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Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito.

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1 Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações dadas a seguir (2) a (5). (2) (x, 0) = x  Existe uma correspondência biunívoca entre o par (x, 0) e os reais. Assim, (x, 0) é identificado como o número real x;

2 (0, 1) = i é chamado de unidade imaginária;
(x, y) representam a parte real e a parte imaginária, isto é, R(z) = x e Y(z) = y. (3) (x1, y1) = (x2, y2) <=> x1 = x2 e y1 = y2 Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) então (4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2) (5) z1 z2 = (x1 y1) x (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1)

3 (6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z = (x, y) = x+ yi Como consequência da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como: (x1+ y1i) x (x2+ y2i) = x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 +x2 y1)i

4 Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0)
Calcular z1 + z2 , z1 x z e z12 Solução: z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1) z1 z2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x x 0, 2x0+3x1) = (6, 3) z12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)

5 2 - Propriedades Subtração (inverso da adição) z1 - z2 = z3 z1 =z2 + z3 ou (x2 , y2) + (x3 , y3) = (x1 , y1) Assim, z1 - z2 = (x1 - x2, y1- y2) = (x1 - x2) + (y1- y2)i Divisão (inversa da multiplicação) (z1 / z2) = z3 se z1 = z2 z3, (z2  0) ou (x2 x3 - y2 y3 , x2 y3 + x3 y2) = (x1 , y1)

6 Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x3, y3, temos:
z1/ z2 = (x1 x2 + y1 y2)/ (x22 +y22 ) +(x2 y1 - x1 y2)i / (x22 +y22 ), z2  0. Assim z1/ z2 = z1(1/ z2), 1/(z2 z3) = (1/z2) (1/z3), ( z2  0 z3  0) Exemplo: Determine o valor da expressão: [(-1+3i)(1+2i) / (2-i)] + 2i = [(-1- 6+i) / (2 - i) ]+ 2i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2i = [( ) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = i

7 3 - Leis para adição e subtração:
a) z1 + z2 = z2 + z (comutativa) b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa) c) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z (associativa) d) z1 (z2 + z3) = z1 z2+ z1z (distributiva)

8 4 - Módulos Se x e y são reais, chama-se módulo de um número complexo z = x + yi ao real não negativo Assim,

9 5 - Conjugados complexos
Chama-se conjugado do número complexo z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y) Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), então z1 + z2 = x1+ x2 - (y1 + y2)i = (x1- y1i) + (x2 - y2i) = z1 + z2 Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos conjugados. - -- --

10 Associado a cada número complexo z há 3 números reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam
|z|2 = |R(z)|2 + |I(z)|2 e as condições |z|  |R(z)|  R(z) e |z|  |I(z)|  I(z) e que zz = x2 + y2 = |z|2, |z| = |z| , |z1 z2| = |z1| | z2| |z1 / z2| = |z1| / | z2|, z2  0 e as desigualdades |z1 + z2|  |z1| + | z2| |z1 - z2|  | |z1| - | z2| | _ __

11 6 - Representação gráfica
Cada número complexo corresponde a um único ponto, e reciprocamente, no plano cartesiano xy. Exemplo: O número z = -2 + i é representado por

12 Soma: lei do paralelogramo, Igual que vetores em 2 dimensões.
x y z1 z2 z1+z2 Soma: lei do paralelogramo, Igual que vetores em 2 dimensões. Produto diferente, por que? z1.z2 y 1+2 z2 2 z1 1 x

13 E também valem: z1 - z2 = z1 - z2 z1 z2 = z1 z2 (z1 / z2) = z1 / z e ainda: z + z = 2x = 2R(z) -- a soma de um complexo com o seu conjugado é um real; z - z = 2yi = 2I(z)i -- a diferença entre um complexo e seu conjugado é um imaginário puro; _ _ __ ____ _____ __ __ _

14 Exemplo: Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2 = 12- 5i
Calcule:

15 7 - Forma polar Sejam r e  as coordenadas polares do ponto representado z, Figura a seguir, onde r  0. Então x = rcos  e y = rsen  e z pode ser escrito como z = r (cos  + i sen ) onde Isto é r = |z| e  é o argumento de z denotado por argz. Quando z  0,  pode ser determinado por tg  = y/ x.

16 Exemplo: Seja Então:

17 8 - Produto, Potência e Quociente
O produto de dois números complexos z1 = r1 (cos 1 + i sen 1) e z2 = r2 (cos 2 + i sen 2) é z1 z2 = r1 r2 [cos (1+ 2 )+ i sen (1 + 2 )]. Logo, arg(z1 z2 ) = arg(z1) + arg(z2) Assim, z1 z2 ...zn = r1 r2 ...rn [cos (1+  n ) + + i sen ( 1+  n )].

18 Se z = r (cos  + i sen ) e n  Z+,
zn = r n (cos n + i sen n). Se r = 1 temos o Teorema De Moivre (cos + i sen) n = cos n + i sen n. O quociente de dois números complexos é dado por (z1/ z2) = (r 1/ r2) [cos (1- 2) + i sen (1- 2)], r2  0. Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação (1/ z) = (1/ r) [cos (- ) + i sen (- )] = (1/ r) [cos () - i sen ()] (caso particular). Logo z-n = (1/ z)n = (1/ rn) [cos (-n) + i sen (-n)]

19 Exemplos: Dados os números

20 9 - Extração de raízes Extrair as raízes n-ésimas z1/n de um complexo z é resolver a equação zon = z. Podemos escrever z0 = r0 (cos 0 + isen 0) ou r0n (cos no + isen n0) = r (cos  + i sen ) Se os ângulos são dados em radianos,

21 Onde k = 0, 1, ...(n-1), e zo são os valores de z1/n.
Exemplo: Calcular as raízes cúbicas de 8. Neste caso temos os valores z = 8, n = 3 e  = 0. Para k = 0, z0 = 81/3 (cos 0 +i sen 0) = 2 k = 1, z0 = 81/3 [cos (2/3) +i sen (2/3)] = /2i k=2, z0 = 81/3 [cos (4/3) +i sen (4/3)] = /2i


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