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Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013.

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Apresentação em tema: "Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013."— Transcrição da apresentação:

1 Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013

2 4 a Aula Parte A - Cinemática Inversa 6ª Aula para a Graduação

3 Objetivos desta aula n Modelo cinemático inverso: –Métodos analíticos (ou soluções fechadas): Geométrico (por Trigonometria). Algébrico. n Matlab.

4 Bibliografia n Capítulos 4 do Craig. n Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control –Paul, R. P MIT Press. n Robot Analysis: The Mechanics of Serial and Parallel Manipulators – Lung-Wen TSAI John Wiley.

5 Cinemática Inversa ( 1 … n ) ( x, y, z, x, y, z ) K -1

6 Cinemática Inversa n Como o próprio nome diz: –Como encontrar as posições das juntas dadas a posição e a orientação da ferramenta. n Problema complexo: –Planejamento de trajetória –Dinâmica.

7 Cinemática Inversa nWe do inverse kinematics unwittingly, our eyes can determine where an object is in 3D space, and our sub-sub-conscious can figure out the variables required to move our hand to that position

8 Introdução n O problema de resolver as equações cinemáticas de um manipulador é não linear. n Como em qualquer conjunto de equações não lineares, temos de nos preocupar com: –a existência de soluções, –com múltiplas soluções e –com o método de solução.

9 Existência de soluções n Para que uma solução exista, o alvo deve estar dentro do espaço de trabalho. n Computar o envelope é difícil… –Cada manipulador tem de ser estudado para se entender o seu espaço de trabalho. –Projetos especiais facilitam essa computação.

10 Exemplo: 2R

11 Se l 1 = l 2, o espaço de trabalho alcançável consiste de um disco com raio 2l 1. n Dentro do espaço de trabalho alcançável há duas orientações possíveis para o efetuador. n Nos limites do espaço de trabalho existe apenas uma orientação possível.

12 Duas soluções: qual a melhor? n O problema pode ter mais que uma solução… n Como escolher a apropriada?

13 Escolhendo Soluções n O fato de um manipulador ter múltiplas soluções pode causar problemas, porque o sistema deve ser capaz de escolher uma. n Os critérios nos quais basear a decisão variam, mas uma opção bastante razoável seria a solução mais próxima.

14 Escolhendo Soluções n Por exemplo, se o manipulador está no ponto A, como na figura anterior e queremos levá-lo para o ponto B, uma boa escolha seria a solução que minimiza o quanto cada junta terá de se mover. n Assim, na ausência do obstáculo, a configuração superior pontilhada da Figura seria escolhida.

15 Qual a mais apropriada?

16 Puma: 4 soluções para o manipulador …

17 Puma: 2 Soluções para o pulso… n Total: 8 soluções

18 Métodos de Solução para a Cinemática Inversa n Enquanto a função f() é relativamente fácil de computar, f -1 () geralmente não o é. n Dado o valor numérico de uma transformada, tentamos encontrar os valores de θ 1, θ 2,... θ n n Pode ser solucionado de diversas maneiras: –Geometricamente. –Algebricamente. –Numericamente.

19 Manipulador Solucionável n Um manipulador é considerado solucionável se: –existir um algoritmo que permita determinar todo o conjunto de variáveis de juntas associados a uma posição e orientação dadas. – O principal ponto dessa definição é que, no caso de múltiplas soluções, deve ser possível calcular todas elas.

20 Subespaço quando n < 6 n O conjunto de sistemas de referência meta alcançáveis para um dado manipulador constitui seu espaço de trabalho alcançável. Para um manipulador com n graus de liberdade (sendo n < 6 ), esse espaço de trabalho alcançável pode ser pensado como uma porção de um subespaço com n graus de liberdade.

21 Subespaço quando n < 6 n Por exemplo, o subespaço do robô de dois elos é um plano, mas o espaço de trabalho é um subconjunto desse plano: –um círculo de raio l 1 + l 2 para o caso em que l 1 = l 2.

22 Subespaço quando n < 6 n Em geral, ao definir um alvo para um manipulador com n graus de liberdade, usamos n parâmetros para especificar a meta. n Se, por outro lado, damos uma especificação para todos os seis graus de liberdade, não conseguiremos atingir o alvo com um manipulador n < 6.

23 Subespaço quando n < 6 n Nesse caso podemos atingir um alvo que está no subespaço do manipulador e situado tão próximo quanto possível do original desejado: –Dado um sistema de referência de meta genérico, compute um sistema de referência de meta modificado de forma que este se situe no subespaço do manipulador e o mais próximo possível do alvo...

24 Soluções analíticas x numéricas n Soluções do problema da cinemática inversa podem ser classificadas em: –Analíticas (ou soluções fechadas): Encontram uma solução exata através da inversão das equações de cinemática direta. É possível apenas para problemas simples. –Numéricas: Utilizam aproximação e diversas iterações para tentar convergir para a solução. Tendem a ser mais genéricos e computacionalmente mais custosos.

