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I- INTRODUÇÃO.

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Apresentação em tema: "I- INTRODUÇÃO."— Transcrição da apresentação:

1 I- INTRODUÇÃO

2 I- INTRODUÇÃO Há quem defenda que a teoria das probabilidades, ligada ao jogo, é anterior a Cristo. Gregos e Romanos, que sendo viciados dos dados, preocupavam-se com a "forma" de ganhar. O imperador Claudius (sec I) escreveu um livro : "Como ganhar nos dados". Mas o conceito matemático é mais recente e nasce com a correspondência trocada entre Blaise Pascal e Fermat acerca da possibilidade do ganho nos jogos. Borel  ( ) e Henri Lebesgue( ) foram responsáveis pelo seu arranque sistemático.

3 Inicialmente o conceito de probabilidade era de caráter frequentista, isto é, associando a probabilidade de um acontecimento à frequência com ele se repetia, quando observadas um grande número de experiências. Não é difícil dar conta que tal conceito pecava for falta de rigor. Basta pensar no quão relativo é dizer-se :"um grande número de experiências". Em 1933 o russo Kolmogorov construiu uma axiomática para o cálculo de probabilidades convertendo-a numa teoria matemática e transformando-a na ciência que hoje é.

4 Os objetivos deste curso são:
1 - Apresentar uma introdução geral à probabilidade e estatística usando os conhecimentos prévios de cálculo e análise de sinais procurando relacionar as definições e conclusões dos experimentos científicos e de engenharia com situações reais, estimulando o uso da intuição, da observação e da dedução para extrair conclusões válidas e tomar decisões razoáveis com base na análise de dados. 2 - Introduzir o conceito de processos estocásticos para modelar fenômenos em função do tempo, apresentando diversas aplicações.

5 MODELOS PROBABILÍSTICOS
MODELOS DETERMINÍSTICOS MODELOS PROBABILÍSTICOS EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE PROCESSOS ESTOCÁTICOS 1. TRÁFEGO TELEFÔNICO QUAL DEVE SER O VALOR DE N PARA QUE, EM MÉDIA, 99,9% DAS CHAMADAS DE A PARA B NÃO DEIXEM DE SER ATENDIDAS ? CENTRAL A B N CIRCUITOS M TERMINAIS

6 em diferentes instantes de tempo um determinado serviço.
SITUAÇÃO: Uma população de usuários solicita em diferentes instantes de tempo um determinado serviço. MODELO: tráfego de entrada, fila posto de serviço, etc. Teoria de filas 3- SÉRIE TEMPORAIS Previsão de valores futuros base- ados no valor presente e passados de um conjunto de variáveis. Onde se aplica: Vazão de um rio, demanda de energia elétrica, inflação, etc 2- RUÍDO TÉRMICO

7 4- DESVANECIMENTO DE SINAIS RÁDIOELÉTRICOS
DESVANECIMENTO DOS SINAIS RADIOELÉTRICOS ENLACE RADIOELÉTRICO 6- OUTRAS APLICAÇÕES Modelamento de canais de propagação para comunicação móveis e fixas. Qualidade de serviço em redes de telecomunicações. Confiabilidade de sistemas Identificação, estimação etc 5- SISTEMA DE COMUNICAÇÃO DIGITAL

8 MODELO PROBABILÍSTICO 1. ESPAÇO DE AMOSTRAS 2. ÁLGEBRA DE EVENTOS
TEORIA DAS PROBABILIDADES MODELO PROBABILÍSTICO 1. ESPAÇO DE AMOSTRAS 2. ÁLGEBRA DE EVENTOS 3. MEDIDA DE PROBABILIDADE EXPERIÊNCIA: ABRIR UM LIVRO E OBSERVAR A PRIMEIRA LETRA IMPRESSA. S = { a, b, c, , z } observar se é vogal ou consoante S = { vogal, consoante } CONTAR O NÚMERO DE CHAMADAS QUE CHEGAM A UMA CENTRAL TELEÔNICA POR MINUTO NO HORÁRIODE DE 10:00 AS 12:00 H. S = { 100, 97, 94, ... } 1. ESPAÇO DE AMOSTRAS É O CONJUNTO FORMADO POR TODOS OS RESULTADOS POSSÍVEIS DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO. RELAÇÃO ENTRE O FENÔMENO FÍSICO E O MODELO MATEMÁTICO

