Teorema Fundamental da Aritmética

Apresentação em tema: "Teorema Fundamental da Aritmética"— Transcrição da apresentação:

1 Teorema Fundamental da Aritmética
Sistemas de Numeração Múltiplos AULA 1 Divisores MMC MDC Números Naturais NOS Pares NOS Ímpares NOS Primos NOS Compostos Teorema Fundamental da Aritmética

2 Você já parou para pensar
como surgiram os números? Será que os números surgiram da invenção de um matemático? Contar Objetos Números Naturais IN = { } , 1 ... , 2 3 4 5 6 Sem o Zero (0) IN * = { } 1 2 3 4 5 6 ... ,

3 I X C ... Recordando... É um sistema que representa
Sistemas de Numeração Os números, assim como as palavras, sofreram mudanças com o tempo. Sistema de Numeração Romano Recordando... Sistema Decimal de Numeração É um sistema que representa números de uma forma consistente, de tal forma que cada número tenha uma única representação. V X I antes de Esse é o nosso Sistema de Numeração. Os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades. Utiliza 7 letras (símbolos) que representam os seguintes números: ... 3ª Classe 2ª Classe 1ª Classe representam os mesmos números, apenas em idiomas e épocas distintas. quinze XV 15 fifteen Bilhão Trilhão Milhão Milhar Unidades L C X antes de I → 1 V → 5 X → 10 ... 10 unidades formam 1 dezena Para escrever qualquer número nesse Sistema de Numeração, utilizamos os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. D M C antes de L → 50 C → 100 Centena Dezena Unidade Centena Dezena Unidade Centena Dezena Unidade 10 dezenas formam 1 centena D → 500 M → 1000

4 (ENEM|G:A) O sistema de numeração romana, hoje em desuso, já foi o principal sistema de numeração da Europa. Nos dias atuais, a numeração romana é usada no nosso cotidiano essencialmente para designar os séculos, mas já foi necessário fazer contas e descrever números bastante grandes nesse sistema de numeração. Para isto, os romanos colocavam um traço sobre o número para representar que esse número deveria ser multiplicado por 1000.

5 – Por exemplo, o número X representa o número 10 × 1000, ou seja, De acordo com essas informações, os números MCCV e XLIII são, respectivamente, iguais a: A) e 43000 B) e 63000 C) e D) e 43000 E) e 63000 ____ ____

6 não deixa resto (resto 0)
Números Naturais NOS Pares NOS Ímpares 2 4 6 8 10 ... , Se ao dividir por 2, não deixa resto (resto 0) 1 3 5 7 9 11 ... , Se ao dividir por 2, deixa resto 1

7 Primos = { _, _, _, _, __, __, __, __,
NOS Compostos Números Naturais NOS Primos Tem exatamente 2 divisores positivos (distintos) : o “1” e ele mesmo. DESAFIO: Quais são os 15 primeiros números primos? Será que o 15 é primo? Será que o 2 é primo? Será que o 1 é primo? Tem mais de 2 divisores positivos Primos = { _, _, _, _, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, ...} Teorema Fundamental da Aritmética Exemplos: 108 = 1440 =

8 Decomposição em Fatores Primos
450 = 324 =

9 Um número é divisível por outro, se o resto da divisão for zero.
Divisores de um Nº Natural Um número é divisível por outro, se o resto da divisão for zero. Por exemplo, 24 é divisível por 6, porque o resto da divisão é zero. Já o mesmo 24 não é divisível por 9, porque deixa resto 6.

10 Divisores de um Nº Natural
Os DIVISORES de um número natural X são todos os números que divide X, sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12 (a divisão de 12 por esses números não deixam restos). Representamos o conjunto dos divisores de 12 por D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

11 Divisores de um Nº Natural Como encontrar os divisores de um número?
Quais os divisores de 96? Quais os divisores de 144?

12 MDC Quais os divisores de 96? Quais os divisores de 144?
O máximo divisor comum (MDC) é o maior de todos os divisores comuns dos números dados. Quais os divisores de 96? Quais os divisores de 144?

13 Múltiplos de um Nº Natural
Os múltiplos de um número X são os resultados das multiplicações desse X por 0, por 1, por 2, por 3 e assim sucessivamente. Representamos por M(X) o conjunto dos múltiplos de X. Vejamos um exemplo: os múltiplos de 7 são 0 (0∙7), 7 (1∙7), 14(2∙7), 21 (3∙7), (4∙7), 35 (5∙7) e assim por diante. Isto é, M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42,...}.

14 ⇒ M(5) = { , , , , , , ....} Múltiplos de um Nº Natural
Como encontrar os múltiplos de um número? Quais são os múltiplos de 5? ⇒ M(5) = { , , , , , , ....} Você percebeu algo particular nos múltiplos de 5? Eles terminam em que? Conclusão: Todo múltiplo de 5 termina em ___ ou em ___.

15 E os múltiplos de 2: O que eles tem em particular?
São números __________. E os múltiplos de 3: O que acontece com a soma dos dígitos? Conclusão: Um número é múltiplo de 3 se a soma dos dígitos ____________ _________________________.

16 Você lembra como decompor o número 6 em fatores primos? 6 = __ ∙ __.
E quando um número é múltiplo de 10? Quando termina em ____. Você lembra como decompor o número 6 em fatores primos? 6 = __ ∙ __. Portanto, pra ser múltiplo de 6 tem que: Ser múltiplo de __ (ou seja, ser _____) e ser múltiplo de ___ (ou seja, a soma do dígitos __________________).

17 CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Esses detalhes que conhecemos acima, nos permite descobrir de quem um número é múltiplo ou por quem ele é divisível, chamamos isso de CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

18 Múltiplos de um Nº Natural
Basta multiplicar o número por 0, por 1, por 2, por 3 e assim sucessivamente. Quais são os múltiplos de 6? Quais são os múltiplos de 10?

19 MMC Quais os múltiplos de 6? Quais os múltiplos de 10?
O mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor múltiplo (maior que zero) comum aos números. Quais os múltiplos de 6? Quais os múltiplos de 10?

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26 EM BREVE: Resolução dos Desafios no Blog: pensemaisfacil.wordpress.com