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Teoria das Categorias em Computação Edward Hermann Haeusler Prof. do Departamento de Informática PUC/RJ.

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1 Teoria das Categorias em Computação Edward Hermann Haeusler Prof. do Departamento de Informática PUC/RJ

2 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 2 TECMF Programas = Dados + Algoritmos Programas = Tipos de Dados + Funções Programas = (Objetos + Operações) + Funções Programas = Objetos + ( Operações + Funções) Categorias = Objetos + Morfismos

3 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 3 TECMF Requisito minimo para Operações/Funções : P1; P2; P3 = P1; (P2; P3) = (P1; P2); P3 Id T = Program Identidade; Var x : T begin read(x); write(x) end. - Programas (compatíveis) podem ser sequenciados (;) P1 : T1T2 P2 : T2T3 P1; P2 : T1T3 - Sequenciamento e Encapsulamento sao compatíveis - Para todo tipo pode-se escrever um programa que mantem inalterados os dados do tipo. P1 : T1T2 Id T1 ; P1 = P1 = P1; Id T2

4 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 4 TECMF Def: Uma Categoria C é definida como uma coleção de objetos OBJ(C) e uma coleção de morfismos Hom(C) juntamente com uma operação t.q. 2- para todo T OBJ(C) existe Id T t.q. se f:T1T2 Hom(C) então Id T2 f = f = f Id T1 1- para todof1:T1T2 Hom(C)ef2:T2T3 Hom(C) existe f2 f1 : T1T3 Hom(C) 3- f3 (f2 f1) = (f3 f2) f1

5 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 5 TECMF EXEMPLOS - SETS Objetos = Conjuntos Morfismos = Funções entre conjuntos - Categoria Vazia - Um objeto e um morfismo (identidade no objeto) a - a b c f g f g

6 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 6 TECMF - Um objeto * e como morfismos (endomorfismos) as palavras sobre o alfabeto = {a,b,...,z,A,B,...,Z}. ********** Categoria c a t e g o r i a - LogI objetos = formulas da lógica de primeira ordem morfismos = relação de consequência lógica A B AB A A B

7 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 7 TECMF - ab f g f g = Id b g f = Id a Def. Um Morfismo f:AB em uma categoria C para o qual existe f -1 : BA, t.q. f f -1 = Id b f -1 f = Id a e dito ser um isomorfismo, e denota-se por a b (a e b sao isomórficos) sempre que tal f existir. c h1h1 h2h2 h 2 h 1 = ???? Como sao os isomorfismos em LogI ?

8 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 8 TECMF - P(X) (conjunto potencia de X) objetos = subconjuntos de X morfismos = relação de inclusão {1,2,3} {1,2}{2,3}{3,1} {1}{2}{3} {}

9 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 9 TECMF 7. Seja C com dois objetos, I e N, os morfismos o : INs : NN t.q. f o = o e f s = s s f Ex. f s s s o = s s s s s s o => Categorias Livremente Geradas - Geradores - Relações Coleção de Objetos (é um conjunto) => Categorias Pequenas (nao é um conjunto) => Categorias Grandes

10 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 10 TECMF Exemplos de Categorias Grandes. 1. SETS 2. Vect : Objetos Espaços Vetoriais de dimensão finita Morfismos Transformações Lineares 3. Top : Objetos Espacos Topológicos Morfismos Funções contínuas 4. Rel : Objetos Conjuntos Morfismos Relações binárias 5. Par : Objetos Conjuntos Morfismos Funções Parciais 6. Trans : Objetos Sistemas de Transição Morfismos Mapeamento de comportamento

11 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 11 TECMF Teoria dos conjuntos x Teoria das Categorias Program UM; Var x,y, z : Integer; begin read(x,y); z:= x - y; writeln(z) end. Program OUTRO; Var a,b,c : Integer; begin read(a,b); c:= a - b; writeln(c) end. => A máquina nao diferencia os programas acima quanto ao comportamento +> Nomes, em geral, nao sao significativos em computação. <+ {x,y,z} é distinto de {a,b,c} em teoria dos conjuntos {x,y,z} e {a,b,c} sao indistinguíveis em SETS (inspeção interna)

12 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 12 TECMF vs ( x)x ( S)(! f) f: S {#} (unitários) ( S)(! f) f: S 1 (! x)x {#} f(x) = #

13 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 13 TECMF {a,b} {#}{a,b} fafa fbfb elementos em categoria f a (#) = af b (#) = b IntensionalvsExtensional Cria_Pilha : ()PilhasPilha_vaziaPilhas

14 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 14 TECMF Def. Em uma categoria C um objeto 1 é dito ser terminal, sss, para todo objeto c de C existe um único morfismo de c para 1. c1 ! Def. Em uma categoria C um objeto 0 é dito ser inicial, sss, para todo objeto c de C existe um único morfismo de 0 para c. 0c ! Prop: Objetos terminais e iniciais sao únicos a menos de isomorfismo.

