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INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA PROFESSOR DORTA. ORIGEM A palavra estatística, de origem latina, significou por muito tempo ciência sobre os assuntos do Estado.

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1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA PROFESSOR DORTA

2 ORIGEM A palavra estatística, de origem latina, significou por muito tempo ciência sobre os assuntos do Estado. Os que governavam, sentindo necessidade de informações, organizavam departamentos que tinham a responsabilidade de fazer estas investigações.

3 ORIGEM A palavra foi proposta pela primeira vez no século XVII, em latim, por Schmeitzel na Universidade de Lena e adotada pelo acadêmico alemão Godofredo Achenwall. Aparece como vocabulário na Enciclopédia Britânica em 1797, e adquiriu um significado de coleta e classificação de dados, no início do século 19.

4 APLICAÇÃO A Estatística trabalha com métodos científicos para coleta, organização, resumo e apresentação de dados e também para a obtenção de conclusões e tomada de decisões.

5 EXEMPLO DE APLICAÇÃO: Todos nós temos um pouco de cientista. Quase que diariamente, temos palpites com relação a acontecimentos futuros em nossas vidas, a fim de prever o que acontecerá em novas situações ou experiências.

6 À medida em que essas situações ocorrem, podemos, às vezes, confirmar nossas idéias; outras vezes, entretanto, não temos tanta sorte e, por isso, acabamos experimentando experiências desagradáveis. Por exemplo: Alguém poderia levantar a hipótese de que crianças socialmente isoladas assistem mais televisão do que crianças bem integradas em seus grupos - e, a partir daí, testa sua idéia através de pesquisa sistemática.

7 ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES

8 POPULAÇÃO População: é o conjunto de todos os elementos dos quais desejamos pesquisar alguma característica. Ex: Censo Demográfico.

9 POPULAÇÃO E AMOSTRA Muitas vezes é impraticável para o pesquisador observar todos os elementos do grupo que pretende estudar. É preciso, então, recorrer à pesquisa com uma parte do todo.

10 POPULAÇÃO E AMOSTRA Todos os elementos do grupo a ser estudado constituem a população. A parte da população efetivamente examinada é a amostra.

11 AMOSTRA Suponhamos uma pesquisa sobre o nível de escolaridade de um grupo de oitocentas pessoas. Nesse caso, a população é o conjunto das oitocentas pessoas. Se sentirmos desnecessário ou impossível examinar os oitocentos elementos, podemos recorrer a amostragem, ou seja, podemos analisar parte desses elementos.

12 AMOSTRA É claro que se escolhermos apenas dois desses oitocentos elementos, corremos o risco de selecionar exatamente dois elementos com as mesmas características. Se os dois forem analfabetos, por exemplo, podemos concluir que todos os elementos da população também o são.

13 AMOSTRA Observe que, qualquer que seja a amostra, sempre corremos o risco de chegar a conclusões erradas, mas este risco diminui à medida que aumenta a quantidade de elementos a serem examinados.

14 AMOSTRA Devemos estabelecer um mínimo de elementos para compor a amostra. Essa quantidade não deve ser menor que 10% do total de elementos da população. Assim, estaremos minimizando as chances de as informações da amostra se afastarem demasiadamente daquelas que obteríamos se examinássemos toda a população.

15 AMOSTRA Além de estabelecer um critério para a quantidade de elementos que farão parte da amostra, é importante estabelecer critérios de seleção desses elementos.

16 ALGUMAS FORMAS DE AMOSTRAGEM

17 I) AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES: É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. É equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa seqüência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra.

18 Exemplo: Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa para a pesquisa da estatura de 90 alunos de uma escola: 1º - numeramos os alunos de 1 a 90. 2º - escrevemos os números dos alunos, de 1 a 90, em pedaços iguais de papel, colocamos na urna e após misturar retiramos, um a um, nove números que formarão a amostra.

19 II) AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA: Quando a população se divide em estratos (subpopulações), convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos.

20 Exemplo: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, do exemplo anterior, supondo, que, dos 90 alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. São portanto dois estratos (sexo masculino e sexo feminino).

