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Progressão Geométrica Prof. MANUEL. xq (a 1, a 2, a 3, a 4...) xq PG Progressão Geométrica xq 1) Razão : q = a 2 = a 3 =... = K a 1 a 1 Ex: (2, 4, 8,

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Apresentação em tema: "Progressão Geométrica Prof. MANUEL. xq (a 1, a 2, a 3, a 4...) xq PG Progressão Geométrica xq 1) Razão : q = a 2 = a 3 =... = K a 1 a 1 Ex: (2, 4, 8,"— Transcrição da apresentação:

1 Progressão Geométrica Prof. MANUEL

2 xq (a 1, a 2, a 3, a 4...) xq PG Progressão Geométrica xq 1) Razão : q = a 2 = a 3 =... = K a 1 a 1 Ex: (2, 4, 8, 16,... ) Razão: q = 4 = 8 = 16 =

3 2) Fórmula Geral: a 2 = a 1.q a 3 = a 2.q = a 1.q.q = a 1.q 2 a 4 = a 3.q = a 1.q 2.q = a 1.q 3 a n = a 1. q n-1 a n = a b. q n-b Ex: (2, 4, 8, 16,... ) Calcule a 6 =? a 3 =8 R=2 a n =a b.q n-b a 6 =a 3.q 6-1 a 6 =8.2 5 = 8.32 = 256 a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 x2

4 3) (2, 4, 8, 16, 32,... ) PG q = 2 a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 a5a5 S 5 = a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 S 5 = = 62 S n = a 1.(q n -1) q-1 Soma Limitada Ex: S 5 = a 1.(q 5 -1) = 2.(2 5 -1) = 2.(32-1) q S 5 = = 62

5 X1/2 4) Ex: (2, 4, 8) xq=2 (4/2, 4, 4.2) (a 1, a 2, a 3 ) (a 2 /q, a 2, a 2.q) 5) (1, ½, ¼, 1/8,... ) X1/ /2+1/4+1/8+... X1/2 S = a 1 1- q 8 S = 1 = 1 = 2 1-1/2 1/2 8 Soma ilimitada

6 1) q=a 2 =a 3 =... = K (razão) a 1 a 2 P.A. (a 1, a 2, a 3,... )P.G. (a 1, a 2, a 3,... ) +Rxq 1)R=a 2 -a 1 =a 3 -a 2 =... = K (razão) 2) Fórmula: a n =a b +(n-b).R2) Fórmula: a n =a b.q n-b 3) Soma dos termos: S n =(a 1 +a n ).n 2 3) Soma dos termos: S n =a 1 (q n -1) q-1 4)(a 1, a 2, a 3 ) (x-R, x, x+R) 4)(a 1, a 2, a 3 ) (x/q, x, x.q) 5) S = a 1 1-q 8

7 (2, 4, 6, 8, 10, 12,... ) P.A. (R=2) Crescente (R>0) (4, 2, 0, -2, -4,... ) P.A. (R=-2) Decrescente (R<0) NOTA!!! (2, 4, 8, 16, 32,... ) P.G. (q=2) Crescente. (2, 1, ½, ¼, 1/8,... ) P.G. (q=1/2) Decrescente (2, -4, 8, -16, 32,... ) P.G. (q=-2) Alternante x1/2 x(-2) +2 +(-2) x2

8 DEMONSTRAÇÃO: S n =a 1 (q n -1) q-1

9 a n =a 1.q n-1 S n =(a 1.q n-1 ).q 1 -a 1 q-1 S n =a 1.q n - a 1 q-1 S n =a 1 (q n - 1) q-1

10 DIZIMA PERIÓDICA 1, = P = 1 3 = 1 1 = x + 1, = P = 1 42 = 1 14 = x + D. P. Simples

11 = 12 3 = 12 1 = 37 D. P. Composta 1 x , = 1, x10 = 12, = = 37 + x

12 Nota: 1, ~ = 2 1, ~ = 1,6

13 Demonstração S = a 1 1-q 8 1, = 1 + 0,3 + 0,03 + 0, , x0,1 S 3 = a 1 (0,1 3 -1) = a 1 (0,001-1) q-1 q-1 S 20 = a 1 (0, ) = a 1 (0, ) q-1 q S = a 1 (0,1 –1) = a 1 (0-1) S = -a 1 x(-1) = a 1 q-1 x(-1) 1-q 8 S = a q

14 EXERCÍCIOS: 01. (UCS-98/1) Numa P.G. decrescente, se o primeiro termo é 24 e o sétimo é 3, a razão é: a)V2 / 2 b)V2 c)V3 d)5/2 e)7/2 P.G. - decrescentea1=24a7=3q=? a n =a b.q n-b a 7 =a 1.q 7-1 3=24.q 6 1=8.q V1/8 = q +-V(1/2) 3 = q 6 +-V1/2 = q 2 +-V1. V2 = q V2 V2 +- V2 / 2 = q

15 02. (UNEB-98) O número de termos da P.G (1/4, ½, 1,..., 256) é: a)8 b)9 c)10 d)11 e)12 (1/4, ½, 1,...,256) x2 a 1 a 2 a 3 a n a n =a b.q n-b a n =a 3.q n-3 256=1.2 n =2 n-3 n-3=8n=11 11 termos Obs: A ordem do último termo representa o nº de termos da sequência