15 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 15 TECMF Categoria Dual Para qualquer categoria C podemos construir sua dual, ou oposta C op. - C op tem os mesmo objetos e morfismos que C; - Os morfismos de C op vão na direcao contrária se f:A B em C então f:B A em C op ; - A composição é operada no sentido contrário: (g f) em C op e (f g) em C Prop: Objetos terminais em C são iniciais em C op e vice-versa.

16 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 16 TECMF Diagramas e Diagramas Comutativos Def. Um Diagrama em uma categoria C é um grafo (dirigido) que tem suas arestas rotuladas com morfismos de C e seus vértices rotulados com os respectivos objetos. a b c f g h di j Def. Um Diagrama em uma categoria C é dito ser comutativo, ou comutar, sss, todos os caminhos entre quaisquer dois vértices representam o mesmo morfismo. Obs : Para o diagrama acima ser comutativo basta que: g f = h e j i = g

17 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 17 TECMF Produto Cartesiano A x BBA C fg f,g> Em SETS (x) = (f(x),g(x)) f:CAg:CB :CA x B h:CA x B h:C A A x B h:C B = f = g = h

18 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 18 TECMF Exemplos 1. SETS : A x B = { (x,y) / x A e y B } 2. P(X): A x B = A B A A B B C C B C A => C A B 3. LogI: A x B = A B 4. Trans: A x B = Produto Assíncrono de A e B

19 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 19 TECMF X = Produto Assíncrono de Sistemas de Transição Reflexivos

20 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 20 TECMF Propriedades sobre Produtos A x B B x A B x AA pApA pBpB B A x B !! B x A pApA pBpB Id BxA ! Id AxB A x B !

21 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 21 TECMF Prop: O Produto de dois objetos em uma categoria é único a menos de isomorfismo. Prop: A x (B x C) (A x B) x C d A : AA x Ad(x) = (x,x) ( em SETS) A x AA Id A A A dAdA t A,B : A x B B x At(x,y) = (y,x) ( em SETS)

22 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 22 TECMF A x BA A B B A Execução em Paralelo de Morfismos: ACBD fg C x DC C D D f x gfg f x g (x,y) = (f(x),g(y)) Parbegin f; g; Parend A x B C x D

23 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 23 TECMF Qual o conceito dual de Produto ? A x BBA C fg f,g> A + BBA C fg |f,g| f:ACg:BC |f,g|:A+BC h:CA A+B h:CB A+B |f,g| = f|f,g| = g| h, h | = h A + B = co-produto de A e B

24 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 24 TECMF Exemplos 1. SETS : A + B = { (1,x) / x A } { (2,y) / y B } 2. P(X): A + B = A B A A B B C B C A C => A B C 3. LogI: A + B = A B 4. TransReflex: A + B = A x B (Verifiquem !!!!!!!)

25 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 25 TECMF A + BA A B B Seleção de Morfismos: ACBD fg C + DC C D D f x gfg f x g (x,y) = (f(x),g(y)) if A? then f else g fi A + B C + D

26 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 26 TECMF Prop: O Co-produto de dois objetos em uma categoria é único a menos de isomorfismo. Prop: A + (B + C) (A + B) + C cd A : A+AA cd(1,x) = x cd(2,x) = x A + AA Id A A A cd A Em SETS: esqueça os casos

27 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 27 TECMF A x (B + C) A x B + A x C if..... Then Else fi; ; Parbegin Parend if..... Then Parbegin ; Parend Else Parbegin ; Parend fi; Categoria Distributiva A x 0 0

28 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 28 TECMF Circuitos Lógicos B = vf X + YY + X c x,y ~ = c 1,1 B x B = (1 + 1) x (1 + 1) (1 + 1) x1 + (1 + 1)x |v,f,f,f| |v,v,v,f|

29 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 29 TECMF ~ ~ x y z (~x x) (y ~z) x ) x Id B ) x x Id B )) (d x Id B x Id B ) B x B x BB

30 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 30 TECMF Programas Imperativos Iteração : TT f while..... do f; od Exemplo: T = N x N x B N x N + N x N f é tal que: (x,y,flag) (x.y,y-1,0) se y >= 1 e flag = 0 (SETS) (x,y,1) se y < 1 ou flag = 1 (1,x,0) (x,x-1,0) (x.(x-1),x-2,0).... (x!,0,1) ffff

31 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 31 TECMF Def. Um Programa Imperativo é um morfismo f : TT definido (construído), a partir de um conjunto dado de morfismos (instruções básicas), em uma categoria distributiva. 1 T (1,n,0) T fnfn n!

