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I- INTRODUÇÃO. Há quem defenda que a teoria das probabilidades, ligada ao jogo, é anterior a Cristo. Gregos e Romanos, que sendo viciados dos dados, preocupavam-se.

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1 I- INTRODUÇÃO

2 Há quem defenda que a teoria das probabilidades, ligada ao jogo, é anterior a Cristo. Gregos e Romanos, que sendo viciados dos dados, preocupavam-se com a "forma" de ganhar. O imperador Claudius (sec I) escreveu um livro : "Como ganhar nos dados". Mas o conceito matemático é mais recente e nasce com a correspondência trocada entre Blaise Pascal e Fermat acerca da possibilidade do ganho nos jogos. Borel ( ) e Henri Lebesgue( ) foram responsáveis pelo seu arranque sistemático. 2

3 Inicialmente o conceito de probabilidade era de caráter frequentista, isto é, associando a probabilidade de um acontecimento à frequência com ele se repetia, quando observadas um grande número de experiências. Não é difícil dar conta que tal conceito pecava for falta de rigor. Basta pensar no quão relativo é dizer- se :"um grande número de experiências". Em 1933 o russo Kolmogorov construiu uma axiomática para o cálculo de probabilidades convertendo-a numa teoria matemática e transformando-a na ciência que hoje é. 3

4 Os objetivos deste curso são: 1 - Apresentar uma introdução geral à probabilidade e estatística usando os conhecimentos prévios de cálculo e análise de sinais procurando relacionar as definições e conclusões dos experimentos científicos e de engenharia com situações reais, estimulando o uso da intuição, da observação e da dedução para extrair conclusões válidas e tomar decisões razoáveis com base na análise de dados. 2 - Introduzir o conceito de processos estocásticos para modelar fenômenos em função do tempo, apresentando diversas aplicações. 4

5 MODELOS DETERMINÍSTICOS MODELOS PROBABILÍSTICOS EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE PROCESSOS ESTOCÁTICOS 1. TRÁFEGO TELEFÔNICO QUAL DEVE SER O VALOR DE N PARA QUE, EM MÉDIA, 99,9% DAS CHAMADAS DE A PARA B NÃO DEIXEM DE SER ATENDIDAS ? CENTRAL A CENTRAL B N CIRCUITOS M TERMINAIS 5

6 SITUAÇÃO: U ma população de usuários solicita em diferentes instantes de tempo um determinado serviço. MODELO: tráfego de entrada, fila posto de serviço, etc. Teoria de filas 2- RUÍDO TÉRMICO 3- SÉRIE TEMPORAIS Previsão de valores futuros base- ados no valor presente e passados de um conjunto de variáveis. Onde se aplica: Vazão de um rio, demanda de energia elétrica, inflação, etc 6

7 5- SISTEMA DE COMUNICAÇÃO DIGITAL 4- DESVANECIMENTO DE SINAIS RÁDIOELÉTRICOS ENLACE RADIOELÉTRICO DESVANECIMENTO DOS SINAIS RADIOELÉTRICOS 6- OUTRAS APLICAÇÕES Modelamento de canais de propagação para comunicação móveis e fixas. Qualidade de serviço em redes de telecomunicações. Confiabilidade de sistemas Identificação, estimação etc 7

8 MODELO PROBABILÍSTICO 1. ESPAÇO DE AMOSTRAS 2. ÁLGEBRA DE EVENTOS 3. MEDIDA DE PROBABILIDADE 1. ESPAÇO DE AMOSTRAS EXPERIÊNCIA: ABRIR UM LIVRO E OBSERVAR A PRIMEIRA LETRA IMPRESSA. S = { a, b, c,..., z } observar se é vogal ou consoante S = { vogal, consoante } CONTAR O NÚMERO DE CHAMADAS QUE CHEGAM A UMA CENTRAL TELEÔNICA POR MINUTO NO HORÁRIODE DE 10:00 AS 12:00 H. S = { 100, 97, 94,... } TEORIA DAS PROBABILIDADES 1. ESPAÇO DE AMOSTRAS É O CONJUNTO FORMADO POR TODOS OS RESULTADOS POSSÍVEIS DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO. RELAÇÃO ENTRE O FENÔMENO FÍSICO E O MODELO MATEMÁTICO 8