16 03. (UEFS-98) Um homem de 100 Kg começou uma dieta no dia 01/03. Pesando-se a cada 30 dias e registrando o seu peso em uma tabela, conforme ilustração abaixo, observou-se que, ao final de cada 30 dias, perdia 5% do peso registrado anteriormente. 01/03100 Kg 01/0495 Kg 01/05P 3 Kg 01/06P 4 Kg 01/07P 5 Kg 01/08P 6 Kg... a)100(0,05) 4 b)100(0,05) 5 c)100(0,50) 4 d)100(0,95) 4 e)100(0,95) 5 (100, 95,...) X0,95 P 6 =? Nota 5%= 5/100= 0,05 1-0,05 0,95 a 6 =a 1.q 6-1 a 6 =100.0,95 5

17 04. (UCS-98/2) Em uma P.G. decrescente, o décimo-primeiro termo é 1 e o centésimo- primeiro termo é 1/512. O milésimo-primeiro termo dessa progressão é: 100 a)1/ V2 b)1/ V2 c)1/ d)1/ e)1/ a n =a b.q n-b a 101 =a 11.q / 512=1.q 90 V 1/ 512 = q V(1/2) 9 = q 90 a 1001 =a 11.q a 1001 =1.q 990 a 1001 =1.( V1/2) a 1001 = (1/2) 99 a 1001 = 1/ 2 99

18 q=-1/3 ou 05. (UCS-99) O produto de três termos de uma Progressão Geométrica crescente é 216. Se o terceiro termo é igual à soma 10 com os outros dois termos, então a razão desta progressão é: a)6 b)5 c)4 d)3 e)2 a 1.a 2.a 3 =216a 3 =10+a 1 +a 2 q=? (a 1, a 2, a 3 ) a 2 /q a 2 a 2.q a 2 /q.a 2. a 2.q=216 a 2 3 =216 a 2 =V216 3 a 2 =V = 6 3 (a 1, a 2, a 3 ) 6/q 6 6.q a 3 =10+a 1 +a 2 6q=10+6/q+6 6q/1=16/1+6/q 6q 2 =16q+6 q 6q 2 -16q-6=0 /2 3q 2 -8q-3=0 =64-4.3(-3) =100 -b+-V 2a q= q=3

19 a 2 /q.a 2.a 2.q= (BAIANA-99) A soma dos três termos de um PG crescente é 31 e o produto deles é 125. A razão desta progressão é: a)5 b)7/2 c)5/2 d)2 e)5/4 a 1 +a 2 +a 3 =31 a 1.a 2.a 3 =125 (a 1, a 2, a 3 ) a 2 /q a 2 a 2.q a 2 3 =125a 2 =5 5/q+5/1+5q/1=31/1 5+5q+5q 2 =31q q 5q 2 +5q-31q+5=0 5q 2 -26q+5=0 =(-26)-4(5).(5)=576 x= x=5oux=0,2

20 07. (UFBA-adaptada) Cetro tipo de bactéria se reproduz, dividindo-se em duas, de meia em meia hora. Se isto se sucede simultaneamente a três bactérias, em 6 horas haverá x bactérias. Calcule x/128. 3, 6, 12, 24 x2 0 1h 2h 3h 4h 5h 6h a 13 a 13 =a 1.q 13-1 a 13 = =x x = = x = = 3.32 = 96

21 08. (FABAC-98) Os números positivos x, (x- 1)/2, 4/x formam, nesta ordem, uma P.G. Se x é o primeiro termo de uma P.A. de razão igual a 4, então o 5º termo da P.A. é igual a: a)5 b)10 c)16 d)21 e)25 (x, (x-1)/2, 4/x,... ) PG a2/a1=a3/a2 (x-1)/2 = 4/x x (x-1)/2 ((x-1)/2).((x-1)/2)=x.4/x (x-1) 2 /4=4(x-1) 2 =16 x-1=+-4 x=5 x=-3 Se os nº são positivos x=5 PG (5, (5-1)/2, 4/5,... ) (5, 2, 4/5,... ) X2/5 PA (5, a, 13,... ) +4 a 5 =a 1 +(5-1)R a 5 =5+4.4 a 5 =5+16 = 21

22 09. (UESB-98) O sétimo termo de uma PG, de razão 2, é igual a 1. A soma dos sete primeiros termos dessa progressão é igual a: a)1/63 b)6/17 c)116/17 d)136/13 e)127/64 a 7 =1q=2 S n =a 1 (q n -1) a n =a b.q n-b S 7 =a 1 (q 7 -1) q-1 S 7 =1/64 (2 7 -1) 2-1 S 7 =1/64 (128-1) 1 S 7 =127/64 a 7 =a 1.q 7-1 1=a /64=a 1

23 10. (FEBA-98) A solução da equação x+x/2+x/4+...=18 é: a)múltiplo de 2 b)divisor de 3 c)um nº primo d)múltiplo de 3 e)divisor de 6 1-q S = a1 8 (x, x/2, x/4,... ) PG 1-1/2 18= x 1/2 18= x 18.1/2=x x=9

24 11. (UCS-85) Quantos são os nº naturais que satisfazem a inequação: x-2 + x-2 + x < 3? a)infinitos b)1 c)2 d)3 e)5 x-2 + x-2 + x < S = a 1 = (x-2)/2 < 3 1-q 1-1/2 8 1/2 (x-2)/2 < 3x-2. 2 < x-2 < 3 x < nº s X1/2

25 P = 9. 3V3. V Seja P = 9. 3 V 3. V 3... Quando o número de fatores tende ao infinito, o valor limite desse produto é: P = /2. 3 1/4... P = /2+1/4... = 3 4 P = = 81 1-q 2+1+1/2+1/4+... = S = a /2 S = 2 8 1/2 S = S = 2.2 = 4 8 X1/2


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