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6/5/2014 19:44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Universidade Federal do.

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1 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Campus de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica

2 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Capítulo II Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Teoria das Probabilidades Campus de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica

3 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade Teoria das Probabilidades - Sumário

4 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes Teoria das Probabilidades - Sumário

5 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade Teoria das Probabilidades - Sumário

6 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.1 Introdução A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dados estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de determinar possíveis correlações e nexos causais. A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para explicar a freqüência da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto experimentais. Em outras palavras, a estatística procura modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso.

7 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.1 Introdução Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique, se determinístico ou probabilístico. Modelo determinístico: Adotado para explicar fenômenos submissos às leis sistemáticas. Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a relação causa-efeito pressupõe nexos definidos em forma unívoca e imutável.

8 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.1 Introdução Modelo probabilístico: Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, que são aqueles cujos resultados, mesmo em condições normais de experimentação, variam de uma observação para outra, dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro. Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leis sistemáticas, pois são regidos ou influenciados pelo acaso.

9 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.1 Introdução A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo matemático será o cálculo das probabilidades. Diante de um acontecimento aleatório é possível, às vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de probabilidade.

10 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade Teoria das Probabilidades - Sumário

11 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.2 Aleatoriedade Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado considerando-se as seguintes afirmações: a- Se x + 8 = 3x – 4, então x = 6; b- A próxima carta retirada de um baralho será um ás. A afirmação a pode ser confirmada ou negada de forma conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é uma afirmação categórica (verdadeira ou falsa). Na afirmativa b, entretanto, somente pode ser afirmado que o fato é possível, mas que é possível, também, a saída de qualquer uma das 52 cartas do baralho.

12 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.2 Aleatoriedade No segundo caso somente a realização do experimento permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira; trata-se de um acontecimento aleatório Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam por admitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se tem elementos de juízo suficientes para predizer qual deles ocorrerá em um determinado experimento.

13 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaços amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade Teoria das Probabilidades - Sumário

14 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.3 Experimento Aleatório Características: Para que um experimento seja considerado aleatório é necessário que apresente as seguintes características: 1.Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições; 2.Não se conhece, a priori, um particular valor do experimento; entretanto, pode-se descrever todos os possíveis resultados (as possibilidades);

15 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.3 Experimento Aleatório Características: 3.Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade na apresentação dos resultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização da fração freqüência relativa: onde: n é o número de repetições, e r é o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização do experimento.

16 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.3 Experimento Aleatório Exemplos: Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior. Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o número de coroas obtidas. Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A.

17 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade Teoria das Probabilidades - Sumário

18 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.4 Espaço Amostral Definição: Para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral S como o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996). -Exemplos: a)E: jogar um dado e observar o número na face superior. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b)E: lançar duas moedas e observar o resultado. S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa.

19 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.4 Espaço Amostral -Exemplos: c)E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte, acendê-la e registrar o tempo de funcionamento até fundir o filamento: S = {t : t 0} d)E: Registrar a temperatura continuamente durante um período de 24 horas em uma determinada localidade; as temperaturas mínima e máxima são registradas: S = {(x, y) : x y}, onde x é a temperatura mínima e y a máxima

20 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.4 Espaço Amostral -Exemplos: e)E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade não poderá ser menor que um certo valor (m) e a temperatura máxima não poderá ser superior a um certo valor (M). S = {(x, y) : m x y M}

21 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade Teoria das Probabilidades - Sumário

22 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.5 Evento Definição: É um conjunto de resultados do experimento. Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S. Observação: -Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio,, são eventos. -S é dito o evento certo e o evento impossível.

23 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.5 Evento -Exemplo 1: E: lançar o dado e observar o número da face superior. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A: ocorrer número par: A = {2, 4, 6} B: ocorrer número impar: B = {1, 3, 5} C: ocorrer número múltiplo de 2 e 3: C = {6}.