9 2. ÁLGEBRA DE EVENTOS EVENTO: SUBCONJUNTO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS QUE SATISFAZ UMA DADA CONDIÇÃO A = { s : uma dada condição c é satisfeita } S = { s 1, s 2, s 3..., s K } AS OPERAÇÕES COM EVENTOS OBEDECEM AS MESMAS REGRAS DAS OPERAÇÕES COM CONJUNTOS. 1. IGUALDADE A = B 2. INCLUSÃO A  B, B  A 3. UNIÃO A  B 4. INTERSEÇÃO A  B 5. COMPLEMENTO Ā 6. DIFERENÇA A - B 7. EVENTO NULO  8. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS OU DISJUNTOS 9

10 PROPRIEDADES 1. COMUTATIVA: A  B = B  A e A  B = B  A 2. ASSOCIATIVA : A  ( B  C) = (A  B)  C e (A  B)  C = A  (B  C) 3.DISTRIBUTIVA: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) e A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 4. REGRA DE DEMORGAN : (A  B)C = AC  BC e (A  B) C = AC  BC CLASSE DE EVENTOS A CLASSE OU COLEÇÃO  DE EVENTOS É UMA CLASSE QUANDO SATIZFAZ: SE A e B SÃO EVENTOS, ENTÃO 1. SE A   Ā   2. PORTANTO  É FECHADA RELATIVAMENTE ÀS OPERAÇÕES DE COMPLEMENTAÇÃO E UNIÃO. PROPRIEDADES: SE    S   10

11  -ALGEBRA DE EVENTOS UMA ÁLGEBRA DE EVENTOS  É UMA  -ÁLGEBRA QUANDO SATISFAZ A SEGUINTE CONDIÇÃO: DADA UMA CLASSE QUALQUER DE EVENTOS C, HÁ PELO MENOS UMA  -ÁLGEBRA CONTENDO C, QUE É CONSTITUÍDA POR TODOS OS POSSÍVEIS SUBCONJUNTOS DE S. É POSSÍVEL MOSTRAR QUE TODAS AS  -ÁLGEBRAS CONTENDO C É TAMBÉM UMA  -ÁLGEBRA. DEFINIÇÃO A MENOR  -ÁLGEBRA QUE CONTÉM TODOS OS EVENTOS DE UMA DADA CLASSE C É REPRESENTADA POR A(C), QUE É UMA  -ÁLGEBRA GERADA POR C. EXEMPLO: LANÇAMENTO DE UM DADO. S = { f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 } ESPAÇO DE AMOSTRAS SEJA C A COLEÇÃO DE EVENTOS C = [ { f 1 }, { f 2, f 4, f 6 }, { f 1, f 3, f 5 }, S,  ] 11

12 ESTA COLEÇÃO NÃO CONSTITUI UMA ALGEBRA, POIS VIOLA A DEFINIÇÃO { f 1 }  { f 2, f 4, f 6 } = { f 1, f 2, f 4, f 6 }  C { f 1 }c = { f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 }  C ENTÃO: [ , S, { f 1, f 3, f 5 }, { f 2, f 4, f 6 }, { f 1 }, { f 1, f 2, f 4, f 6 }, { f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 }, { f 3, f 5 } ] É FECHADA EM RELAÇÃO À COMPLEMENTAÇÃO E À UNIÃO. PORTANTO É UMA ÁLGEBRA. NA REALIDADE, ESTA COLEÇÃO É A MENOR  -ÁLGEBRA A(C) DEFINIDA POR C POIS NENHUM DOS TRÊS ELEMENTOS ACRESCENTADOS PODERIA SER RETIRADO SEM VIOLAR A DEFINIÇÃO DE ÁLGEBRA. OBSERVA-SE QUE SE A COLEÇÃO CONTÉM UM NÚMERO FINITO DE ELEMENTOS E É UMA ÁLGEBRA ENTÃO SERÁ TRIVIALMENTE UMA  -ÁLGEBRA 12

