A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Ensino Superior Cálculo 1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento Amintas Paiva Afonso.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Ensino Superior Cálculo 1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento Amintas Paiva Afonso."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior Cálculo 1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento Amintas Paiva Afonso

2 A linguagem do movimento A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenômeno que envolva funções. derivadas Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas. Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e interessante. De fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas.

3 A lei da queda dos corpos A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático - as derivadas. Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?... Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles. Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 Londres, 31 de Março de 1727) Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 Hanôver, 14 de Novembro de 1716)

4 A linguagem do movimento ( ) O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de ter desfeito o coração de Leibniz. Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram as portas ao espectacular desenvolvimento científico e tecnológico que transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o sonho pitagórico: explicar o mundo com a Matemática.

5 Aplicação das Derivadas na Geometria Analítica

6 Introdução a f(b) x y O b f(a) f(b) - f(a) y b – a x Se uma função é representada graficamente por uma reta (função afim), facilmente sabemos com que velocidade varia essa função. Corresponde, é claro, à declividade da reta representativa da função. y x tmv = tg = taxa média de variação

7 O que o Matemáticos se lembraram foi de substituir localmente a curva por uma reta e calcular a declividade dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas… E... se o gráfico da função não for uma reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa função?

8 O que o Matemáticos se lembraram foi de substituir localmente a curva por uma reta e calcular a declividade dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas… a f(b) b f(a) b – a x f(b) - f(a) y x O y E... se o gráfico da função não for uma reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa função? y x tmv =

9 E… quando tomamos o limite? O ZOOM IN x-x 0 x 0 f(x) x f(x 0 ) y f(x) - f(x 0 ) x O y Vamos, então, estudar Derivadas! x

10 Exemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x 2 Outros Exemplos O limite da razão y/ x, quando x 0, exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x 0 = 1h, a temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC. (aproximadamente, pois se trata de limites) y(ºC) x 0 =1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x

11 xxf(x) x y y/ x 1h30min1,52,250,51,252,5 1h12min1,21,440,20,442,2 1h06min1,11,210,10,212,1 1h1seg 1, , , , , y(ºC) x 0 =1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x Temperatura de uma sala Noção Intuitiva –Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x 0 = 1h. À medida que x se aproxima de zero, y/ x se aproxima de 2.

12 Exemplos Exemplo 2 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x 2 no ponto x 0 = 3, ou seja, f(3). Temos: x 0 = 3 e f(x 0 ) = f(3) = = 18

13 Exemplos Exemplo 3 – Determinar a derivada da função f(x) = x 2 - 6x no ponto x 0 = 2, ou seja, f(2). Temos: x 0 = 2 e f(x 0 ) = f(2) = 2 2 – 6.2 = -8

14 Exemplos Exemplo 4 – Determinar a derivada da função f(x) = x no ponto x 0 = 0, ou seja, f(0). Temos: x 0 = 0 e f(x 0 ) = f(0) = 0 = 0 Nesse caso, dizemos que f(x) = x não tem derivada no ponto x 0 = 0.

15 Exemplos Exemplo 5 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de motores, sendo o custo mensal de produção dado por: C(x) = x (em reais). a) Determine a derivada no ponto x 0 = 100 motores. b) Interprete o resultado obtido. b) O resultado f(x 0 ) = 11, significa que a cada aumento de unidade de motor, há um aumento de 11 reais no custo mensal, a partir de 100 motores. a) f(x 0 ) = f(100) = (100) 1/2 = 3700

16 Exemplos Exemplo 6 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x sapatos, em reais. Suponhamos que para uma produção x 0 = 2000 sapatos, tenhamos a derivada C(x 0 ) = 20 reais por sapato. O que significa isso? Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20 reais, aproximadamente.

17 Temperatura de uma sala a) Se x x 0, então x 0. b) Se x = x - x 0, então x = x + x 0 c) f(x) = f( x + x 0 ) y(ºC) x 0 =1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x

18


Carregar ppt "Ensino Superior Cálculo 1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento Amintas Paiva Afonso."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google