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Aula 07 Interpretação Geométrica da Derivada, definição e taxa de variação.

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Apresentação em tema: "Aula 07 Interpretação Geométrica da Derivada, definição e taxa de variação."— Transcrição da apresentação:

1 Aula 07 Interpretação Geométrica da Derivada, definição e taxa de variação

2 Tangente Se uma curva C tiver uma equação e quisermos encontrar a tangente a C em um ponto, consideramos um ponto, onde, e calculamos a inclinação da reta secante PQ: Então aproximamos Q de P, ao longo de C, fazendo tender a.

3 Graficamente

4

5 Definição A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que passa por P que tem inclinação Desde que esse limite exista.

6 Exemplo Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto.

7 Exemplo Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto ou

8 Definição Se então a inclinação da reta tangente pode ser escrita

9 Exemplo Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole no ponto.

10 Velocidade Suponha que é o deslocamento de um objeto a partir da origem no instante (função posição). No intervalo de tempo entre e a variação na posição será. A velocidade média é Velocidade Média

11 Velocidade A velocidade média coincide com a inclinação da reta secante. A velocidade instantânea é o limite dessa velocidades médias.

12 Exemplo Suponha que uma bola foi abandonada do posto de observação da torre, 450m acima do solo. a)Qual a velocidade da bola após 5 segundos? b)Com qual velocidade a bola chega ao solo?

13 Derivada A derivada de uma função em um número denotada, é se o limite existir. Também podemos escrever

14 Exemplo Encontre a derivada da função em um número.

15 Reta Tangente A reta tangente a em é a reta que passa em e tem inclinação. Exemplos Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto (3,-6).

16 Graficamente

17 Taxa de Variação Suponha que seja uma quantidade que depende de outra quantidade. Assim é uma função de, e escrevemos. Se variar de para então uma variação de (incremento de ) corresponde a uma variação de

18 Taxa de Variação O quociente de diferenças é denominado taxa média de variação de em relação a no intervalo e pode ser interpretado como a inclinação das secante.

19 Taxa de Variação O limite dessa taxas médias de variação é chamado taxa instantânea de variação de em relação a em, que é interpretada como a inclinação da tangente à curva em.

20 Taxa de Variação Taxa instantânea de variação A derivada é a taxa instantânea de variação de em relação a, quando.

21 Exemplos 1) Um fabricante produz peças de fazenda com largura fixa e o custo da produção de metros desse material é. a) Qual o significado da derivada ? Quais suas unidades? b) Em termos práticos, o que significa dizer que c) O que você acha que é maior, ou e

22 Exemplos 2) Seja a dívida pública bruta canadense no instante t. A seguinte tabela dá os valores aproximados dessa função, fornecendo as estimativas da dívida, em meados do ano, em bilhões de dólares, no período de 1980 a Interprete e estime os valores de

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