Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013

Apresentação em tema: "Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013
Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013

2 Parte A - Cinemática Inversa 6ª Aula para a Graduação

3 Objetivos desta aula Modelo cinemático inverso: Matlab.
Métodos analíticos (ou soluções fechadas): Geométrico (por Trigonometria). Algébrico. Matlab.

4 Bibliografia Capítulos 4 do Craig.
Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control Paul, R. P MIT Press. Robot Analysis: The Mechanics of Serial and Parallel Manipulators Lung-Wen TSAI John Wiley.

5 Cinemática Inversa K-1 (1 … n) (x, y, z, x, y, z)

6 Cinemática Inversa Como o próprio nome diz: Problema complexo:
Como encontrar as posições das juntas dadas a posição e a orientação da ferramenta. Problema complexo: Planejamento de trajetória Dinâmica.

7 Cinemática Inversa “We do inverse kinematics unwittingly, our eyes can determine where an object is in 3D space, and our sub-sub-conscious can figure out the variables required to move our hand to that position”

8 Introdução O problema de resolver as equações cinemáticas de um manipulador é não linear. Como em qualquer conjunto de equações não lineares, temos de nos preocupar com: a existência de soluções, com múltiplas soluções e com o método de solução.

9 Existência de soluções
Para que uma solução exista, o alvo deve estar dentro do espaço de trabalho. Computar o envelope é difícil… Cada manipulador tem de ser estudado para se entender o seu espaço de trabalho. Projetos especiais facilitam essa computação.

10 Exemplo: 2R

11 Exemplo: 2R Se l1 = l2, o espaço de trabalho alcançável consiste de um disco com raio 2l1. Dentro do espaço de trabalho alcançável há duas orientações possíveis para o efetuador. Nos limites do espaço de trabalho existe apenas uma orientação possível.

12 Duas soluções: qual a melhor?
O problema pode ter mais que uma solução… Como escolher a apropriada?

13 Escolhendo Soluções O fato de um manipulador ter múltiplas soluções pode causar problemas, porque o sistema deve ser capaz de escolher uma. Os critérios nos quais basear a decisão variam, mas uma opção bastante razoável seria a solução mais próxima.

14 Escolhendo Soluções Por exemplo, se o manipulador está no ponto A, como na figura anterior e queremos levá-lo para o ponto B, uma boa escolha seria a solução que minimiza o quanto cada junta terá de se mover. Assim, na ausência do obstáculo, a configuração superior pontilhada da Figura seria escolhida.

15 Qual a mais apropriada?

16 Puma: 4 soluções para o manipulador …

17 Puma: 2 Soluções para o pulso…
Total: 8 soluções

18 Métodos de Solução para a Cinemática Inversa
Enquanto a função f() é relativamente fácil de computar, f-1() geralmente não o é. Dado o valor numérico de uma transformada, tentamos encontrar os valores de θ1, θ2, ... θn Pode ser solucionado de diversas maneiras: Geometricamente. Algebricamente. Numericamente.

19 Manipulador Solucionável
Um manipulador é considerado solucionável se: existir um algoritmo que permita determinar todo o conjunto de variáveis de juntas associados a uma posição e orientação dadas. O principal ponto dessa definição é que, no caso de múltiplas soluções, deve ser possível calcular todas elas.

20 Subespaço quando n < 6
O conjunto de sistemas de referência meta alcançáveis para um dado manipulador constitui seu espaço de trabalho alcançável. Para um manipulador com n graus de liberdade (sendo n < 6), esse espaço de trabalho alcançável pode ser pensado como uma porção de um subespaço com n graus de liberdade.

21 Subespaço quando n < 6
Por exemplo, o subespaço do robô de dois elos é um plano, mas o espaço de trabalho é um subconjunto desse plano: um círculo de raio l1 + l2 para o caso em que l1 = l2.

22 Subespaço quando n < 6
Em geral, ao definir um alvo para um manipulador com n graus de liberdade, usamos n parâmetros para especificar a meta. Se, por outro lado, damos uma especificação para todos os seis graus de liberdade, não conseguiremos atingir o alvo com um manipulador n < 6.

23 Subespaço quando n < 6
Nesse caso podemos atingir um alvo que está no subespaço do manipulador e situado tão “próximo” quanto possível do original desejado: Dado um sistema de referência de meta genérico, compute um sistema de referência de meta modificado de forma que este se situe no subespaço do manipulador e o mais “próximo” possível do alvo...

24 Soluções analíticas x numéricas
Soluções do problema da cinemática inversa podem ser classificadas em: Analíticas (ou soluções fechadas): Encontram uma solução exata através da inversão das equações de cinemática direta. É possível apenas para problemas simples. Numéricas: Utilizam aproximação e diversas iterações para tentar convergir para a solução. Tendem a ser mais genéricos e computacionalmente mais custosos.

25 Cinemática inversa utilizando métodos analíticos.
Soluções fechadas ou Closed-form solutions

26 Método analítico. Para criar o modelo cinemático inverso, “basta” analisar o problema matematicamente. Vantagens: Cria o modelo completo. Desvantagens: Complexidade dependendo da geometria do manipulador.

