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Material de apoio: corpo rígido Corpo rígido sistema que mantêm fixas as distâncias entre as partículas que o constituiem, mesmo sob a acção de forças.

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2 Material de apoio: corpo rígido Corpo rígido sistema que mantêm fixas as distâncias entre as partículas que o constituiem, mesmo sob a acção de forças e momentos de forças externos Tipo de movimento a considerar translação – todas as partículas descrevem trajectórias rectilíneas paralelas com a mesma velocidade rotação – todas as partículas descrevem trajectórias circulares em torno do eixo de rotação, com a mesma velocidade angular combinação dos movimentos de translação e rotação em torno de um eixo que passa pelo CM

3 Material de apoio : corpo rígido Energia cinética do movimento de translação Nota: as demonstrações são feitas para sistemas discretos; para sistemas contínuos as demonstrações seriam absolutamente análogas, com os somatórios substituídos por integrais; por simplicidade omitimos a dependência explícita no tempo das grandezas físicas CM move-se com a velocidade comum a todas as partículas

4 Material de apoio: corpo rígido Energia cinética do movimento de rotação m i descreve uma trajectória circular com velocidade angular em torno de O i - ponto de intersecção do eixo de rotação (eixo dos zz) com o plano de rotação (plano da trajectória) distância ao eixo de rotação momento de inércia referido ao eixo de rotação z x y OiOi O

5 Material de apoio : corpo rígido Energia cinética do movimento combinado translação relativamente a um sistema exterior S, com velocidade rotação em torno de um eixo que passa pelo CM, com velocidade angular velocidade da partícula i em S – referencial do CM velocidade da partícula i em S energia cinética no referencial do CM, onde o objecto só tem movimento de rotação s CM

6 Material de apoio: corpo rígido Cálculo dos momentos de inércia em casos simples m i (i=1,2) descrevem trajectórias circulares com velocidade angular em torno de O i distância ao eixo é que é constante m 3 em repouso sobre o eixo de rotação a distância ao eixo é que é constante m1m1 m2m2 m3m3 z O1O1 O2O2 x y

7 Material de apoio: corpo rígido Cálculo dos momentos de inércia em casos simples disco homogéneo de raio R, roda no plano xy, em torno do eixo dos zz cada dm descreve um trajectória circular no plano xy, em torno do ponto O, com a velocidade distância de cada dm ao eixo

8 disco homogéneo de raio R, roda em torno do eixo dos zz que pertence ao seu plano e passa pelo seu centro cada dm descreve um trajectória circular num plano paralelo ao plano xy, com a velocidade distância de cada dm ao eixo é fixa e pode ser calculada quando se encontra no plano yz Material de apoio: corpo rígido Cálculo dos momentos de inércia em casos simples

9 Material de apoio: corpo rígido Cálculo dos momentos de inércia em casos simples placa homogénea de dimensões a e b, roda no plano xy, em torno do eixo dos zz cada dm descreve um trajectória circular no plano xy, em torno do ponto O, com a velocidade distância de cada dm ao eixo

10 placa homogénea de dimensões a e b, roda em torno do eixo dos zz que pertence ao seu plano e passa pelo seu centro cada dm descreve um trajectória circular num plano paralelo ao plano xy, com a velocidade distância de cada dm ao eixo é fixa e pode ser calculada quando se encontra no plano yz Material de apoio: corpo rígido Cálculo dos momentos de inércia em casos simples

11 Material de apoio: corpo rígido Teorema dos eixos paralelos z x y O x y z momento de inércia relativo ao eixo paralelo ao eixo que passa pelo CM momento de inércia relativo eixo que passa pelo CM distância entre os dois eixos CM D

12 Material de apoio : corpo rígido Equações do movimento taxa de variação do momento linear a taxa de variação do momento linear do corpo rígido é determinada pela resultantes das forças externas a aceleração do CM do corpo rígido é determinada pela resultante das forças externas Nota: a resultante é independente do ponto de aplicação das forças resultante das forças externas

13 Material de apoio : corpo rígido Equações do movimento taxa de variação do momento angular a taxa de variação do momento angular do corpo rígido é determinada pelo momento resultante das forças externas Nota: o momento resultante dependente do ponto de aplicação das forças momento resultante das forças externas

14 Material de apoio : corpo rígido Equações do movimento taxa de variação do momento angular corpo plano que roda em torno de um eixo que lhe é perpendicular com velocidade angular cada dm descreve um movimento circular em torno de O com aceleração angular a aceleração angular do corpo rígido é determinada pelo momento resultante das forças externas

