sendo a saída de algum exerimento aleatório A maneira de especificarmos a probabilidade para os diferentes valores obtidos por uma variável aleatória é através da utilização da função de distribuição de probabilidade F(x) F(x) = Pr(X  x) Ou pela função de densidade de probabilidade f(x) f(x) = dF(x) / dx A4

17 Função de Distribuição de Probabilidade
Sinais Aleatórios Função de Distribuição de Probabilidade A relação inversa da função de densidade de probabilidade f(x) é: F(x) = -x f(u) du Uma característica evidente da função de densidade de probabilidade é F() = - f(u) du = 1 função de densidade de probabilidade função de distribuição de probabilidade A4

18 Esperança de uma Variável Aleatória
Sinais Aleatórios Esperança de uma Variável Aleatória A esperança de uma variável aleatória é definida como sendo a soma de todas os valores que esta pode ter ponderada pela probabilidade destes valores E[X] = - x f(x) dx Esta esperança é tambem chamada de média de X, ou média da distribuição de X ou ainda o primeiro momento de X Isto é definido como sendo o número para o qual X “tende” quando o número de observações aumenta A4

19 Valor Médio Quadrático de uma Variável Aleatória
Sinais Aleatórios Valor Médio Quadrático de uma Variável Aleatória Um outro parâmetro estatistico importante que descreve a distribuição de X é o seu valor médio quadrático O valor esperado do quadrado de X é: E[X2] = - x2 f(x) dx E[X2] também é chamado de segundo momento de X O valor RMS (root mean square) de X é a raiz quadrada de E[X2] A variância de uma variável aleatória é o desvio médio quadrático da variável aleatória de sua média O desvio padrão de uma variável aleatória é a raiz quadrada da variância O valor RMS e o desvio padrão são iguais somente para variáveis aleatórias de média zero A4

20 Soma e Produto de Variáveis Aleatórias
Sinais Aleatórios Soma e Produto de Variáveis Aleatórias Outras funções de interesse povêm da soma ou do produto de variáveis aleatórias O valor esperado da soma de variáveis aleatórias é a soma dos valores esperados sendo ou não as variáveis independentes O valor esperado do produto de variáveis aleatória é igual ao produto dos valores esperados somente se as variáveis forem independentes A variância da soma de variáveis aleatórias é a soma das variâncias se as variáveis forem independentes A4

21 Correlação Estatística entre Variáveis Aleatórias
Sinais Aleatórios Correlação Estatística entre Variáveis Aleatórias Um conceito importante é a correlação estatística entre variáveis aleatórias A covâriancia é a indicação parcial do nível de realação entre variáveis aleatórias O termo E[XY] é o segundo momento de X e Y A4

22 Covariância Normalizada
Sinais Aleatórios Covariância Normalizada A covariância normalizada pelos desvios padrões de X e Y é chamada de coeficiente de correlação O coeficiente de correlação é a medida do grau de dependência linear entre X e Y Se X e Y são independentes =0 Se Y é uma função linear de X, =1 A4

23 Função de Distribuição de Probabilidade Normal e Uniforme
Sinais Aleatórios Função de Distribuição de Probabilidade Normal e Uniforme A4 A04

24 Sinais Aleatórios Processos Aleatórios Um processo aleatório pode ser pensado como um conjunto (ensemble) de funções no tempo A notação {x(t)} é um conjunto de funções Uma função do conjunto é x(t) O valor observado de uma função em um conjunto no determindado tempo é x(t1) A probabilidade de x(t1) assumir um valor em um intervalo é dada pela função de distribuição de probabilidade Neste caso a dependencia do tempo é evidenciada F(x1, t1 )= Pr[x(t1)  x1 ] A4

25 F(x1, t1 ; x2, t2 )= Pr[x(t1)  x1 and x(t2)  x2 ]
Sinais Aleatórios Processos Aleatórios As funções de probabilidade são utilizadas na definição do intervalo de amplitude que o processo aleatório pode apresentar A função de distribuição de probabilidade de segunda ordem é definida como F(x1, t1 ; x2, t2 )= Pr[x(t1)  x1 and x(t2)  x2 ] Função de distribuição de probabilidade conjunta de ordem superior pode ser estendida usando a formula acima para t3, t4,... Entretanto estas funções são raramente utilizadas A4

26 Sinais Aleatórios Função de Correlação A4

27 Processos Estacionários
Sinais Aleatórios Processos Estacionários Processos estacionários são aqueles que as propriedades estatísitcas são invariantes no tempo Isto implica que a função de densidade de probabilidade do processo F(x1, t1) é independente do tempo de observação t1 Todos os momento desta distribuição, como por exemplo E[x(t1)] e E[x2(t1)] são constantes A função de densidade de probabilidade de segunda ordem, neste caso é independente do valor absoluto dos tempos de observação t1 e t2, porém é dependente da diferença entre eles A4

28 Sinais Aleatórios Processos Ergódicos Another member member Um conceito associado a processos aleatórios e estacionários é a hipotése de ergodicidade A média dos membros em um determinado tempo pode ser calculada pela média de uma representação em todo tempo Uma única função representa o todo Se um função particular do experimento representa estatísticamente o todo, esta deve mostrar em vários pontos no tempo todo o intervalo de amplitude, taxa de variação da amplitude etc. O que também é encontrada dentre todos os membros do experimento A4

29 Exemplo de um Processo Estacionário e Ergódico
Sinais Aleatórios Exemplo de um Processo Estacionário e Ergódico A4 A04

30 Densidade Espectral de Potência
Sinais Aleatórios Densidade Espectral de Potência A4 A04

31 Sinais Aleatórios Ruído Branco A4 A04

32 Resumo A DFT tem um papel importante no Processamento Digital de Sinais Vimos que a multiplicação de duas DFTs tem como conseqüência uma convolução circular Filtragem Linear Baseada na DFT Apresentamos a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição de probabilidade Introduzimos os conceitos de processos aleatórios, estacionários e ergódicos. Ruído Branco e sua DSP A4


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