27 Soluções de forma fechada
“Forma fechada” significa: um método de solução baseado em expressões analíticas ou na solução de um polinômio de grau 4 ou menor. Apenas cálculos não iterativos são suficientes para chegar a uma solução.

28 Exemplo 1: 2P d2 d1 Dados x, y, solucione para d1, d2:

29 Exemplo 1: 2P A cinemática direta e a inversa são triviais para juntas prismáticas. Existe somente uma solução: Equações lineares. Não usam funções trigonométricas. Por este motivo esta geometria é popular: CNC Gantry Plotters, …

30 Exemplo 2: R+P Dados x e y, solucionar para 1 e d2 d2 f 2  1 y x
REFERENCE POINT (x, y) d2 y f 2  1 x 1

31 Exemplo 2: R+P Solução 1: Solução 2:

32 Solucionando equações trigonométricas…
A cinemática inversa geralmente envolve funções trigonométricas: Inverso das funções geralmente possuem múltiplas soluções. Ruim pois causa indefinição sobre o ângulo real do manipulador.

33 Solucionando equações trigonométricas…

34 Função atan2(y,x) Função atan2(y,x): Definição:
Função inversa da tangente. Leva 2 argumento: x e y, com sinais. Sempre gera a mesma resposta. Definição:

35 Definição de atan2(y,x) y x

36 Atan2(y,x)

37 Algébrico x Geométrico
Dois métodos podem ser usados para se obter a solução fechada: o algébrico e o geométrico. Tal distinção é um tanto quanto nebulosa: todo método geométrico empregado é aplicado por expressões algébricas, portanto os dois métodos são similares. Os métodos diferem apenas em termos de abordagem.

38 Algébrico x Geométrico
Como introdução, vamos considerar as duas abordagens para a solução de um manipulador planar simples de três elos: Geométrica Algébrica

39 Exemplo 3: Manipulador 3R

40 Exemplo 3: Manipulador 3R
Como trabalhamos com um manipulador planar, a especificação desses pontos alvos pode ser obtida com mais facilidade especificando-se três números: x, y e ϕ, sendo ϕ a orientação do elo 3 no plano.

41 Solução geométrica para o 3R
Na abordagem geométrica para encontrar a solução de um manipulador, procuramos decompor a geometria espacial do braço em vários problemas de geometria plana. Para muitos manipuladores (em particular quando αi = 0 ou ±90), isso consegue ser feito com bastante facilidade.

42 Solução geométrica para o 3R
A Figura 4.8 mostra o triângulo formado por l1, l2 e a linha que une a origem do sistema de referência {0} com a origem do sistema de referência {3}. As linhas pontilhadas representam a outra configuração possível do triângulo que levaria à mesma posição do sistema de referência {3}.

43 Figura 4.8 (livro Craig) ϕ

44 Figura 4.8 (livro Craig) θ3 θ2 θ1

45 Solução geométrica para o 3R
Considerando o triângulo contínuo, podemos aplicar a “lei dos cossenos” para resolver θ2: Agora, , assim:

46 Figura 4.8 (livro Craig)

47 Solução geométrica para o 3R
Para que esse triângulo exista, a distância ao ponto alvo deve ser menor ou igual à soma do comprimento dos elos, l1 + l2. Em um algoritmo computacional essa condição seria verificada neste ponto, para confirmar a existência de soluções. Tal condição não é satisfeita quando o ponto alvo está fora do alcance do manipulador.

48 Solução geométrica para o 3R
Presumindo que uma solução existe, essa equação é resolvida por um valor de θ2 que está entre 0 e –180 graus, porque somente para esses valores o triângulo da Figura 4.8 existe. A outra solução possível (indicada pelo triângulo pontilhado) é encontrada por simetria como θ'2 = –θ2.(arccos resulta em 2 valores)

49 Solução geométrica para o 3R
Para resolver θ1, encontramos expressões para os ângulos ψ e β como mostra a Figura 4.8. Primeiro, β pode estar em qualquer quadrante, dependendo dos sinais de x e y: 

50 Figura 4.8 (livro Craig)

51 Solução geométrica para o 3R
Aplicamos mais uma vez a lei dos cossenos para encontrar ψ: Aqui, o arco cosseno deve ser resolvido de forma que 0 ≤ ψ ≤ 180° para que a geometria que leva a solução seja preservada.

52 Solução geométrica para o 3R
Então temos:  onde o sinal positivo é usado se θ2 < 0 e o negativo se θ2 > 0.

53 Solução geométrica para o 3R
Sabemos que os ângulos de um plano se somam, portanto a soma dos três ângulos de juntas deve ser a orientação do último elo: Logo:

54 Conclusão geométrica 3R
Os ângulos são encontrados utilizando as seguintes equações:

55 Mas, e se L3 ≠ 0 ? L3 ?????

56 Mas, e se L3 ≠ 0 ? L3 ????? y’ x’

57 Mas, e se L3 ≠ 0 ? L3 ????? x’ y’

58 Mas, e se L3 ≠ 0 ? Este é o ponto x’, y’ L3 ????? y’ x’
Simplificamos a solução para o caso já resolvido

59 E se for um manipulador 2R?
(x , y) x y 1 2 A solução apresentada para o 3R com L3 = 0 também funciona para o 2R:

60 2R+1P Similar aos dois exemplos 1P e 2R:
Parte do manipulador é 2R: A parte de posicionamento no eixo z (altura) é direta: junta prismática! Por este motivo também é muito popular.

