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Estatística Geral Estatística Descritiva 1: - Medidas de Posição (Medidas de tendência central) ICET/CUA/UFMT Profº: Glauco Vieira de Oliveira Cap. 8 –

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1 Estatística Geral Estatística Descritiva 1: - Medidas de Posição (Medidas de tendência central) ICET/CUA/UFMT Profº: Glauco Vieira de Oliveira Cap. 8 – Martins, G. A. & Donaire, D. Princípios de Estatística Cap. 29 –Dante, L. R. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único, Cap. 3.- Barbetta et al, Estatística para Cursos de Engenharia e Informática, 2004

2 Medidas de posição ou medidas de tendência central Introdução Objetivo da estatística: – –Encontrar leis do comportamento para todo o conjunto, sem se preocupar com cada um dos dados elementos em particular. Medidas de posição ou medidas de tendência central: – –Valores médios (exemplos) a partir da idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo; Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só temperatura que fornece uma idéia aproximada de todo o período. Nota de vários trabalhos em um semestre: sintetizado em uma só nota USO MAIS COMUM: MÉDIA ARITMÉTICA – –OUTRAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MEDIANA e MODA Nota: o uso da média, moda ou mediana é mais ou menos conveniente conforme a situação

3 MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS NÃO-AGRUPADOS Ex 1: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que: MA = = 107 = 21,4 anos 5 Ex 2: registro de temperaturas em um determinado local: 14°C às 6h, 15º as 7h, 15ºC às 8h, 18º às 9h, 20º às 10h e 23º às 11h, observamos que: MA = = 105 = 17,5ºC 6 6 Ex 3: um aluno realizou diversos trabalhos durante um bimestre e obteve as notas: 7,5; 8,5; 10,0; 7,0 – –Generalizando: MA = x 1 + x 2 + x x n = x n n

4 MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS AGRUPADOS (média aritmética ponderada) Ocorre Quando: – –Os dados possuem pesos diferentes – –Os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüências Ex 1: média aritmética ponderada. Um aluno recebeu a seguinte pontuação no semestre: Prova: 6,5 (peso 2); Trabalho Individual: 7,0 (peso 3); debate: 6,0 (peso 1) e 7,0 no trabalho de equipe (peso 2). Sua média será: Quando calculado a média aritmética de nº que se repetem (dados por sua frequencia absoluta): Ex 2: calcule a média aritmética de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, e 11 MA = 2. 6, , , ,0 = 54 = 6, MA = = 88 = 8,

5 MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS AGRUPADOS (média aritmética ponderada) Exemplo dada a seguinte distribuição amostral: Determine a média Dispositivo Prático: Xi1234 Fi1351 XiFixiFi Exemplo: Determine o peso médio de um grupo de pessoas (média de uma distribuição populacional) Peso (kg) 40 a a a a a 60 Fi13763 ClassesFi Xi (PM) 40 | | | | | Total20 xiFi

6 Transformação de dados A transformação de dados é um método utilizado para facilitar e padronizar um conjunto de dados em vários tipos de procedimentos estatísticos. Um método utilizado abaixo é utilizado quando a amplitude dos dados é constante. fórmula: xi Fi Onde: Xi = valores da variável X 0 = constante arbitrária tomada convenientemente H = amplitude entre os valores ou intervalo de classes Zi = valores transformados Exemplo: Dada a distribuição abaixo calcule os z i correspondentes aos x i considerando x 0 = 21, (h=2). XiFiZi ziFi

7 Transformação de dados Exercício 2: Recalcule o valor de zi e ziFi, considerando x 0 = Média aritmética do conjunto de dados do exemplo anterior. Utilize: XiFi Propriedade da média aritmética o somatório dos desvios em relação a sua média é igual a zero considerando n elementos de uma População ou Amostra ZiziFi -1,77-14,13 -0,77-9,19 0,2343,51 1,2348,64 2,23411,17 1,170 XiFi

8 Transformação de dados Exercício 3: Recalcule o valor de zi e ziFi, considerando x 0 = Média aritmética do conjunto de dados do exemplo anterior. Utilize: Propriedade da média aritmética o somatório dos desvios em relação a sua média é igual a zero considerando n elementos de uma População ou Amostra XiFi xiFi ZiziFi ,53-28, ,53-18, ,477, ,4717, ,4722, ,340 Desvio em relação a média

9 Média Geral Fórmula Em que: X G = Média geral n j = nº s de termos de cada série X j = médias aritméticas de k séries A média aritmética de várias séries estatísticas diferentes chama-se de Média Geral Exemplo Sejam as séries: (Obs: MA = Média Aritmética) 1) 4, 5, 6, 7, 8onde n 1 = 5eMA = 6 2) 1, 2, 3onde n 2 = 3eMA = 2 3) 9, 10, 11, 12, 13onde n 3 = 5eMA = 11 A média Geral será:

10 Média Geométrica Fórmula Em que: Mg = Média geométrica n = F i x 1, x 2, x 3,..., x n = valores de X, associados às frequencias absolutas (F 1, F 2,...F n ) A média geométrica é muito utilizada para resolver problemas de que envolvem calculo de áreas ou quando os dados se desenvolvem segundo uma progressão geométrica. Quando F 1 = F 2 = F 3 =... = F n = 1, temos: Exemplo 1 Calcular a média geométrica dos valores 3, 6, 12, 24, 48..