21 Logo, temos: Numeramos então os alunos de 01 a 90, sendo 01 a 54 meninos e 55 a 90, meninas e procedemos o sorteio casual com urna ou tabela de números aleatórios. sexopopulação10%amostra masculino545,45 feminino363,64 total909,09

22 III) AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir o sitema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador.

23 Exemplo: Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais desejamos obter uma amostra formada por 90 casas para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 900/90 = 10, escolhemos por sorteio casual um número de 01 a 10, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 10 em 10. Assim, suponhamos que o número sorteado fosse 4 a amostra seria: 4ª casa, 14ª casa, 24ª casa, 34ª casa, 44ª casa, etc.

24 VARIÁVEL Definição: É a característica a ser estudada.

25 VARIÁVEL Exemplo: A fim de ter um perfil de seu públiconos fins de semana, o proprietário de um cinema contratou dois pesquisadores para coletar dados referentes à sua clientela. Os pesquisadores escolheram seis objetos de estudo: sexo, idade, nível de escolaridade, estado civil, renda mensal e meio de transporte utilizado para chegar ao cinema.

26 VARIÁVEL Num fim de semana foram entrevistados 19 freqüentadores desse cinema. Os resultados estão apresentados na tabela seguinte.

27 SEXOIDADEESCOLARIDADEESTADO CIVILTRANSPORTERENDA (em S.M.) Masculino28MCASADOCARRO11,8 Masculino38MCASADOCARRO13,9 Feminino24SSOLTEIRACARRO12,4 Masculino43MCASADOCARRO19,5 Feminino32SSEPARADAÔNIBUS12,1 Feminino19MSOLTEIRAA PÉ5,0 Masculino22SSOLTEIROÔNIBUS8,9 Masculino25MSOLTEIROÔNIBUS13,3 Masculino41SCASADOA PÉ14,7 Feminino40FSOLTEIRACARRO16,6 Feminino35SSOLTEIRACARRO9,3 Masculino29FCASADOCARRO11,6 Feminino31FSOLTEIRACARRO10,2 Feminino36SCASADACARRO16,0 Feminino48MCASADACARRO18,8 Masculino23MSOLTEIROA PÉ15,4 Masculino27SSOLTEIROA PÉ10,7 Masculino26SSEPARADOÔNIBUS8,2 Masculino29SCASADOÔNIBUS12,5

28 VARIÁVEL Algumas variáveis, como sexo, nível de escolaridade, estado civil e transporte, apresentam como resultado uma qualidade, atributo ou preferência da pessoa entrevistada. Variáveis dessa natureza recebem o nome de variáveis qualitativas.

29 VARIÁVEL Outras variáveis, como idade e renda mensal apresentam como resposta um número, resultante nesse exemplo de mensuração. Variáveis assim definidas são chamadas variáveis quantitativas. Cabe ressaltar, que se os pesquisadores tivessem perguntado: Quantas vezes por semana você costuma ir ao cinema?, teríamos como objeto de estudo uma variável quantitativa, cujos valores assumidos são resultante de contagem.

30 VARIÁVEIS: QUADRO RESUMO VARIÁVEL QUALITATIVAQUANTITATIVA DISCRETA (contagem) CONTÍNUA (mensuração)

31 Situação: A direção de um parque contratou uma equipe de pesquisadores para coletar algumas informações sobre seus freqüentadores. Os cem entrevistados responderam às seguintes questões: sexo, idade, quantas vezes por semana vão ao parque, período de visita (manhã, tarde ou noite), tempo de permanência e quantia gasta nas dependências do parque. Cada um desses objetos de estudo corresponde a uma variável. Classifique as variáveis quanto ao tipo.

32 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA Variáveis qualitativas: sexo e período de visita. Variáveis quantitativas I)Discreta: número de visitas por semana. II)Contínuas: idade, tempo de permanência e quantia gasta nas dependências do parque.

33 SÉRIES ESTATÍSTICAS SÉRIE ESTATÍSTICA: É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos. TABELA: É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática.