9 2. ÁLGEBRA DE EVENTOS EVENTO: SUBCONJUNTO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS QUE SATISFAZ UMA DADA CONDIÇÃO A = { s : uma dada condição c é satisfeita } S = { s1 , s2 , s , sK } AS OPERAÇÕES COM EVENTOS OBEDECEM AS MESMAS REGRAS DAS OPERAÇÕES COM CONJUNTOS. 1. IGUALDADE A = B 2. INCLUSÃO A  B, B  A 3. UNIÃO A  B 4. INTERSEÇÃO A  B 5. COMPLEMENTO Ā 6. DIFERENÇA A - B 7. EVENTO NULO  8. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS OU DISJUNTOS

10 PROPRIEDADES 1. COMUTATIVA: A  B = B  A e A  B = B  A
2. ASSOCIATIVA : A  ( B  C) = (A  B)  C e (A  B)  C = A  (B  C) 3.DISTRIBUTIVA: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) e A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 4. REGRA DE DEMORGAN : (A  B)C = AC  BC e (A  B) C = AC  BC CLASSE DE EVENTOS A CLASSE OU COLEÇÃO  DE EVENTOS É UMA CLASSE QUANDO SATIZFAZ: SE A e B SÃO EVENTOS, ENTÃO 1. SE A   Ā   PORTANTO  É FECHADA RELATIVAMENTE ÀS OPERAÇÕES DE COMPLEMENTAÇÃO E UNIÃO. PROPRIEDADES: SE    S  

11 S = { f1 , f2 , f 3 , f4 , f5 , f 6 } ESPAÇO DE AMOSTRAS
-ALGEBRA DE EVENTOS UMA ÁLGEBRA DE EVENTOS  É UMA -ÁLGEBRA QUANDO SATISFAZ A SEGUINTE CONDIÇÃO: DADA UMA CLASSE QUALQUER DE EVENTOS C, HÁ PELO MENOS UMA -ÁLGEBRA CONTENDO C, QUE É CONSTITUÍDA POR TODOS OS POSSÍVEIS SUBCONJUNTOS DE S. É POSSÍVEL MOSTRAR QUE TODAS AS -ÁLGEBRAS CONTENDO C É TAMBÉM UMA -ÁLGEBRA. DEFINIÇÃO A MENOR -ÁLGEBRA QUE CONTÉM TODOS OS EVENTOS DE UMA DADA CLASSE C É REPRESENTADA POR A(C), QUE É UMA -ÁLGEBRA GERADA POR C. EXEMPLO: LANÇAMENTO DE UM DADO. S = { f1 , f2 , f 3 , f4 , f5 , f 6 } ESPAÇO DE AMOSTRAS SEJA C A COLEÇÃO DE EVENTOS C = [ { f1 } , { f2 , f 4 , f6 } , { f1 , f 3 , f 5 } , S ,  ]

12 ESTA COLEÇÃO NÃO CONSTITUI UMA ALGEBRA, POIS VIOLA A DEFINIÇÃO
{ f1 }  { f2 , f4 , f6 } = { f1 , f2 , f4 , f6 }  C { f1 }c = { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 }  C ENTÃO: [ , S , { f1 , f3 , f5 }, { f2 , f4 , f6 } , { f1 } , { f1 , f2 , f4 , f6 } , { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } , { f3 , f5 } ] É FECHADA EM RELAÇÃO À COMPLEMENTAÇÃO E À UNIÃO. PORTANTO É UMA ÁLGEBRA. NA REALIDADE, ESTA COLEÇÃO É A MENOR -ÁLGEBRA A(C) DEFINIDA POR C POIS NENHUM DOS TRÊS ELEMENTOS ACRESCENTADOS PODERIA SER RETIRADO SEM VIOLAR A DEFINIÇÃO DE ÁLGEBRA. OBSERVA-SE QUE SE A COLEÇÃO CONTÉM UM NÚMERO FINITO DE ELEMENTOS E É UMA ÁLGEBRA ENTÃO SERÁ TRIVIALMENTE UMA -ÁLGEBRA

