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M ÉTODOS PARA O ESTUDO DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS Método de Lagrange Método de Euler.

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1 M ÉTODOS PARA O ESTUDO DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS Método de Lagrange Método de Euler

2 M ÉTODO DE L AGRANGE Descreve o movimento de cada partícula acompanhando-a em sua trajetória real; Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas; Para a engenharia, normalmente não interessa o comportamento individual da partícula e sim o comportamento do conjunto de partículas no processo de escoamento.

3 Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por este local; Método preferencial para estudar o movimento dos fluidos: praticidade. M ÉTODO DE E ULER

4 V OLUME DE C ONTROLE Volume de controle é uma região arbitrária e imaginária, no espaço, através do qual o fluido escoa.

5 Vazão em Volume Vazão é a quantidade em volume de fluido que atravessa uma dada seção do escoamento, por unidade de tempo. C ONCEITOS B ÁSICOS DE V AZÃO

6 Vazão em Massa Vazão em massa é a quantidade em massa do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.. C ONCEITOS B ÁSICOS DE V AZÃO

7 Vazão em Peso Vazão em peso é a quantidade de peso do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo..

8 C LASSIFICAÇÃO BÁSICA DOS CONDUTOS Condutos Forçados: São aqueles onde o fluido apresenta um contato total com suas paredes internas. A figura mostra um dos exemplos mais comuns de conduto forçado, que é o de seção transversal circular.

9 Condutos Livres São aqueles onde o fluido apresenta contato parcial com suas paredes internas. Neste tipo de conduto observa-se sempre uma superfície livre, onde o fluido está em contato com o ar atmosférico; Os condutos livres são geralmente denominados de canais, os quais podem ser abertos ou fechados. C LASSIFICAÇÃO BÁSICA DOS CONDUTOS

10 Condutos Livres C LASSIFICAÇÃO BÁSICA DOS CONDUTOS

11 É a equação que mostra a conservação da massa de líquido no conduto, ao longo de todo o escoamento; Pela condição de escoamento em regime permanente, podemos afirmar que entre as seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, nem falta de massa: m1 = m2 = m = cte E QUAÇÃO DA C ONTINUIDADE

12 ρ = Δm/V Δm=ρ.V V = A.Δl Q= Δm/Δt = ρ.V/ Δt = ρ. A.Δl /Δt = ρ.A.v

13 E QUAÇÃO DA C ONTINUIDADE Dadas duas seções do escoamento:

14 E QUAÇÃO DA C ONTINUIDADE ρAv = constante Se ρ é constante (não há variação de massa): A 1 V 1 = A 2 V 2

15 E QUAÇÃO DA C ONTINUIDADE Q = A 1 v 1 = A 2 v 2 = constante A equação da continuidade estabelece que: O volume total de um fluido incompressível (fluido que mantém constante a densidade apesar das variações na pressão e na temperatura) que entra em um tubo, será igual aquele que está saindo do tubo; A vazão medida num ponto ao longo do tubo será igual a vazão num outro ponto ao longo do tubo, apesar da área da seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente.

16 Isto equivale a dizer que: No escoamento de fluidos incompressíveis em regime permanente, a vazão em volume, ou simplesmente a vazão, que passa através de qualquer seção do tubo de corrente é constante. De forma genérica: Q = A 1 v 1 = A 2 v 2 = constante Q=AU, onde U = velocidade média E QUAÇÃO DA C ONTINUIDADE

17 P ROBLEMA R ESOLVIDO 1 Uma mangueira de diâmetro de 2 cm é usada para encher um balde de 20 litros. a) Se o balde enche em 1 minuto, qual é a velocidade em cm/s com que a água passa pela mangueira? b) Uma criança aperta a saída desta mangueira até ela ficar com um diâmetro de 5 mm e acerta o vizinho com água. Qual é a velocidade em cm/s com que a água sai da mangueira?

18 Solução: a) A área da seção transversal da mangueira será dada por A 1 = πr 2 = π(2 cm /2) 2 = π cm 2. Para encontrar a velocidade, v 1, usamos Taxa de escoamento (vazão)= A 1 v 1 = 20 L / min = 20 x 10 3 cm 3 / 60s v 1 = (20 x 10 3 cm 3 / 60 s) / (π cm 2 ) = 106,1 cm/s. b) A taxa de escoamento ( A 1 v 1 ) da água que se aproxima da abertura da mangueira deve ser igual a taxa de escoamento que deixa a mangueira ( A 2 v 2 ). Isto resulta em: v 2 = A 1 v 1 / A 2 = (π. 106,1) / (π. (0,5/2) 2 ) = 1698 cm/s. P ROBLEMA R ESOLVIDO 1

19 Num sistema de drenagem, uma pipa de 25 cm de diâmetro interno drena para outra pipa conectada de 22 cm de diâmetro interno. Se a velocidade da água através da pipa maior é 5 cm/s, determine a velocidade média em cm/s na pipa menor. P ROBLEMA R ESOLVIDO 2

20 Solução: Usando a equação da continuidade temos: A1 v1 = A2 v2 π(12,5 cm) 2 (5 cm/s) = π(11,0 cm) 2 (v2) Resolvendo para v2: v2 = 6,42 cm/s. P ROBLEMA R ESOLVIDO 2

21 Assumindo o fluxo de um fluido incompressível como o sangue, se a velocidade medida num ponto dentro de um vaso sanguíneo é 40 m/s, qual é a velocidade em cm/s num segundo ponto que tem um terço do raio original? P ROBLEMA R ESOLVIDO 3

22 Solução: Este problema pode ser resolvido usando a equação da continuidade: ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2 onde: ρ é a densidade do sangue A é a área da seção transversal, v é a velocidade e os subscritos 1 e 2 referem-se às localizações dentro do vaso. Desde que o fluxo sangüíneo é incompressível, temos: ρ 1 = ρ 2 v1 = 40 cm/s A 1 =πr 1 2 A 2 = πr 2 2 r 2 =r 1 /3, A 2 = π(r 1 /3) 2 = (π r 1 2) /9 ou A 2 =A 1 /9 A 1 /A 2 = 9 Resolvendo: v2 = (A 1 v 1 )/A 2 = 9 v 1 = 9 x 40 cm/s = 360 cm/s P ROBLEMA R ESOLVIDO 3


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