34 De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar : um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; três pontos (... ) quando não temos os dados; zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor. Obs: Os lados direito e esquerdo de uma tabela oficial devem ser abertos. Salientamos que em alguns documentos as tabelas não são abertas devido a limitações de editores como o html".

35 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as freqüências (repetições de seus valores – número de vezes que a variável é observada na população estudada).

36 EXEMPLO: Um repórter do jornal A Voz da Terra foi destacado para acompanhar a apuração de votos da eleição da diretoria do clube da cidade, a qual concorrem os candidatos A, B, C e D. O objetivo da pesquisa é a publicação da porcentagem de votos obtidos pelos candidatos.

37 Como organizar os dados? Os dados obtidos constituem os dados brutos. O repórter poderá recorrer a uma organização numérica simples, registrada através de símbolos de fácil visualização:

38 TABELA PRIMITIVA OU DADOS BRUTOS: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados CandidatosVotos A B C D

39 ROL DOS DADOS: É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). CandidatosVotos D9 B11 A14 C16

40 Deste modo, ele terá iniciado o trabalho de tabulação dos dados. Apesar das anotações do repórter trazerem todas as informações sobre estas eleições, é mais provável que seja publicada uma tabela, com número de votos de cada candidato e a respectiva porcentagem de votos.

41 EXEMPLO DE DISTRIBUIÇÃO POR FREQÜÊNCIA: CandidatoNúmero de votos Votos (%) D918 B1122 A1428 C1632 Total50100

42 Na tabela do exemplo dado, a freqüência de votos do candidato A é 9, a do candidato B é 11, a do C é 14 e a do D é 16. Estas freqüências, representadas na segunda coluna, são as freqüências absolutas (F). Sua soma é igual a 50 que é o número total de observações. Na coluna % de votos, obtida a partir do cálculo de porcentagem de votos de cada candidato, estão representadas as freqüências relativas (Fr).

43 EXEMPLO 2: DADOS BRUTOS: 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 ROL: 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60

44 Distribuição de freqüência : DadosFreqüência Total20

45 Distribuição de frequência com intervalos de classe: Quando o tamanho da amostra é elevado é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. ClassesFreqüência 41 | | | | | Total20

46 Cálculo do número de classes : Procurar no Google por: "Regra de Sturges"

47 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Dados estatísticos podem ser representados tanto por tabelas quanto por gráficos.

48 CLASSIFICAÇÃO: Diagramas; Pictogramas; Cartogramas.

49 Diagramas São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na representação de séries estatísticas.

50 I) Gráficos em barras horizontais (gráfico de barras) Para sua construção, as freqüências são anotadas no eixo das abscissas, e os valores da variável, no eixo das ordenadas.

51 Gráficos em barras horizontais

52 Gráficos em barras verticais (gráfico de colunas) Como o próprio nome indica, nesse tipo de gráfico as freqüências serão representadas por colunas – retângulos com bases de mesma medida, cujas alturas correspondem às freqüências.

53 Gráfico de colunas 3D

54 Gráfico de setores (Pizza) Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.

55 Gráfico de setores

56 Gráficos de linhas (poligonal) São frequentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo gráfico.

57 Gráficos de linhas

58 II) PICTOGRAMAS São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos.

59 PICTOGRAMA

60 III) CARTOGRAMAS São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.

61 CARTOGRAMA

62

63

64 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Pesquisadores em muitos campos tem usado o termo média em questões tais como: Quantos cigarros fuma, em média, o adolescente? Qual a nota média de um universitário? Em média, quantos são os acidentes automobilísticos que resultam diretamente da ingestão de álcool ou de outras drogas?

65 Uma forma útil de descrever um grupo como um todo, consiste em encontrar um único número que represente o que é médio ou típico naquele conjunto particular de dados. Em pesquisa, tal valor é conhecido como medida de tendência central, uma vez que ela se localiza em torno do meio ou centro de uma distribuição – onde a maior parte dos dados tende a concentrar-se.

66 MODA É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Mo é o símbolo da moda. Assim, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.

67 A moda é facilmente reconhecida: basta, procurar o valor que mais se repete. Exemplo: Na série { 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12 } a moda é igual a 10. Há séries nas quais não existe valor modal. Exemplo: { 3, 5, 8, 10, 12 } não apresenta moda. Neste caso, a série é denominada amodal.