11 Média Geométrica Exemplo 2 Calcular a média geométrica para a distribuição: Solução 1 (aplicando a fórmula direta) Solução 2 (uso de logaritmos) Aplicando log de M g temos: Assim: Xi1235 Fi8653 Obs. A aplicação direta da fórmula acarreta um grande nº de operações log Mg = 0,2858 utilizando a função 10 x da calculadora Mg = 1,9311

12 Média Geométrica Exemplo 3 Apresentado os dados de determinado produto e seu respectivo consumo em um período inflacionário, calcule o preço médio por trimestre do artigo durante o ano. Solução 1 (aplicando a fórmula direta) Solução 2 (faça o cálculo de Mg aplicando a forma logarítimica) ConsumoPreço 1º Trimestre200 caixas$ 30,00 2º Trimestre100 caixas$ 100,00 3º Trimestre200 caixas$ 200,00 4º Trimestre100 caixas$ 500,00

13 Média Harmônica Fórmula Em que: M h = Média Harmônica n j = nº s de termos de cada série X i = valores de X (x 1, x 2,...x n ), associados às frequencias absolutas (F 1, F 2,...F n ) A média Harmônica é particularmente recomendada para série de valores que são inversamente proporcionais, como por exemplo: velocidade média, tempo médio de escoamento de estoques, custo médio de bens comprados com uma quantia fixa etc Exemplo 1 Calcular a média harmônica para 2, 5, 8. Então:.

14 Média Harmônica Exemplo 2 Um vendedor viaja da cidade A para a cidade B a 50 km/h e volta a 90 km/h. Determinar a velocidade de toda a viagem. Para pensar: e quando as distancias percorridas não são iguais? Exemplo 3 Em uma pesquisa sobre a duração de certa pasta dental junto a 50 famílias do mesmo tamanho e classe social os resultados foram os abaixos descritos. Calcular a duração média da pasta dental. (PM = Ponto médio) DiasNº de famíliasXj (PM) 10/ / / /181017

15 Média Harmônica Exemplo 4 Uma pessoa comprou em três trimestres consecutivos combustível aos seguintes preços: $ 5,00, $ 6,00 e $ 8,00 o litro respectivamente. Determinar o custo médio (CM) em todo o período considerado. Para pensar: A pergunta acima não oferece alguns dados importantes para o calculo da média, qual ou quais seriam eles? Hipótese 1: Considerando o mesmo consumo em litros (ex: 40 litros de combustível) temos: Este valor corresponde a média aritmética dos preços dos litros: Hipótese 2: Considerando o mesmo consumo monetário (ex: $240/trimestre) temos: Este valor corresponde a média harmônica dos preços dos litros:

16 Mediana Colocados os dados em ordem crescente ou decrescente, é o elemento que ocupa a posição central. A mediana será: a) O elemento que ocupar a posição central se n for impar; b) A média aritmética dos dois elementos que estiverem no centro se n for par Exemplo 1 Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7 Em ordem crescente temos: 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7 (7 elementos) Me(7 elementos) Como 15 é impar, o termo médio é o 8º Generalizando: - Quando n é impar a mediana será o elemento de ordem (n + 1)/ posição das variáveis ordenadas

17 Mediana Exemplo 2 As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos Em ordem crescente temos: 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17 (duas posições centrais) Como temos um nº par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois centrais, que são o 4º e o 5º termos. Logo a mediana é dada por:Me = ( )/2 = 30/2 = 15 Generalizando: - Quando n é par a mediana será a média entre os elementos centrais de ordem n/2 e (n/2 + 1).

18 Moda A moda (Mo) é a medida de tendência central definida como valor mais frequente de um grupo de valores observados Exemplos Pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. Mo = 2 Notas obtidas: 6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0. Neste caso dizemos que a moda é 6,0 e 7,5, e que a distribuição é bimodal. Observação: Quando não há repetição de números, como por exemplo, para os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há Moda.

19 Mediana e Moda a partir das tabelas de frequencias e dados agrupados em classes Exemplo Anterior: Pesquisa sobre o peso (kg) de um grupo de pessoas MA = 1028/20 = 51,4 kg Moda: A maior frequencia, 7, indica que o intervalo 48 |--- 52, representado pelo ponto médio (PM = 50) logo Mo = 50 ClassesFi 40 | | | | | Total20 Xi (PM)xiFi Mediana: - Total das freqüências é par (20); - Valores centrais estão na 10ª e 11ª posição - Com auxílio da tabela abaixo - Me = = 50 kg 2 Fac: freq. acum. crescente PMFac


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