13 EXEMPLO: REDE DE COMUNICAÇÃO COM 4 TERMINAIS ( a, b, c, d ) E
5 TRONCOS (1, 2, 3, 4, 5 ) E UMA CHAVE QUE ASSUME 3 POSIÇÕES ( I, II, III) b 4 c 5 d I II III 1 2 3 a A EXPERIÊNCIA CONSISTE EM OBSERVAR A SITUAÇÃO DA REDE EM UM DADO INSTANTE, VERIFICANDO A POSIÇÃO DA CHAVE E OS ESTADOS DOS TRONCOS. 1. REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS CADA TRONCO PODE ESTAR EM: “OPERAÇÃO” OU “NÃO OPERAÇÃO” SEJA i UM PONTO GENÉRICO DE S , ENTÃO: i = { C, T1 , T2 , T3, , T4 ,T5 } ; C  { I , II , III }; Ti ={ 0 , 1 } , i = 1, 2, 3, 4, 5. NÚMERO TOTAL DE PONTOS EM S : N = 3 x = 96

14 2.1. A = {  : a e c podem comunicar-se }
2. DETERMINAR O NÚMERO DE PONTOS AMOSTRAS PARA OS EVENTOS A = {  : a e c podem comunicar-se } A1 = { I , 1 , x , x , 1 , x }; A2 = { II , x , 1 , x , x , x }; A3 = { III , x , x , 1 , x , 1 }; A = A1  A2  A N = = ( EVENTOS DISJUNTOS ) B = {  : b e c podem comunicar-se } B = { x , x , x , x , 1 , x }; N = 3 x = 48 C = {  : a chave está na posição I } C = { I , x , x , x , x , x }; N = = 32 b 4 c 5 d I II III 1 2 3 a

15 3. MEDIDA DE PROBABILIDADE
A CADA EVENTO A ASSOCIA-SE UM NÚNERO P(A) CHAMADO DE PROBABILI- DADE DO EVENTO A. ESTE NÚMERO É ESCOLHIDO TAL QUE AS SEGUINTES CONDIÇÕES SÃO SATISFEITAS : AXIOMAS DA TEORIA DA PROBABILIDADE 1. P(A) > 0 ; P( S ) = 1 ; SE A  B =  , ENTÃO P(A+B ) = P(A) + P(B) PROPRIEDADES 1. SE Ai  Bj =  ; i, j = 1, 2, 3, , n , i  j , 2. P( Ā ) = 1 - P( A ) 3. P(  ) = 0 , ENTÃO P( S ) = 1 4. P( A ) < 1 5. P( A  B) = P( A ) + P( B ) - P( AB )

16 Probabilidades de eventos
) ( 1 A P 1) Evento complementar: ) ( B A P 2) Propriedade da soma: ) ( B P A 3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos: ) / ( A B P 4) Propriedade do produto: ) ( B P A 5) Propriedade do produto para eventos independentes

17 Exemplo Lançar um dado e observar a face voltada para cima. Suponha que o dado seja perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial. Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6

18 Exemplo Seja um sistema formado por 3 componentes, ligados conforme o esquema abaixo. Considerando que a probabilidade de cada componente funcionar é de 0,9, qual a probabilidade do sistema funcionar? (O sistema funciona se houver uma ligação entre A e B. Admita independência entre os componentes) A B C1 C2 C3

19 Exemplo C2 C1 A B P(Ci) = 0,9, i = 1, 2, 3 C3
P(sistema funcionar) = P{(C1 C2)  (C1 C3)}= = P(C1 C2) + P(C1 C3)  P(C1 C2  C3) = = (0,9)(0,9) + (0,9)(0,9)  (0,9)(0,9) (0,9) = = 0,891

20 Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.O espaço amostral é denotado por S. Elementos ou pontos no espaço amostral são os resultados individuais de um experimento. O conjunto de elementos do espaço amostral é denotado por Elementos são mutuamente exclusivos ou disjuntos. O número de pontos no espaço amostral pode ser: finito quando o espaço amostral é discreto e finito infinito contável quando o espaço amostral é discreto e infinito infinito incontável quando o espaço amostral é contínuo evento é um subconjunto de S. Será denotado por letras maiúsculas. Eventualmente serão consideradas operações de união, intersecção e complemento de eventos. ocorrência do evento A se dá quando ocorre algum ponto em A.