61 Solução analítica para o 3R
Seguindo o método do Capítulo 3, podemos usar os parâmetros de elos com facilidade para encontrar as equações cinemáticas desse braço:

62 Solução analítica para o 3R
Em vez de fornecer uma transformada genérica como especificação de alvo, vamos considerar uma transformação com a estrutura:

63 Solução analítica 3R Igualando as duas matrizes =

64 Solução analítica 3R Igualando as duas matrizes, chegamos a um conjunto de quatro equações não lineares que devem ser resolvidas para θ1, θ2 e θ3: cϕ = c123, (4.8) sϕ = s123,  (4.9) x = l1c1 + l2c12, (4.10) y = l1s1 + l2s12. (4.11)

65 Solução analítica 3R Agora começamos nossa solução algébrica das Equações (4.10) e (4.11): x = l1c1 + l2c12 y = l1s1 + l2s12 Se elevarmos as duas ao quadrado, obtemos:

66 Solução analítica 3R Se somarmos as duas, obtemos:

67 Solução analítica 3R Se somarmos as duas, obtemos: Reorganizando:
Mas , então:

68 Solução analítica 3R Se somarmos as duas, obtemos: Reorganizando:
Mas , então: Tem como simplificar isso?

69 Solução analítica 3R

70 Solução analítica 3R Agora, pelas identidades trigonométricas “sabemos” que: E portanto:

71 Sabemos:

72 Solução analítica 3R Agora, pelas identidades trigonométricas “sabemos” que: E portanto:

73 Solução analítica 3R Reorganizando:

74 Solução analítica 3R Reorganizando:

75 Solução analítica 3R Reorganizando: Então temos:

76 Solução analítica 3R Reorganizando: Então temos: Ou:

77 Solução analítica 3R Reorganizando: Então temos: Mas: 1

78 Solução analítica 3R Reorganizando: Então temos: Logo:

79 Solução analítica 3R Reorganizando: Então temos: Logo:

80 Solução analítica 3R Substituindo Em Temos: Ou seja:

81 Solução analítica versus Geométrica do 3R
As duas soluções deram a mesma resposta... Era de se esperar... Se o argumento da função arccos não estiver entre -1 e 1, significa que o ponto não pode ser alcançado.

82 Solução analítica 3R E o θ1?
Substituindo-se os valores de θ2 nas equações para x e y, e fazendo algumas substituições, se encontra o valor de θ1. (ver pg 111) E θ3? Se cϕ = c123 e sϕ = s123, logicamente

83 Conclusão do 3R Existem duas soluções para o problema de cinemática inversa de um manipulado 3R. Exceto em pontos chamados de “singularidades”.

84 Solução de Pieper Embora um robô completamente genérico com 6 DOF não tenha uma solução em forma fechada, casos especiais podem ser resolvidos: Pieper estudou manipuladores com seis graus de liberdade nos quais três eixos consecutivos se cruzam em um ponto. Se aplica à maioria dos robôs industriais disponíveis no mercado.

85 Solução de Pieper Quando os últimos três eixos se cruzam, as origens dos sistemas de referência de elos {4}, {5} e {6} estão localizadas nesse ponto de intersecção. Assim, podemos reduzir o problema para a solução de um manipulador com 3 DOF:

86 Solução de Pieper Para completar a solução, deve se encontrar θ4, θ5 e θ6. Esses eixos se cruzam, de forma que esses ângulos de junta afetam a orientação somente do último elo. Podemos computá-los a partir de nada mais que a porção rotacional do alvo especificado. Solução completa pgs 114 a 116 do Craig, 3ª. Edição em inglês.

87 Exercício 1: PUMA (6R)

88 PUMA: modelo direto

89 PUMA: modelo direto Onde: Inversão: páginas 117 a 121 do Craig.

90 PUMA: cinemática inversa

91 PUMA: cinemática inversa

92 Conclusão - analíticos.
Não é fácil obter o modelo cinemático inverso a partir da geometria do manipulador: Altamente não linear. Ambigüidade. Solução completa para apenas alguns tipos de geometrias: Geometrias simplistas (1R, 2R, 3R, 3P, RP, …) PUMA (6R decoupled). Stanford Arm (5R-1P).

93 Métodos Numéricos Por sua natureza iterativa, as soluções numéricas em geral são muito mais lentas do que suas correspondentes de forma fechada: Para a maioria das aplicações não estamos interessados na abordagem numérica para as soluções cinemáticas. Métodos de solução numérica iterativos serão vistos na próxima aula.

94 Sequência da aula no laboratório
Intervalo Sequência da aula no laboratório