32 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 32 TECMF Programa com entradas - Como Representar programas com entradas ? AbstraçãoAssociação Modelos Funcionais Modelos Computacionais Baseados em Set de Instruções

33 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 33 TECMF x + y 2 N x NN NN N x.x + y 2 NN N y. x + y 2 1N N y x.x + y 2 N App( x.x + y 2,2) N N NN App 11x x 2 x.x + y 2 App (( x.x + y 2 ) x 2)

34 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 34 TECMF Def. Em uma categoria C, o exponencial de dois objetos A e B, respectivamente, é um objeto B A com um morfismo App: B A x A A t.q. para qualquer morfismo e:D B A existe um único morfismo ê t.q. o diagrama abaixo comuta. AB App ADx x Id A BABA e ê ou, Hom(D x A, B) Hom(D, B A ) Prop. Uma categoria com Co-produtos e exponencial é distributiva

35 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 35 TECMF Def. Uma Categoria é dita ser Cartesiana Fechada (CCF), sss, possui produtos finitos e exponenciais. - O -calculus tipado é a linguagem interna das CCFs - CCF são modelos para o -calculus tipado.. x... y...

36 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 36 TECMF Funtores 1 T (1,n,0) T fnfn n! T m! fmfm (m+n)! f m+n ** n m m+n Def. Um Funtor entre duas categorias C e D é um par de mapeamentos (O,M), onde O : Obj(C) Obj(D) e M: Morf(C) Morf(D), t.q. - f : a b está em C então M(f):O(a) O(b) está em D. - M(Id a )= Id Obj(a) - M(f g) = M(f) M(g)

37 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 37 TECMF Um Funtor de C em D pode ser visto como um esboço de C em D. Um Funtor de C em D pode ser visto como uma construção: Lista: SETSSETS Lista(X) = { L / L é lista sobre X} f : X Y Lista(f) : Lista(X) Lista(Y) (x1,...,xn)(f(x1),....,f(xn))

38 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 38 TECMF Exemplos - C = ** D arbitrária - C = ** D = SETS F : C Dé o mesmo queArestas Vértices org dest - C = n.... ( D = SETS F : C Dé o mesmo que : X1X2X3Xn...

39 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 39 TECMF Programas Imperativos com entradas Entradas = * Def. Um Programa Imperativo com entrada é um FUNTOR de * em SETS. SS (a fafa construído a partir de um conjunto de instruções básicas por meio das operações possíveis em um categoria distributiva.

40 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 40 TECMF Transformações Naturais Reverso T : Lista(T) Lista(T) Lista(T1)Lista(T2)T1T2 f Lista(f) Lista(T1)Lista(T2) Lista(f) Reverso T1 Reverso T2 A coleção de morfismos Reverso T, para T em SETS, é uma transformação natural do funtor Lista nele mesmo Transformações NaturaisPolimorfismo

41 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 41 TECMF O Determinante é uma Transformação Natural Corpos Ka Kb h Matriz Ka Matriz Kb Det: Matriz Inc Matriz(h) Ka Kb h Det Ka Det Kb Inc Matriz Det Matrizes Quadradas

42 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 42 TECMF C D F G H C D F H Seentãoé definida componente a componente como : T = T T Def. Sejam C e D duas categorias, então C D tem como objetos funtores de D em C e como morfismos transformações naturais. Exemplo: SETS (categoria dos conjuntos variando no tempo discreto)

43 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 43 TECMF Semântica [[ ]]

44 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 44 TECMF - Semântica deve ser composicional, em particular, desde que: F(t1,...,tn) [Vars s] = F(t1[Vars s],...., tn[Vars s]) t1:T1[Vars]... tn:Tn[Vars] F F(t1,...,tn):F(T1,...,Tn)[Vars] [[ti]] : [[E]][[Ti]] [[F(t1,...,tn)]]: [[E]][[F(T1,...,Tn)]] Assim, [[F]] : Hom([[E]],[[T1]])x....xHom([[E]],[[Tn]]) Hom([[E]],[[F(T1,...,Tn)]]) obs: Vars = x1:E1,...,xn:En Por (2) a substituição é natural.