13 EXEMPLO: REDE DE COMUNICAÇÃO COM 4 TERMINAIS ( a, b, c, d ) E 5 TRONCOS (1, 2, 3, 4, 5 ) E UMA CHAVE QUE ASSUME 3 POSIÇÕES ( I, II, III) b4c5db4c5d I II III a A EXPERIÊNCIA CONSISTE EM OBSERVAR A SITUAÇÃO DA REDE EM UM DADO INSTANTE, VERIFICANDO A POSIÇÃO DA CHAVE E OS ESTADOS DOS TRONCOS. 1. REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS CADA TRONCO PODE ESTAR EM: “OPERAÇÃO” OU “NÃO OPERAÇÃO” SEJA  i UM PONTO GENÉRICO DE S, ENTÃO:  i = { C, T 1, T 2, T 3,, T 4,T 5 } ; C  { I, II, III }; T i ={ 0, 1 }, i = 1, 2, 3, 4, 5. NÚMERO TOTAL DE PONTOS EM S : N = 3 x = 96 13

14 2. DETERMINAR O NÚMERO DE PONTOS AMOSTRAS PARA OS EVENTOS 2.1. A = {  : a e c podem comunicar-se } A 1 = { I, 1, x, x, 1, x }; A 2 = { II, x, 1, x, x, x }; A 3 = { III, x, x, 1, x, 1 }; A = A 1  A 2  A 3 N = = 32 ( EVENTOS DISJUNTOS ) 2.2. B = {  : b e c podem comunicar-se } B = { x, x, x, x, 1, x }; N = 3 x = C = {  : a chave está na posição I } C = { I, x, x, x, x, x }; N = = 32 b4c5db4c5d I II III a 14

15 3. MEDIDA DE PROBABILIDADE A CADA EVENTO A ASSOCIA-SE UM NÚNERO P(A) CHAMADO DE PROBABILI- DADE DO EVENTO A. ESTE NÚMERO É ESCOLHIDO TAL QUE AS SEGUINTES CONDIÇÕES SÃO SATISFEITAS : AXIOMAS DA TEORIA DA PROBABILIDADE 1. P(A) > 0 ; 2. P( S ) = 1 ; 3. SE A  B = , ENTÃO P(A+B ) = P(A) + P(B) PROPRIEDADES 1. SE A i  B j =  ; i, j = 1, 2, 3,..., n, i  j, 2. P( Ā ) = 1 - P( A ) 3. P(  ) = 0, ENTÃO P( S ) = 1 4. P( A ) < 1 5. P( A  B) = P( A ) + P( B ) - P( AB ) 15

16 Probabilidades de eventos )(1)(APAP  1) Evento complementar: )()()()(BAPBPAPBAP  2) Propriedade da soma: )()()(BPAPBAP  3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos: )/()()(ABPAPBAP  4) Propriedade do produto: )()()(BPAPBAP  5) Propriedade do produto para eventos independentes 16

17 Exemplo Lançar um dado e observar a face voltada para cima. Suponha que o dado seja perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial. Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: P(1) = P(2) =... = P(6) = 1/6 17

18 Exemplo Seja um sistema formado por 3 componentes, ligados conforme o esquema abaixo. Considerando que a probabilidade de cada componente funcionar é de 0,9, qual a probabilidade do sistema funcionar? (O sistema funciona se houver uma ligação entre A e B. Admita independência entre os componentes) A B C1C1 C2C2 C3C3 18

19 Exemplo A B C1C1 C2C2 C3C3 P(sistema funcionar) = P{(C 1  C 2 )  (C 1  C 3 )}= = P(C 1  C 2 ) + P(C 1  C 3 )  P(C 1  C 2  C 3 ) = = (0,9)(0,9) + (0,9)(0,9)  (0,9)(0,9) (0,9) = = 0,891 P(C i ) = 0,9, i = 1, 2, 3 19

20 Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.O espaço amostral é denotado por S. Elementos ou pontos no espaço amostral são os resultados individuais de um experimento. O conjunto de elementos do espaço amostral é denotado por Elementos são mutuamente exclusivos ou disjuntos. O número de pontos no espaço amostral pode ser: finito quando o espaço amostral é discreto e finito infinito contável quando o espaço amostral é discreto e infinito infinito incontável quando o espaço amostral é contínuo evento é um subconjunto de S. Será denotado por letras maiúsculas. Eventualmente serão consideradas operações de união, intersecção e complemento de eventos. ocorrência do evento A se dá quando ocorre algum ponto em A. 20