25 Cinemática inversa utilizando métodos analíticos. Soluções fechadas ou Closed-form solutions

26 Método analítico. n Para criar o modelo cinemático inverso, basta analisar o problema matematicamente. n Vantagens: –Cria o modelo completo. n Desvantagens: –Complexidade dependendo da geometria do manipulador.

27 Soluções de forma fechada n Forma fechada significa: –um método de solução baseado em expressões analíticas ou na solução de um polinômio de grau 4 ou menor. –Apenas cálculos não iterativos são suficientes para chegar a uma solução.

28 d2d2 d1d1 Exemplo 1: 2P n Dados x, y, solucione para d1, d2:

29 Exemplo 1: 2P n A cinemática direta e a inversa são triviais para juntas prismáticas. n Existe somente uma solução: –Equações lineares. –Não usam funções trigonométricas. n Por este motivo esta geometria é popular: –CNC –Gantry –Plotters, …

30 Exemplo 2: R+P Dados x e y, solucionar para 1 e d 2 REFERENCE POINT (x, y) 1 x y 1 2 d2d2

31 Exemplo 2: R+P n Solução 1: n Solução 2:

32 Solucionando equações trigonométricas… n A cinemática inversa geralmente envolve funções trigonométricas: –Inverso das funções geralmente possuem múltiplas soluções. n Ruim pois causa indefinição sobre o ângulo real do manipulador.

33 Solucionando equações trigonométricas…

34 n Função atan2(y,x): –Função inversa da tangente. –Leva 2 argumento: x e y, com sinais. –Sempre gera a mesma resposta. n Definição: Função atan2(y,x)

35 Definição de atan2(y,x) x y

36 Atan2(y,x)

37 Algébrico x Geométrico n Dois métodos podem ser usados para se obter a solução fechada: –o algébrico e o geométrico. n Tal distinção é um tanto quanto nebulosa: –todo método geométrico empregado é aplicado por expressões algébricas, portanto os dois métodos são similares. –Os métodos diferem apenas em termos de abordagem.

38 Algébrico x Geométrico n Como introdução, vamos considerar as duas abordagens para a solução de um manipulador planar simples de três elos: –Geométrica –Algébrica

39 Exemplo 3: Manipulador 3R

40 Como trabalhamos com um manipulador planar, a especificação desses pontos alvos pode ser obtida com mais facilidade especificando-se três números: x, y e ϕ, sendo ϕ a orientação do elo 3 no plano.

41 Solução geométrica para o 3R n Na abordagem geométrica para encontrar a solução de um manipulador, procuramos decompor a geometria espacial do braço em vários problemas de geometria plana. Para muitos manipuladores (em particular quando α i = 0 ou ±90 ), isso consegue ser feito com bastante facilidade.

42 Solução geométrica para o 3R A Figura 4.8 mostra o triângulo formado por l 1, l 2 e a linha que une a origem do sistema de referência {0} com a origem do sistema de referência {3}. n As linhas pontilhadas representam a outra configuração possível do triângulo que levaria à mesma posição do sistema de referência {3}.

43 Figura 4.8 (livro Craig) ϕ

44 θ2θ2 θ3θ3 θ1θ1

45 Solução geométrica para o 3R n Considerando o triângulo contínuo, podemos aplicar a lei dos cossenos para resolver θ 2 : n Agora,, assim:

46 Figura 4.8 (livro Craig)

47 Solução geométrica para o 3R Para que esse triângulo exista, a distância ao ponto alvo deve ser menor ou igual à soma do comprimento dos elos, l 1 + l 2. –Em um algoritmo computacional essa condição seria verificada neste ponto, para confirmar a existência de soluções. –Tal condição não é satisfeita quando o ponto alvo está fora do alcance do manipulador.

48 Solução geométrica para o 3R Presumindo que uma solução existe, essa equação é resolvida por um valor de θ 2 que está entre 0 e –180 graus, porque somente para esses valores o triângulo da Figura 4.8 existe. A outra solução possível (indicada pelo triângulo pontilhado) é encontrada por simetria como θ' 2 = –θ 2.(arccos resulta em 2 valores)

49 Solução geométrica para o 3R Para resolver θ 1, encontramos expressões para os ângulos ψ e β como mostra a Figura 4.8. Primeiro, β pode estar em qualquer quadrante, dependendo dos sinais de x e y :

50 Figura 4.8 (livro Craig)

51 Solução geométrica para o 3R Aplicamos mais uma vez a lei dos cossenos para encontrar ψ : Aqui, o arco cosseno deve ser resolvido de forma que 0 ψ 180° para que a geometria que leva a solução seja preservada.

52 Solução geométrica para o 3R n Então temos: onde o sinal positivo é usado se θ 2 0.

53 Solução geométrica para o 3R n Sabemos que os ângulos de um plano se somam, portanto a soma dos três ângulos de juntas deve ser a orientação do último elo: n Logo:

54 Conclusão geométrica 3R n Os ângulos são encontrados utilizando as seguintes equações:

55 Mas, e se L 3 0 ? L 3 ?????

56 Mas, e se L 3 0 ? L 3 ????? x y

57 Mas, e se L 3 0 ? L 3 ????? x y

58 Mas, e se L 3 0 ? L 3 ????? x y Este é o ponto x, y Simplificamos a solução para o caso já resolvido

59 E se for um manipulador 2R? A solução apresentada para o 3R com L 3 = 0 também funciona para o 2R: l2l2 l1l1 (x, y) x y 1 2

60 2R+1P n Similar aos dois exemplos 1P e 2R: –Parte do manipulador é 2R: –A parte de posicionamento no eixo z (altura) é direta: junta prismática! n Por este motivo também é muito popular.