45 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 45 TECMF O Funtor Hom Sets E E s C op Hom(s,Id T ) t = t s t [[F(t)[x s]]] = [[F(t[x s])]] Hom(E,T) Hom(E,F(T)) = t[x s] Hom(s,Id F(T) ) =F(t) s= F(t)[x s] Hom(E,T) Hom(E,F(T)) t F(t) t[x s] F(t [x s] ) Condição de Naturalidade dentre os funtores Hom(_,T) e Hom(_,F(T))

46 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 46 TECMF Logica Categorica FórmulasTiposObjetos ConectivosConstrutoresFuntores ProvasTermosComponentes de Transf. Nat. Regras de Inferência Regras de Form. Termos Trans. Natural Lógica -Calculus-Tipado Categorias

47 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 47 TECMF Semântica de TADs bool ~ t f ~t = f ~ ~b = b b t = b b f = f b ~b= f b ~b = t t f Novo C C(x) = ~C(x) [x:novo] D com produtos [[bool]] ~ [[bool]] x [[bool]] [[bool]] ~ [[bool]] x [[bool]] [[bool]] ~ 1 t f 1 f

48 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 48 TECMF ===> Sets não serve como interpretação (útil) para o TAD anterior ===> Não existe funtor de TAD para Sets preservando produtos, objetos terminais e os diagramas essenciais, pois : C(x) = ~C(x) [x:novo] [[Novo]] [[bool]] ~ C C 1 e f t [[Novo]] = Inicial = Mas, em Sets [[Novo]] não precisa ser o objeto inicial A A A

49 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 49 TECMF O Lema de Yoneda Seja C uma categoria localmente pequena, e F: C Sets um funtor. Então existe uma bijeção a : Nat(Hom(a,_),F) F(a) natural em a. Prova : Notar que se é uma transformação natural de Hom(a,_) para F então: Hom(a,a) Hom(a,b) F(a) F(b) a b Hom(a,f) F(f) a b f F(f) ( a (id a )) = b (f o id a ) = b (f)

50 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 50 TECMF Teorema de Cayley 1- Um grupo G pode ser visto como uma categoria CatG com somente um objeto * e os morfismos como sendo os elementos do grupo. Operação ???? 2- Seja o Funtor F: CatG Sets F(*) = G e F( * g * ) = g g : G G com g (h) = hg 3- Nat(Hom(*,_),F) Perm(G), 4- Pelo lema de Yoneda Nat(Hom(*,_),F) F(*) = G

51 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 51 TECMF Architectural connectors - Sequential Composition - Parallel synchronous composition - Parallel asynchronous composition * - Behavior inheritance - Factorization of common Behaviors Software Architecture = components + structure

52 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 52 TECMF An Example: Harel Statecharts - Conditions and Actions - Design Hierarchy - On-entry, on-exit during actions - Independent Threads of Control - Visual synchronization/complex Transition (as in Petri-nets) ?condition !action

53 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 53 TECMF CORBA OO Projects Gen. of RETOOL Theories Gen. of C++ Code Projects Base RETOOL Theorem Prover Model-Chec. Spec. Generation. Model- Checker Formal Validation Layer Projeto ARTS (PUC-RIO/SIEMENS )

54 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 54 TECMF Pattern used in ARTS (Haeusler & Fontoura 99) - Horizontal Composition M S b_off b_on Brake Car Off On t_off t_on L unlink link Motor sync(b_off,link) sync(b_on,unlink) Off On t_off t_on L new1 M M Off On t_offt_on link S S S new2

55 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 55 TECMF In categorial terms the horizontal composition is a Colimit Cat L Th(Brake) Th(Motor) x={, } Th(x) Th(Car) b_on b_off link unlink

56 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 56 TECMF OO Projects TTS RETOOL Theories Mathematicaly F G

57 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 57 TECMF Interoperability Hom. Project = PL Code = Logic Spec = TTS = OO Spec

58 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 58 TECMF Instituições e Formalismos/modelos em Engenharia de Software Def. Uma Instituição é uma estrutura - SIGN é uma categoria (assinaturas, ou o léxico da linguagem) - Sen : SIGN Set é o funtor que define a linguagem (Sentenças) - Mod : SIGN op Cat é o funtor que atribui modelos a cada assinatura - é uma família de relações |Mod( )| x |Sen( )| Obj(SIGN) Exemplos : Lógica de Primeira Ordem, Lógica Equacional, Lógica de Reescrita, Logica Modal, Sistemas de Transição, Álgebras de Processo, Linguagens de Programação, etc.