21 Probabilidade Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos aleatórios, mostrando como poderão ocorrer os fatos. Base teórica para a análise inferencial. 21

22 Probabilidade Intuitiva Este resultado pode ser estendido para uma interpretação estatística de probabilidade como sendo a frequência relativa de ocorrência do evento. 22

23 Probabilidade Axiomática As noções intuitivas de probabilidade permitem tratar problemas relativamente simples, em especial quando tem- se igualdade de condições para todos os eventos. No entanto, freqüentemente deseja-se tratar situações onde alguns eventos não são "honestos". Adicionalmente, em alguns casos não se pode enumerar todos os possíveis resultados de um experimento. A formulação axiomática da teoria da probabilidade simplifica o tratamento nestes casos. 23

24 Axiomas da Probabilidade Para qualquer evento A, associa-se um número P(A), chamado de probabilidade do evento A. Este número satisfaz as seguintes três condições denominadas de axiomas da probabilidade. Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é igual a soma de suas probabilidades) 24

25 Probabilidade universo do estudo (população) Hipóteses, conjeturas,... Resultados ou dados observados O raciocínio dedutivo da probabilidade 25

26 Exemplo de um experimento aleatório Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é homem ou mulher. Resultados possíveis: homem, mulher Espaço amostral = {homem, mulher} 26

27 Probabilidade de um resultado Qual a probabilidade de homem e de mulher? P(homem) = 0,5 P(mulher) = 0,5 A probabilidade é um número entre 0 e 1, sendo que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. 50% homens 50% mulheres 27

28 Modelo de probabilidades POPULAÇÃO Opinião a respeito do governo AMOSTRA: 1 pessoa observada ao acaso ResultadoProbab. bom/ótimo 0,20 regular 0,30 ruim/péssimo 0,50 Modelo probabilístico 28

29 Evento Evento = conjunto de resultados possíveis Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Probabilidades: P(1) = P(2) =... = P(6) = 1/6 Eventos:A = número par, B = número menor que 3 A = {2, 4, 6}B = {1, 2} P(A) = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3 29

30 Operações com eventos A  não A 30

31 Operações com eventos A  B A  B 31

32 Revisão de Análise Combinatória A Análise combinatória estuda os diversos procedimentos que possibilitam a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos com p< m, isto é, p será a taxa do agrupamento. No fundo com o uso da Análise combinatória teremos métodos que permitem contar, de forma indireta, os elementos desses conjuntos. Vamos analisar alguns desses agrupamentos: 32

33 Fatorial Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ), como sendo n! = n.(n-1). (n-2) para n  2. E por definição : Para n = 0, teremos : 0! = 1. Para n = 1, teremos : 1! = 1 Exemplos: 7! = = ! = = 6 Muitas vezes utilizamos uma forma mais sintética para nos facilitar os cálculos: 11! = ! 6! = 6.5.4! 33

34 Princípio fundamental da contagem - PFC Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k 1 maneiras diferentes, a segunda de k 2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por T = k 1. k 2. k k n 34

35 Permutações Permutações de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que se distinguem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos 1,2,C são possíveis as seguintes permutações:12C, 1C2, 21C, 2C1, C12 e C21. O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é P n = n! no exemplo anterior 3!=3.2.1=6 Numa fila de 6 pessoas de quantas formas diferentes se podem organizar ? P 6 = 6! = =

36 Arranjos Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de taxa k, a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por A n,k, teremos a seguinte fórmula: 36

37 Combinações Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. Exemplo: No conjunto E= {a,b,c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd. c) combinações de taxa 4: abcd. 37

38 Representando o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) por C n,k, teremos a seguinte fórmula: É fácil mostrar que 38

39 Exemplo:Um campeonato de atletismo consta de 10 provas diferentes cada equipe tem de concorrer a 7. De quantas formas pode uma equipe participar ? Solução: Observe que a ordem de escolha das provas não altera a forma de concorrer. Portanto trata-se de um problema de combinação de 10 elementos 7 a 7. Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: C 15,10 = 15! / [(15-10)!. 10!] = 15! / (5!. 10!) = ! / ! =


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