61 Solução analítica para o 3R n Seguindo o método do Capítulo 3, podemos usar os parâmetros de elos com facilidade para encontrar as equações cinemáticas desse braço:

62 Solução analítica para o 3R n Em vez de fornecer uma transformada genérica como especificação de alvo, vamos considerar uma transformação com a estrutura:

63 Solução analítica 3R Igualando as duas matrizes =

64 Solução analítica 3R Igualando as duas matrizes, chegamos a um conjunto de quatro equações não lineares que devem ser resolvidas para θ 1, θ 2 e θ 3 : c ϕ = c 123, (4.8) s ϕ = s 123, (4.9) x = l 1 c 1 + l 2 c 12, (4.10) y = l 1 s 1 + l 2 s 12. (4.11)

65 Solução analítica 3R n Agora começamos nossa solução algébrica das Equações (4.10) e (4.11): x = l 1 c 1 + l 2 c 12 y = l 1 s 1 + l 2 s 12 n Se elevarmos as duas ao quadrado, obtemos:

66 Solução analítica 3R n Se somarmos as duas, obtemos:

67 Solução analítica 3R n Se somarmos as duas, obtemos: n Reorganizando: n Mas, então:

68 Solução analítica 3R n Se somarmos as duas, obtemos: n Reorganizando: n Mas, então: Tem como simplificar isso?

69 Solução analítica 3R

70 n Agora, pelas identidades trigonométricas sabemos que: n E portanto: Solução analítica 3R

71 Sabemos:

72 n Agora, pelas identidades trigonométricas sabemos que: n E portanto: Solução analítica 3R

73 n Reorganizando:

74 Solução analítica 3R n Reorganizando:

75 Solução analítica 3R n Reorganizando: n Então temos:

76 Solução analítica 3R n Reorganizando: n Então temos: n Ou:

77 Solução analítica 3R n Reorganizando: n Então temos: n Mas: 1

78 Solução analítica 3R n Reorganizando: n Então temos: n Logo:

79 Solução analítica 3R n Reorganizando: n Então temos: n Logo:

80 Solução analítica 3R n Substituindo n Em n Temos: n Ou seja:

81 Solução analítica versus Geométrica do 3R n As duas soluções deram a mesma resposta... n Era de se esperar... Se o argumento da função arccos não estiver entre -1 e 1, significa que o ponto não pode ser alcançado.

82 Solução analítica 3R E o θ 1 ? Substituindo-se os valores de θ 2 nas equações para x e y, e fazendo algumas substituições, se encontra o valor de θ 1. (ver pg 111) E θ 3 ? Se c ϕ = c 123 e s ϕ = s 123, logicamente

83 Conclusão do 3R n Existem duas soluções para o problema de cinemática inversa de um manipulado 3R. n Exceto em pontos chamados de singularidades.

84 Solução de Pieper n Embora um robô completamente genérico com 6 DOF não tenha uma solução em forma fechada, casos especiais podem ser resolvidos: –Pieper estudou manipuladores com seis graus de liberdade nos quais três eixos consecutivos se cruzam em um ponto. –Se aplica à maioria dos robôs industriais disponíveis no mercado.

85 Solução de Pieper n Quando os últimos três eixos se cruzam, as origens dos sistemas de referência de elos {4}, {5} e {6} estão localizadas nesse ponto de intersecção. n Assim, podemos reduzir o problema para a solução de um manipulador com 3 DOF:

86 Solução de Pieper Para completar a solução, deve se encontrar θ 4, θ 5 e θ 6. –Esses eixos se cruzam, de forma que esses ângulos de junta afetam a orientação somente do último elo. –Podemos computá-los a partir de nada mais que a porção rotacional do alvo especificado. n Solução completa pgs 114 a 116 do Craig, 3ª. Edição em inglês.

87 Exercício 1: PUMA (6R)

88 PUMA: modelo direto

89 Onde: Inversão: páginas 117 a 121 do Craig.

90 PUMA: cinemática inversa

91

92 Conclusão - analíticos. n Não é fácil obter o modelo cinemático inverso a partir da geometria do manipulador: –Altamente não linear. –Ambigüidade. –Solução completa para apenas alguns tipos de geometrias: Geometrias simplistas (1R, 2R, 3R, 3P, RP, …) PUMA (6R decoupled). Stanford Arm (5R-1P).

93 Métodos Numéricos n Por sua natureza iterativa, as soluções numéricas em geral são muito mais lentas do que suas correspondentes de forma fechada: –Para a maioria das aplicações não estamos interessados na abordagem numérica para as soluções cinemáticas. n Métodos de solução numérica iterativos serão vistos na próxima aula.

94 Intervalo Sequência da aula no laboratório


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