68 Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Exemplo: A série { 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. Portanto, ela é denominada série bimodal.

69 A MODA QUANDO OS DADOS ESTÃO AGRUPADOS Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência.

70 I) Sem intervalos de classe Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência.

71 Exemplo: Qual é a moda das temperaturas na tabela abaixo: Resposta: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior freqüência. temperaturafreqüência Oº C3 1º C9 2º C12 3º C6

72 II) Com intervalos de classe A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.

73 Exemplo: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo. Fórmula: Mo = (l + L) /2 Em que: l = limite inferior da classe modal e L= limite superior da classe modal. A classe modal é 58| , pois é a de maior freqüência. l =58 e L=62 Mo = (58+62) / 2 = 60 cm ( este valor é estimado, pois não conhecemos o valor real da moda). Classes (em cm) freqüência 54 | | | |

74 MEDIANA Quando dados são dispostos em ordem crescente ou decrescente, torna-se possível localizar a mediana (Md), que corresponde ao ponto central da distribuição.

75 I) Se a série dada tiver número ímpar de termos: A mediana será o dado que cai exatamente no meio da distribuição. A posição do valor mediano pode ser determinada pelo exame dos dados ou pela fórmula: Posição da mediana = (n +1) /2 Em que n é o número de valores da distribuição.

76 Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 } ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 } n = 9, logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a mediana A mediana é o 5º elemento = 2

77 II) Se a série dada tiver número par de termos: A mediana será sempre aquele ponto da distribuição que é antecedido e precedido por igual número de dados. Para uma distribuição com número par de dados, sempre há dois valores considerados centrais. Assim, a mediana é a média aritmética desses dois valores.

78 Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 1, 4, 1, 3, 5, 6 } Ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 1, 3, 3, 4, 5, 6 } Os valores centrais são 1 e 3. E a mediana da série é: (1+3)/2=2

79 MÉDIA ARITMÉTICA A medida de tendência central mais comumente usada é a média aritmética,, cujo cálculo consiste em somar um conjunto de valores e dividir o total pelo número de valores.

80 Fórmula:

81 Exemplo: Calcular a média aritmética dos elementos do conjunto {2, 3, 8, 27}.

82 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Exemplo: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família:

83 Quadro resumo: Número de meninosFreqüência (número de famílias) total34

84 Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

85 Voltando à tabela para resolver o problema proposto total3478 Média Aritmética Ponderada:

86 Exercício: (Unifesp) Para ser aprovado num curso, um estudante precisa submeter-se a três provas parciais durante o período letivo e uma prova final, com pesos 1, 1, 2 e 3 respectivamente, e obter média no mínimo igual a 7. Se um estudante obteve nas provas parciais as notas 5, 7 e 5, respectivamente, a nota mínima que necessita obter na prova final para ser aprovado é:

87 Logo, a média aritmética ponderada será:

88 MÉDIA ARITMÉTICA (EM INTERVALOS DE CLASSE) Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula: Em que é o ponto médio de cada classe.

89 Exemplo: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo. Aplicando a fórmula temos: / 40 = 61 Logo, = 61 cm estaturas (cm) freqüência ponto médio 50 | | | | | | Total

90 MÉDIA GEOMÉTRICA Simples: Ponderada:

91 Exercício: Calcular a média geométrica dos elementos do conjunto {2, 3, 8, 27}. Podemos proceder da seguinte forma:

92 MÉDIA HARMÔNICA DEFINIÇÃO: É o inverso da média aritmética dos inversos. FÓRMULA:

93 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (MEDIDAS DE DISPERSÃO) AMPLITUDE; VARIÂNCIA; DESVIO PADRÃO.

94 MEDIDAS DE DISPERSÃO: INTRODUÇÃO Vimos que a moda, a mediana e a média podem ser usadas para resumir, num único número, aquilo que é médio ou típico numa distribuição. Quando empregada sozinha, entretanto, qualquer medida de tendência central fornece apenas uma visão incompleta de um conjunto de dados, portanto, pode distorcer tanto quanto esclarecer.

