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Prof. Roberto Cristóvão Aula 13 Teste da Integral e Estimativa de Somas.

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1 Prof. Roberto Cristóvão Aula 13 Teste da Integral e Estimativa de Somas

2 Séries Teorema. Se a série for convergente, então

3 Séries Prova: Seja Então é Convergente Note que quando assim Portanto,

4 Observação A recíproca do Teorema não é verdadeira. Se não podemos concluir que seja convergente. Exemplo. A série harmônica quando Mas, sabemos que a série diverge.

5 Teste para Divergência Se não existir ou se Então a série é divergente.

6 Exemplo 8 Mostre que a série diverge. Solução: Assim, a série diverge pelo Teste para Divergência.

7 Propriedades Se e forem convergentes, então também o serão as séries ( é cte.), e e

8 Exemplo 9 Calcule a soma da série

9 Exemplo 9 Solução:

10 Observação Um número finito de termos não afeta a convergência ou divergência de uma série. Por exemplo: suponha que é convergente. Como Segue-se que a série inteira é convergente.

11 Observação Similarmente, se soubermos que a série converge, então a série completa também é convergente.

12 Integrais Impróprias Definição (a) Se é contínua em (b) Se é contínua em

13 Integrais Impróprias (c) Se é contínua em onde é qualquer número real. Em todos os casos, se o limite é finito, dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe, dizemos que a integral imprópria diverge.

14 Exemplo 1 Determine se a integral converge ou diverge. Solução: Portanto, a integral diverge.

15 Exemplo 2 Para que valores de a integral é convergente? Solução: Sabemos do Exemplo 1 que se a integral é divergente. Desta forma, vamos supor Então,

16 Exemplo 2

17 Se então assim como e Portanto, se e desta forma a integral converge.

18 Exemplo 2 Mas se então e assim quando e a integral diverge. Resumindo, temos: é convergente se e divergente se

19 Teste da Integral Começamos investigando as séries cujos termos são os recíprocos dos quadrados de inteiros positivos: Não existe uma fórmula simples para a soma S n dos n primeiros termos.

20 Teste da Integral

21 Se excluirmos o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será menor que a área sob a curva y = 1/x 2 para x 1, que é o valor da integral:

22 Teste da Integral Então, as somas parciais são limitadas.

23 O Teste da Integral Suponha que seja contínua, positiva e decrescente em e seja Então, a série é convergente a integral imprópria é convergente. Em outras palavras: (i)Se for convergente, então é convergente.

24 O Teste da Integral (ii) Se for divergente, então é divergente. Obs.: Quando você usar o teste da integral lembre-se que não é necessário começar a série ou a integral em Por exemplo, testando a série usamos

25 Observação Também não é necessário que seja sempre decrescente. O que é importante é que seja decrescente a partir de certo ponto, isto é, decrescente para maior que algum inteiro

26 Exemplo 3 Teste a série quanto à convergência ou divergência. Solução: A função é contínua, positiva e decrescente em e assim podemos usar o Teste da Integral:

27 Exemplo 3 Então, a integral é convergente e, dessa forma pelo Teste da integral, a série é convergente.

28 Função arco tangente

29 Exemplo 4 Para que valores de a série é convergente? Solução: Se então Em qualquer dos dois casos, e, assim, a série dada diverge pelo Teste para Divergência.

30 Exemplo 4 Se então a função é claramente contínua, positiva e decrescente em Já vimos que é convergente se e divergente se

31 Exemplo 4 Segue do Teste da Integral que a série converge se e diverge se (Para esta é a série harmônica). A série é chamada -série.

32 p-série A -série é convergente se e divergente se

33 Exemplo 5 (a)A série é convergente porque ela é uma -série com

34 Exemplo 6 (b) A série é divergente porque ela é uma -série com

35 Observação Não devemos inferir a partir do Teste da Integral que a soma da série é igual ao valor da integral. De fato, (matemático suíço Leonhard Euler ( )), enquanto que

36 Observação Portanto, em geral,

37 Exemplo 7 Determine se a série converge ou diverge. Solução: A função é positiva e contínua para porque a função logaritmo é contínua. Mas não é obvio se é decrescente ou não; assim calculamos a sua derivada:

38 Exemplo 7 Então, quando isto é, Segue que é decrescente quando e podemos aplicar o Teste da Integral

39 Exemplo 7 Como essa integral imprópria é divergente, a série também é divergente pelo Teste da Integral.

40 Estimativa do Resto para o Teste da Integral Suponha que onde é uma função contínua, positiva, decrescente para e que é convergente. Se o resto é dado por então

41 Exemplo 8 (a)Aproxime a soma da série usando a soma dos dez primeiros termos. Estime o erro envolvido nessa aproximação. (b)Quantos termos são necessários para garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?

42 Solução (a)

43 Solução De acordo com a estimativa do resto, temos Por conseguinte, o tamanho do erro é no máximo

44 Solução (b) A precisão de significa que temos de encontrar um valor de tal que Como queremos

45 Solução Resolvendo essa desigualdade, obtemos ou Precisamos de 32 termos para garantir precisão de

46 Observação Se somarmos em cada lado da desigualdade abaixo obteremos porque

47 Exemplo 9 Use a fórmula para estimar a soma da série Solução: Do exemplo 8, sabemos que

48 Exemplo 9 De modo que Usando obteremos Se aproximarmos pelo ponto médio do intervalo, então o erro é no máximo metade do comprimento do intervalo.

49 Exemplo 9 Dessa forma, com erro

50 Exemplo 9 Se compararmos o Exemplo 8 com o Exemplo 9, veremos que a estimativa melhorada na fórmula pode ser muito melhor que a estimativa Para fazer um erro menor que tivemos que usar 32 termos no Exemplo 8, mas apenas dez termos no Exemplo 9.

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