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Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com
Aula 13 Teste da Integral e Estimativa de Somas
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Séries Teorema. Se a série for convergente, então
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Séries Prova: Seja Então é Convergente Note que quando assim Portanto,
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Observação A recíproca do Teorema não é verdadeira. Se não podemos concluir que seja convergente. Exemplo. A série harmônica quando Mas, sabemos que a série diverge.
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Teste para Divergência
Se não existir ou se Então a série é divergente.
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Exemplo 8 Mostre que a série diverge. Solução: Assim, a série diverge pelo Teste para Divergência.
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Propriedades Se e forem convergentes, então também o serão as séries ( é cte.), e e
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Exemplo 9 Calcule a soma da série
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Exemplo 9 Solução:
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Observação Um número finito de termos não afeta a convergência ou divergência de uma série. Por exemplo: suponha que é convergente. Como Segue-se que a série inteira é convergente.
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Observação Similarmente, se soubermos que a série converge, então a série completa também é convergente.
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Integrais Impróprias Definição (a) Se é contínua em (b) Se é contínua em
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Integrais Impróprias (c) Se é contínua em onde é qualquer número real. Em todos os casos, se o limite é finito, dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe, dizemos que a integral imprópria diverge.
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Exemplo 1 Determine se a integral converge ou diverge. Solução: Portanto, a integral diverge.
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Exemplo 2 Para que valores de a integral é convergente? Solução: Sabemos do Exemplo 1 que se a integral é divergente. Desta forma, vamos supor Então,
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Exemplo 2
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Exemplo 2 Se então assim como e Portanto, se e desta forma a integral converge.
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Exemplo 2 Mas se então e assim quando e a integral diverge. Resumindo, temos: é convergente se e divergente se
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Teste da Integral Começamos investigando as séries cujos termos são os recíprocos dos quadrados de inteiros positivos: Não existe uma fórmula simples para a soma Sn dos n primeiros termos.
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Teste da Integral
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Teste da Integral Se excluirmos o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será menor que a área sob a curva y = 1/x2 para x ≥ 1, que é o valor da integral:
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Teste da Integral Então, as somas parciais são limitadas.
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O Teste da Integral Suponha que seja contínua, positiva e decrescente em e seja Então, a série é convergente a integral imprópria é convergente. Em outras palavras: Se for convergente, então é convergente.
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O Teste da Integral (ii) Se for divergente, então é divergente. Obs.: Quando você usar o teste da integral lembre-se que não é necessário começar a série ou a integral em Por exemplo, testando a série usamos
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Observação Também não é necessário que seja sempre decrescente. O que é importante é que seja decrescente a partir de certo ponto, isto é, decrescente para maior que algum inteiro
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Exemplo 3 Teste a série quanto à convergência ou divergência. Solução: A função é contínua, positiva e decrescente em e assim podemos usar o Teste da Integral:
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Exemplo 3 Então, a integral é convergente e, dessa forma pelo Teste da integral, a série é convergente.
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Função arco tangente
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Exemplo 4 Para que valores de a série é convergente? Solução: Se então Em qualquer dos dois casos, e, assim, a série dada diverge pelo Teste para Divergência.
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Exemplo 4 Se então a função é claramente contínua, positiva e decrescente em Já vimos que é convergente se e divergente se
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Exemplo 4 Segue do Teste da Integral que a série converge se e diverge se (Para esta é a série harmônica). A série é chamada -série.
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p-série A -série é convergente se e divergente se
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Exemplo 5 A série é convergente porque ela é uma -série com
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Exemplo 6 (b) A série é divergente porque ela é uma -série com
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Observação Não devemos inferir a partir do Teste da Integral que a soma da série é igual ao valor da integral. De fato, (matemático suíço Leonhard Euler ( )), enquanto que
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Observação Portanto, em geral,
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Exemplo 7 Determine se a série converge ou diverge. Solução: A função é positiva e contínua para porque a função logaritmo é contínua. Mas não é obvio se é decrescente ou não; assim calculamos a sua derivada:
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Exemplo 7 Então, quando isto é, Segue que é decrescente quando e podemos aplicar o Teste da Integral
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Exemplo 7 Como essa integral imprópria é divergente, a série também é divergente pelo Teste da Integral.
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Estimativa do Resto para o Teste da Integral
Suponha que onde é uma função contínua, positiva, decrescente para e que é convergente. Se o resto é dado por então
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Exemplo 8 Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos. Estime o erro envolvido nessa aproximação. Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?
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Solução (a)
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Solução De acordo com a estimativa do resto, temos Por conseguinte, o tamanho do erro é no máximo
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Solução (b) A precisão de significa que temos de encontrar um valor de tal que Como queremos
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Solução Resolvendo essa desigualdade, obtemos ou Precisamos de 32 termos para garantir precisão de
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Observação Se somarmos em cada lado da desigualdade abaixo obteremos porque
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Exemplo 9 Use a fórmula para estimar a soma da série Solução: Do exemplo 8, sabemos que
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Exemplo 9 De modo que Usando obteremos Se aproximarmos pelo ponto médio do intervalo, então o erro é no máximo metade do comprimento do intervalo.
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Exemplo 9 Dessa forma, com erro
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Exemplo 9 Se compararmos o Exemplo 8 com o Exemplo 9, veremos que a estimativa melhorada na fórmula pode ser muito melhor que a estimativa Para fazer um erro menor que tivemos que usar 32 termos no Exemplo 8, mas apenas dez termos no Exemplo 9.
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