59 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 59 TECMF Mapeamentos entre Instituições (Categoria das Instituições) 1- : SIGN1 SIGN2 2- : Sen1 Sen2 3- : Mod2 op Mod1, tal que o diagrama abaixo comuta Mod1( ) Mod2( ( )) Sen1( ) Sen2( ( )) ( ) 1 2

60 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 60 TECMF Apresentação de Teorias em uma Instituição Def. Seja I uma instituição, uma (apresentação) de teoria é um par, com Obj(SIGN) e Sen( ) Def. Fecho de uma apresentação é, com = { / } Definições alternativas para morfismos e categoria das teorias para uma Inst. 1-, tal que 2 Sen( )( 1). Preserva Axiomas 2-, tal que 2 Sen( )( 1). Preserva Teoremas Categorias Th0 I e Th I, respectivamente. 3 - ModR( ) é a subcategoria cheia de Mod( ) que valida ==== > ModR é um funtor.

61 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 61 TECMF Mapeamentos Simples entre instituições 1- : SIGN1 SIGN2 e : SIGN1 Th2 ( ) = 2- : Sen1 Sen2 3- : ModR2 op Mod1, tal que o diagrama abaixo comuta Mod1( ) ModR2( ( )) Sen1( ) Sen2( ( )) ( ) 1 2 (Meseguer)

62 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 62 TECMF Semantics of the NCM Model (Coordinated Model) - Modules are Timed Automata (RTTS) or RETOOL Theories - Architectural Connectors are: - Horizontal = Colimits - Vertical (OO) = Extension Morphisms (Inheritance Morphisms) - Validation of application: - Consistency - Schedulability ( work of Meseguer and Ölvesczky on RT-RWL)

63 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 63 TECMF The Mathematical Foundation for Interoperability - Institutions = Logics and Spec/Prog Formalisms - Plain and Simple Maps between Institutions - Bridges : Mapping between theories in different institutions - Fibered Category - Grothendieck Construction - Architectural Connectors as Co-limits

64 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 64 TECMF Bridges entre Teorias em diferentes instituições (Martini & Wolter) I1I2 Um mapeamento simples Def. Sejam e em Th1 e Th2 respectivamente. Uma bridge é um morfismo : ( 1) 2 em SIGN2 tal que : 2 2 Sen( ) ( ( 1)( 1) 1 )

65 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 65 TECMF L L L Th(L) SLSL SLSL SLSL ThProj Sig Flat Grothendieck Const. CAT LOG CAT Mod Bridges Map Proj Sig LOG Th LOG Proj Sig

66 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 66 TECMF A Categoria Bridges é Finitamente Cocompleta (Haeusler, Martini & Wolter) 1- Construção do Push-out em Bridges ===> Cocompletude finita de Bridges 2- Cat ser cocompleta garante a existência de uma categoria SIGN de assinaturas para o Push-Out. 3- Cat Sets herda cocompletude de Cat, daí a construção do funtor SEN para o Push-Out. 4- Fibra a Fibra (para cada assinatura) constrói-se o pull-back Mod para cada assinatura. Esta construção é Universal, e, portanto estende-se de forma única a um funtor ModR de SIGN em Cat. 5- Induz uma instituição de forma única. 6- Como Cocomp (a subcategoria de Cat formada por categorias cocompletas e funtores co-contínuos ) é Cocompleta (cons. Lema de Yoneda) SIGN é cocompleta. 7- A teoria que forma o push-out em Bridges tem assinatura obtida em 6 e sentenças contruídas por SEN como o push-out em Sets das imagens dos morfismos que formam o push-out em SIGN.

67 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 67 TECMF Resumo : 1. Teoria das Categorias é o ambiente natural para a formalização de modelos computacionais 2. Teoria das Categorias encapsula conceitos de computação/programação em conceitos categóricos bem conhecidos. 3. Provê meios geométricos para análise de conceitos formais em L.P.s e Eng. Software Desvantagens ou falta de costume ??

68 Edward Hermann Haeusler Teoria das Categorias e Computacao 68 TECMF Teoria das Categorias Livro : Teoria das Categorias para Ciência da Computação Paulo Blauth Menezes & Edward Hermann Haeusler Série Livros Didáticos (UFRGS - Ed. Sagra Luzzato) 2001


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