15 Material de apoio : corpo rígido Equações do movimento taxa de variação do momento angular corpo de forma arbitrária (3 dimensões) que roda em torno de um eixo com velocidade angular cada dm descreve um movimento circular num plano paralelo ao plano xy em torno de O i com E

16 Material de apoio : corpo rígido MAS – a componente z do momento angular ainda é proporcional a NOTA: é independente do ponto do eixo de rotação em relação ao qual o momento angular é calculado

17 Material de apoio : corpo rígido SE o sistema rodar em torno de um eixo principal de inércia (eixo de simetria do corpo) tem-se ainda Nota: a aceleração angular terá a mesma direcção e sentido da velocidade angular, se a velocidade angular mantiver constante a sua direcção e sentido: sistema roda em torno de um eixo fixo (apenas movimento de rotação) sistema roda em torno de um eixo com movimento de translação (movimento combinado de translação e rotação)

18 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo condição de não derrapagem: ponto de contacto em repouso relativamente à superfície de contacto CM C - ponto de contacto 1ª equação do movimento – movimento de translação condições iniciais movimento inicia-se com o movimento de translação através da comunicação de força de atrito estabelece-se e contraria o movimento de translação força de atrito confere aceleração de translação que faz diminui a velocidade de translação

19 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem: 1º exemplo 2ª equação do movimento – movimento de rotação em torno de um eixo principal de inércia: eixo de simetria que passa pelo CM (eixo dos zz) força de atrito:única força que tem momento não nulo única força que confere a aceleração angular que põe o corpo a rodar relativamente ao CM

20 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem : 1º exemplo cada ponto tem velocidade de translação e velocidade de rotação Condição de não derrapagem cumprida em CM C - ponto de contacto

21 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem : 1º exemplo e não realizam trabalho para a força de atrito não realiza trabalho: ponto de aplicação em repouso relativamente ao solo energia mecânica conserva-se movimento continuaria ideal e indefinidamente com Exemplo: lançamento de uma bola de bowling

22 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo condição de não derrapagem: ponto de contacto em repouso relativamente à superfície de contacto condições iniciais movimento inicia-se com o movimento de rotação através da comunicação de força de atrito estabelece-se e contraria o movimento de rotação CM C - ponto de contacto 1ª equação do movimento – movimento de translação corpo adquire movimento de translação sob a acção da força de atrito

23 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem: 2º exemplo 2ª equação do movimento – movimento de rotação em torno de um eixo principal de inércia: eixo de simetria que passa pelo CM (eixo dos zz) força de atrito: única força com momento não nulo única força que confere a aceleração angular que vai diminuir a velocidade angular inicial relativamente ao CM

24 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem : 2º exemplo cada ponto tem velocidade de translação e velocidade de rotação Condição de não derrapagem cumprida em CM C - ponto de contacto

25 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem : 2º exemplo e não realizam trabalho para a força de atrito não realiza trabalho: ponto de aplicação em repouso relativamente ao solo energia mecânica conserva-se movimento continuaria ideal e indefinidamente com Exemplo: roda que é posta a rodar e depois colocada numa superfície horizontal, sem lançamemto (sem velocidade de translação)

26 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo condição de não derrapagem: ponto de contacto em repouso relativamente à superfície de contacto condições iniciais movimento inicia-se com o movimento de translação sob a acção do peso força de atrito estabelece-se e contraria o movimento de translação 1ª equação do movimento – movimento de translação CM C - ponto de contacto

27 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem: 3º exemplo 2ª equação do movimento – movimento de rotação em torno de um eixo principal de inércia: eixo de simetria que passa pelo CM (eixo dos zz) força de atrito: única força com momento não nulo única força que confere a aceleração angular que põe o corpo a rodar relativamente ao CM

28 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem : 3º exemplo cada ponto tem velocidade de translação e velocidade de rotação condição de não derrapagem cumprida para se CM C - ponto de contacto

29 Material de apoio : corpo rígido Rolamento – não derrapagem : 3º exemplo não realiza trabalho realiza trabalho mas é conservativa se se cumprir a condição de não derrapagem, a força de atrito não realiza trabalho: ponto de aplicação em repouso relativamente ao solo para todo o t energia mecânica conserva-se a energia cinética aumenta, aumenta, enquanto a energia potencial diminui, h (altura da bola) diminui Exemplo: bola de bowling largada no topo de um plano inclinado


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