24 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.5 Evento -Exemplo 2: E: jogar três moedas e observar o resultado. S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)} Eventos: A: ocorrer pelo menos duas caras: A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)} B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.

25 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.5 Evento Observações: - Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode- se verificar que o número total de eventos extraídos de S é dado por 2 n ; - No exemplo 1 (lançamento do dado), o número total de eventos é 2 6 = 64.

26 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.5 Evento Observações: - A partir do uso das operações com conjuntos, novos eventos podem ser formados: a) é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem; b) é o evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente; c) é o evento que ocorre se A não ocorre.

27 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.5 Evento -Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = ocorrer número múltiplo de 2: A = {2, 4, 6} B = ocorrer número múltiplo de 3: B = {3, 6} = {2, 3, 4, 6} = {6} = {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

28 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade Teoria das Probabilidades - Sumário

29 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.6 Eventos Mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = ocorre número par – A = {2, 4, 6} B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5} ; logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um número que seja par e ímpar não pode ser verificada como decorrência do mesmo evento.

30 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Introdução Aleatoriedade Experimento aleatório Espaço amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade Teoria das Probabilidades - Sumário

31 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.7 Probabilidade Definição: - Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é uma função definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas: (i) 0 P(A) 1; (ii) P(S) = 1; (iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então

32 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes Teoria das Probabilidades - Sumário

33 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.8 Teoremas Fundamentais T1: Se é o conjunto vazio, então. Demonstração: - Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois ; - De (iii), temos que ; - Como, então ou - Logo.

34 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.8 Teoremas Fundamentais T2: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = 1 – P(A). Demonstração: - Do diagrama, pode-se escrever. - Como (são mutuamente exclusivos),, ; - De (ii) 1 = P(A) + P(Ā), - Logo P(Ā) = 1 – P(A). A Ā S

35 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades 2.8 Teoremas Fundamentais T3: Se, então P(A) P(B). Demonstração: - Do diagrama, pode-se escrever que. - Como (são mutuamente exclusivos),, e P(B) – P(A) 0, (de i), tem-se que P(A) P(B). S A B

36 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer, então. Demonstração: a) Se A e B são mutuamente exclusivos, recai-se no axioma (iii); 2.8 Teoremas Fundamentais A B S

37 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Demonstração: b) Se A e B não são mutuamente exclusivos, tem-se: - Os eventos A e são mutuamente exclusivos; logo, pelo axioma (iii) - Mas, B é a união dos eventos mutuamente exclusivos e ; - Logo, 2.8 Teoremas Fundamentais A B S

38 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Demonstração: - Substituindo o valor de na expressão anterior, tem-se: - Analogamente, para três eventos tem-se: 2.8 Teoremas Fundamentais

39 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoremas Fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes Teoria das Probabilidades - Sumário

40 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Seja S um espaço amostral finito S = {a 1, a 2,..., a n }. Considere-se o evento formado por um resultado simples A = {a i }. A cada evento simples {a i } associa-se um número p i denominado probabilidade de {a i }, que satisfaz as condições: a) p i 0, i = 1, 2,..., n b) p 1 + p p n = 1 A probabilidade de cada evento composto (mais de um elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos pontos de A. 2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos

41 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se A tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar de C, quais são as probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? Solução: P(C) = p ; P(B) = 2.P(C) = 2p ; P(A) = 2.P(B) = 4p Como P(A) + P(B) + P(C) = 1, então 4p + 2p + p = 1, de onde se obtém p = 1/7. Logo: P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/ Probabilidades Finitas dos S Finitos

42 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Solução (continuação): - Qual a probabilidade de B ou C ganhar? Do axioma (iii): = 2/7 + 1/7 = 3/ Probabilidades Finitas dos S Finitos

43 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes Teoria das Probabilidades - Sumário

44 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade. Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de cada ponto será igual a 1 /n. Se um evento A contém r pontos, então: 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

45 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Freqüentemente, este método de avaliar a probabilidade é enunciado da seguinte forma: 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

46 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta de copas? Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas} 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

