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Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras.

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1 Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações dadas a seguir (2) a (5). (2) (x, 0) = x Existe uma correspondência biunívoca entre o par (x, 0) e os reais. Assim, (x, 0) é identificado como o número real x;

2 (0, 1) = i é chamado de unidade imaginária; (x, y) representam a parte real e a parte imaginária, isto é, R(z) = x e Y(z) = y. (3) (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) x 1 = x 2 e y 1 = y 2 Se z 1 = (x 1, y 1 ) e z 2 = (x 2, y 2 ) então (4) z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) (5) z 1 z 2 = (x 1 y 1 ) x (x 2 y 2 ) = (x 1 x 2 - y 1 y 2, x 1 y 2 +x 2 y 1 )

3 (6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z = (x, y) = x+ yi Como consequência da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como: (x 1 + y 1 i) x (x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 - y 1 y 2 + (x 1 y 2 +x 2 y 1 )i

4 Exemplo: Dados os números z 1 = (2,1) e z 2 = (3, 0) Calcular z 1 + z 2, z 1 x z 2 e z 1 2 Solução: z 1 + z 2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1) z 1 z 2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x x 0, 2x0+3x1) = (6, 3) z 1 2 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)

5 2 - Propriedades Subtração (inverso da adição) z 1 - z 2 = z 3 z 1 =z 2 + z 3 ou (x 2, y 2 ) + (x 3, y 3 ) = (x 1, y 1 ) Assim, z 1 - z 2 = (x 1 - x 2, y 1 - y 2 ) = (x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )i Divisão (inversa da multiplicação) (z 1 / z 2 ) = z 3 se z 1 = z 2 z 3, (z 2 0) ou (x 2 x 3 - y 2 y 3, x 2 y 3 + x 3 y 2 ) = (x 1, y 1 )

6 Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x 3, y 3, temos: z 1 / z 2 = (x 1 x 2 + y 1 y 2 )/ (x 2 2 +y 2 2 ) +(x 2 y 1 - x 1 y 2 )i / (x 2 2 +y 2 2 ), z 2 0. Assim z 1 / z 2 = z 1 (1/ z 2 ), 1/(z 2 z 3 ) = (1/z 2 ) (1/z 3 ), ( z 2 0 z 3 0) Exemplo: Determine o valor da expressão: [(-1+3i)(1+2i) / (2-i)] + 2i = [(-1- 6+i) / (2 - i) ]+ 2i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2i = [( ) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 +i

7 3 - Leis para adição e subtração: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (comutativa) b) z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 (associativa) c) z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 (associativa) d) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 (distributiva)

8 4 - Módulos Se x e y são reais, chama-se módulo de um número complexo z = x + yi ao real não negativo Assim,

9 5 - Conjugados complexos Chama-se conjugado do número complexo z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y) Se z 1 = (x 1, y 1 ) e z 2 = (x 2, y 2 ), então z 1 + z 2 = x 1 + x 2 - (y 1 + y 2 )i = (x 1 - y 1 i) + (x 2 - y 2 i) = z 1 + z 2 Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos conjugados

10 |z| 2 = |R(z)| 2 + |I(z)| 2 e as condições |z| |R(z)| R(z) e |z| |I(z)| I(z) e que zz = x 2 + y 2 = |z| 2, |z| = |z|, |z 1 z 2 | = |z 1 | | z 2 | |z 1 / z 2 | = |z 1 | / | z 2 |, z 2 0 e as desigualdades |z 1 + z 2 | |z 1 | + | z 2 | |z 1 - z 2 | | |z 1 | - | z 2 | | ___ Associado a cada número complexo z há 3 números reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam

11 6 - Representação gráfica Cada número complexo corresponde a um único ponto, e reciprocamente, no plano cartesiano xy. Exemplo: O número z = -2 + i é representado por

12 x y z1z1 z2z2 z 1 +z 2 Soma: lei do paralelogramo, Igual que vetores em 2 dimensões. Produto diferente, por que? x y z1z1 z2z2 z 1.z

13 E também valem: z 1 - z 2 = z 1 - z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 (z 1 / z 2 ) = z 1 / z 2 e ainda: z + z = 2x = 2R(z) -- a soma de um complexo com o seu conjugado é um real; z - z = 2yi = 2I(z)i -- a diferença entre um complexo e seu conjugado é um imaginário puro; _ __ ____ _____ ____ __ _ _

14 Exemplo: Dados os complexos z 1 = 3 + 4i e z 2 = 12- 5i Calcule:

15 7 - Forma polar Sejam r e as coordenadas polares do ponto representado z, Figura a seguir, onde r 0. Então x = rcos e y = rsen e z pode ser escrito como z = r (cos + i sen ) onde Isto é r = |z| e é o argumento de z denotado por argz. Quando z 0, pode ser determinado por tg = y/ x.

16 Exemplo: Seja Então:

17 8 - Produto, Potência e Quociente O produto de dois números complexos z 1 = r 1 (cos 1 + i sen 1 ) e z 2 = r 2 (cos 2 + i sen 2 ) é z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos ( )+ i sen ( )]. Logo, arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) Assim, z 1 z 2...z n = r 1 r 2...r n [cos ( n ) + + i sen ( n )].

18 Se z = r (cos + i sen ) e n Z +, z n = r n (cos n + i sen n ). Se r = 1 temos o Teorema De Moivre (cos + i sen ) n = cos n + i sen n. O quociente de dois números complexos é dado por (z 1 / z 2 ) = (r 1 / r 2 ) [cos ( ) + i sen ( )], r 2 0. Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação (1/ z) = (1/ r) [cos (- ) + i sen (- )] = (1/ r) [cos ( ) - i sen ( )] (caso particular). Logo z -n = (1/ z) n = (1/ r n ) [cos (-n ) + i sen (-n )]

19 Exemplos: Dados os números

20 9 - Extração de raízes Extrair as raízes n-ésimas z 1/n de um complexo z é resolver a equação z o n = z. Podemos escrever z 0 = r 0 (cos 0 + isen 0 ) ou r 0 n (cos n o + isen n 0 ) = r (cos + i sen ) Se os ângulos são dados em radianos,

21 Onde k = 0, 1,...(n-1), e z o são os valores de z 1/n. Exemplo: Calcular as raízes cúbicas de 8. Neste caso temos os valores z = 8, n = 3 e = 0. Para k = 0, z 0 = 8 1/3 (cos 0 +i sen 0) = 2 k = 1, z 0 = 8 1/3 [cos (2 /3) +i sen (2 /3)] = /2 i k=2, z 0 = 8 1/3 [cos (4 /3) +i sen (4 /3)] = /2 i


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