21 Probabilidade Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos aleatórios, mostrando como poderão ocorrer os fatos. Base teórica para a análise inferencial.

22 Probabilidade Intuitiva
Este resultado pode ser estendido para uma interpretação estatística de probabilidade como sendo a frequência relativa de ocorrência do evento.

23 Probabilidade Axiomática
As noções intuitivas de probabilidade permitem tratar problemas relativamente simples, em especial quando tem- se igualdade de condições para todos os eventos. No entanto, freqüentemente deseja-se tratar situações onde alguns eventos não são "honestos". Adicionalmente, em alguns casos não se pode enumerar todos os possíveis resultados de um experimento. A formulação axiomática da teoria da probabilidade simplifica o tratamento nestes casos.

24 Axiomas da Probabilidade
Para qualquer evento A, associa-se um número P(A), chamado de probabilidade do evento A. Este número satisfaz as seguintes três condições denominadas de axiomas da probabilidade. Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é igual a soma de suas probabilidades)

25 universo do estudo (população)
Probabilidade universo do estudo (população) Hipóteses, conjeturas, ... Resultados ou dados observados O raciocínio dedutivo da probabilidade

26 Exemplo de um experimento aleatório
Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher. Resultados possíveis: homem, mulher Espaço amostral = {homem, mulher}

27 Probabilidade de um resultado
Qual a probabilidade de homem e de mulher? P(homem) = 0,5 P(mulher) = 0,5 A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. 50% homens 50% mulheres

28 Modelo de probabilidades
POPULAÇÃO Opinião a respeito do governo AMOSTRA: 1 pessoa observada ao acaso Resultado Probab. bom/ótimo 0,20 regular ,30 ruim/péssimo ,50 Modelo probabilístico

29 Evento Evento = conjunto de resultados possíveis
Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6 Eventos: A = número par, B = número menor que 3 A = {2, 4, 6} B = {1, 2} P(A) = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3

30 Operações com eventos A não A

31 Operações com eventos A B A  B

32 Revisão de Análise Combinatória A Análise combinatória estuda os diversos procedimentos que possibilitam a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos com p< m, isto é, p será a taxa do agrupamento. No fundo com o uso da Análise combinatória teremos métodos que permitem contar, de forma indireta, os elementos desses conjuntos. Vamos analisar alguns desses agrupamentos:

33 Fatorial E por definição : Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
 Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) , como sendo n! = n .(n-1) . (n-2) para n  2. E por definição : Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Para n = 1 , teremos : 1! = 1 Exemplos: 7! = = 2940  3! = = 6 Muitas vezes utilizamos uma forma mais sintética para nos facilitar os cálculos: 11! = !  6! = 6.5.4!

34 Princípio fundamental da contagem - PFC
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por T = k1. k2 . k kn

35 Permutações Permutações de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que se distinguem uns dos outros  pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos 1,2,C são possíveis as seguintes permutações:12C, 1C2, 21C, 2C1, C12 e C21. O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é  Pn = n! no exemplo anterior 3!=3.2.1=6 Numa fila de 6 pessoas de quantas formas diferentes se podem organizar ? P6 = 6! = = 720

36 Arranjos Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k, teremos a seguinte fórmula:

37 Combinações Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. Exemplo:  No conjunto E= {a,b,c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd. c) combinações de taxa 4: abcd.

38 Representando o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) por Cn,k, teremos a seguinte fórmula: É fácil mostrar que

39 Exemplo:Um campeonato de atletismo consta de 10 provas diferentes cada equipe tem de concorrer a 7. De quantas formas pode uma equipe participar ? Solução:  Observe que a ordem de escolha das provas não altera a forma de concorrer. Portanto trata-se  de um problema de combinação de 10 elementos 7 a 7.  Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:  C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = ! / ! = 3003


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