47 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número de casos favoráveis e o número total de casos. Exemplo 2: De um lote de doze peças onde quatro são defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade: a) de ambas serem defeituosas; b) de ambas não serem defeituosas; c) de pelo menos uma ser defeituosa Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

48 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Soluções: a) A = {ambas são defeituosas} 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

49 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Soluções: b) B = {ambas não são defeituosas} 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

50 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Soluções: c) C = {pelo menos uma é defeituosa} 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

51 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes Teoria das Probabilidades - Sumário

52 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e observar o resultado, e o evento A = {sair o nº 3}. Então P(A) = 1/6. Considere agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {1, 3,5}, então P(B) = 1/2. A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será P(A/B) = 1/ Probabilidade Condicional

53 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o espaço amostral. No exemplo dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para S* = {1, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a probabilidade do novo evento é avaliada. Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por: 2.11 Probabilidade Condicional

54 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Para o exemplo apresentado, tem-se: No caso de aplicações mais complexas, é mais prático se utilizar a seguinte fórmula: 2.11 Probabilidade Condicional

55 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados, considere os eventos: A = {(x 1,x 2 )|(x 1 + x 2 ) = 10} e B = {(x 1,x 2 )| x 1 > x 2 }, onde x 1 é o resultado do dado 1 e x 2 o resultado do dado 2. Avalie P(A), P(B) e P(B/A). Soluções: S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), A = {(6,4), (5,5), (4,6)} (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), B = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3), (5,1), (5,2), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)} (6,1). (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A B = {(6,4)} 2.11 Probabilidade Condicional

56 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Soluções: 2.11 Probabilidade Condicional

57 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes Teoria das Probabilidades - Sumário

58 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da definição de probabilidade condicional, como: A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro em relação ao primeiro. Assim: 2.12 Teorema do Produto

59 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades onde quatro são defeituosas, duas são retiradas, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas? Solução: A = { a primeira peça retirada é boa} B = {a segunda peça retirada é boa} 2.12 Teorema do Produto

60 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes Teoria das Probabilidades - Sumário

61 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Definição: Um evento A é considerado independente de um outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a probabilidade de A condicionada a B, ou 2.13 Independência Estatística Se A é independente de B, então B é independente de A; logo: - Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são independentes, então:

62 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades - Dados n eventos A 1, A 2,..., A n, diz-se que eles são independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3,..., n a n, isto é: 2.13 Independência Estatística

63 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Exemplo 1: Uma caixa contém doze peças, sendo quatro defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem defeitos? Solução: A = {a primeira peça não possui defeito} B = {a segunda peça não possui defeito} - Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por A, ou seja, A e B são independentes; logo: 2.13 Independência Estatística

64 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de S, verificar se estes eventos são independentes. Solução: S = {1, 2, 3, 4}; A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4}; 2.13 Independência Estatística

65 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Solução (continuação): 2.13 Independência Estatística

66 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Solução (continuação): - Portanto, os eventos A, B e C não são independentes Independência Estatística

67 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos Espaços amostrais finitos equiprováveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independência estatística Teorema de Bayes Teoria das Probabilidades - Sumário

68 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Sejam A 1, A 2, A 3,..., A n, n eventos mutuamente exclusivos, tais que. Sejam P(A i ) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/A i ). Então, para cada i, tem-se: que é o Teorema de Bayes Teorema de Bayes

69 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Exemplo: Tem-se três urnas (u 1, u 2, u 3 ), cada uma contendo bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se uma bola também ao acaso, verificando-se que a mesma é branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da urna 2? e da urna 3? Cores / Urnasu1u1 u2u2 u3u3 P (preta) B (branca) V (vermelha) Teorema de Bayes

70 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Solução: Cores / Urnasu1u1 u2u2 u3u3 P (preta) B (branca) V (vermelha) Teorema de Bayes

71 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Solução (continuação): 2.14 Teorema de Bayes

72 6/5/ :44ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades FIM


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