95 ILUSTRANDO A SITUAÇÃO COLOCADA: Admita que em Honolulu (Havaí) e Houston (Texas) tenham quase a mesma temperatura média diária de 75º F. Será que, por isso, podemos admitir que a temperatura é basicamente a mesma em ambas as localidades?

96 A temperatura em Honolulu varia muito pouco ao longo do ano, oscilando, em geral, entre 70º F e 80º F. Por outro lado, a temperatura em Houston pode diferir estacionalmente, isto é, apresentar-se baixa em janeiro – cerca de 40º F – e alta em julho e agosto – próxima dos 100º F. Desnecessário dizer, que as praias de Houston não estão cheias de gente o ano todo.

97 Tal fato demonstra que necessitamos, além de uma medida de tendência central, de um índice que indique o grau de dispersão dos valores em torno do centro da distribuição. Desta forma, precisamos de uma medida indicativa que costumeiramente é chamada variabilidade, variação ou ainda dispersão. Voltando ao exemplo, podemos dizer que a distribuição de temperaturas em Houston tem maior variabilidade (é mais dispersa) do que a distribuição de temperaturas em Honolulu.

98 AMPLITUDE TOTAL Pode-se obter uma medida de variabilidade rápida, embora não muito exata, pelo cálculo da amplitude total, que é a diferença entre o maior e o menor valor da distribuição.

99 EXEMPLO: Se a temperatura anual mais alta em Honolulu foi de 88º F e a mais baixa, 62º F, a amplitude total da temperatura foi de 26º F (isto é, 88º F – 62º F = 26º F). Se o dia mais quente em Houston apresenta 102º F e o mais frio, 33º F, a amplitude total da temperatura anual em Houston foi de 69º F (isto é, 102º F – 33º F = 69º F).

100 DESVANTAGEM DA UTILIZAÇÃO DA AMPLITUDE COMO MEDIDA DE DISPERSÃO A amplitude é inteiramente dependente de apenas dois valores: o maior e o menor num dado conjunto de valores. Como resultado, a amplitude fornece, via de regra, um mero índice grosseiro da variabilidade de uma distribuição.

101 DESVIO PADRÃO É a medida de dispersão que leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável.

102 DESVIO: VARIÂNCIA: DESVIO PADRÃO:

103 Exercício: A distribuição das freqüências das alturas dos jogadores de futebol está mostrada na tabela a seguir: Altura (m)Número de jogadores 1,65 | ,752 1,75 | ,856 1,85 | ,958 1,95 | ,054

104 b) Calcule a média e o desvio padrão dessa distribuição de freqüência. Cálculo da média aritmética: Primeiro devemos calcular o ponto médio de cada intervalo de classe e em seguida fazemos uso desses valores para calcular a média aritmética.

105 Cálculo dos desvios:

106 Cálculo da variância: Cálculo do desvio padrão:

107 SIGNIFICADO DO DESVIO PADRÃO Após calcular o desvio padrão de uma de uma série o sujeito pode ficar com uma desagradável sensação relacionada com o significado do resultado. O que indica esse número? O que, exatamente, podemos dizer agora a respeito dessa distribuição que não poderíamos ter dito antes?

108 Tornando a noção de desvio padrão mais clara: uma ilustração. Uma importante característica da curva normal é auxiliar na interpretação e compreensão do desvio padrão.

109 Curva normal A curva normal é um tipo de curva simétrica, suave, cuja forma lembra um sino. O aspecto mais marcante dessa curva é a simetria. O ponto de freqüência máxima dessa curva está situado no meio da distribuição, em que a média, a mediana e a moda coincidem.

110 Curva normal

111 Área sob a curva normal

112

113

114 Podemos concluir, então, que a área total sob a curva normal compreendida entre e, inclui para efeitos práticos, a totalidade dos dados sob qualquer curva normal (mais de 99%).

115 SITUAÇÃO: Para entendermos melhor essa característica, vamos examinar o que alguns antropólogos dizem a respeito da diferença de QIs ligadas ao sexo. Alguns pesquisadores afirmam que homens e mulheres têm QI médio igual a 100. Entretanto, esses QIs diferem acentuadamente em termos de variabilidade em torno da média.

116 A distribuição do QIs masculinos contém uma porcentagem maior de valores extremos – representativos de sujeitos brilhantes e de sujeitos medíocres – enquanto que a distribuição de QIs femininos contém uma porcentagem maior de valores localizados próximos à média.

117 Em virtude do desvio padrão ser uma medida de variabilidade, essas diferenças ligadas ao sexo deveriam refletir no valor do desvio padrão de cada distribuição de QIs. Poderíamos, assim, verificar, por exemplo, que para os indivíduos do sexo masculino e que para os indivíduos do sexo feminino.

118 Se conhecêssemos o desvio de cada conjunto de valores de QI e admitíssemos que cada conjunto tivesse distribuição normal, poderíamos estimar e, em seguida, comparar as porcentagens de indivíduos do sexo masculino e indivíduos do sexo feminino localizadas numa dada amplitude de QIs.

119 Distribuição de QIs masculinos

120 Distribuição de QIs femininos

121 CONCLUSÕES O desvio padrão e a curva normal nos permite comparar os QIs femininos e masculinos ao longo de toda a distribuição.

122 Por exemplo: se medirmos a linha base da distribuição de QIs masculinos em unidades de desvio padrão, ficaremos sabendo que 68,25% dos valores caem entre -1sigma e + 1sigma. Desse modo, 68,25% dos representantes do sexo masculino terão, nas condições propostas QIs entre 90 e 110.

123 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA APOSTILA DO ANGLO AULAS 18 E 19 - ESTATÍSTICA SETOR 1102 PÁGINA 19

124 Exercício 1: Uma prova de matemática constou de 20 testes apresentando a seguinte distribuição por assunto: ASSUNTOFREQUÊNCIAPORCENTAGEM Geometria6 Álgebra8 Aritmética4 Cálculo2 TOTAL20 a)Complete a coluna de porcentagem. b)Represente estes dados num gráfico de barras verticais.

125 Exercício 1: Resolução (item a)

126 Exercício 1: Resolução (item a – continuação) ASSUNTOFREQUÊNCIAPORCENTAGEM Geometria630% Álgebra840% Aritmética420% Cálculo210% TOTAL20100%

127 Exercício 1: Resolução (item b)

128 Exercício 2: Nas aulas de Educação Física de um colégio são praticados três esportes: vôlei, futebol e basquete. Cada um dos 300 alunos opta por um único esporte. Sabendo que 75 alunos escolheram futebol, responda:

129 Exercício 2: a)Quanto mede em graus o ângulo do setor circular que corresponde ao número de alunos que optaram por futebol?

130 Exercício 2: b) Quantos alunos optaram por basquete, se o ângulo do setor circular correspondente aos alunos que escolheram vôlei mede 120º.

131 Exercício 3: Foram perguntadas as idades dos 10 primeiros alunos matriculados num determinado curso noturno e obteve-se a seguinte seqüência de idades: 17, 20, 19, 18, 21, 16, 18, 21, 21, 19 Pede-se, obter: a) Idade média b) Mediana (Md) c) Moda (Mo) d) Variância (σ2) e) Desvio padrão (σ)

132 Exercício 3 a)Idade média: Resposta

133 Exercício 3 b) Mediana: Resposta

134 Exercício 3 c) Moda: Resposta

135 Exercício 3 d) Variância: Resposta

136 Exercício 3 e) Desvio padrão: Resposta

137 Exercício 4: Dois estudantes, A e B, obtiveram as notas abaixo relativas aos quatro bimestres escolares. A6455 B6644 a)Calcule a média das notas de cada aluno. b) Qual aluno teve uma atuação mais regular?

138 Exercício 4 a)Resposta

139 Exercício 4 b) Resposta

140 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS LEVIN, J. Estatística Aplicada a Ciências Humanas, 2ª edição. Trad. Sérgio Francisco Costa. USA: Editora Harbra, NAZARETH, H. Curso Básico de Estatística. São Paulo: Ática, 1994.


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