A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Ângulos (Diedros) entre Planos © antónio de campos, 2010.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Ângulos (Diedros) entre Planos © antónio de campos, 2010."— Transcrição da apresentação:

1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Ângulos (Diedros) entre Planos © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES O ângulo entre dois planos é o rectilíneo do menor diedro formado entre os dois planos, utilizando rectas dos planos e perpendiculares a recta de intersecção entre os planos. β α r s i θº A

3 1.º PROCESSO O 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 - Identificar a recta de intersecção i entre os dois planos α e β; 2 – Conduzir um plano auxiliar δ ortogonal às arestas do diedro; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, as rectas r e s; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção será o ângulo entre os dois planos. β α r s i θº A δ O 1.º processo é para ser utilizado quando o plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro for um plano projectante e tenha determinação imediata. Nos outros casos, será utilizado o 2.º processo.

4 2.º PROCESSO O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p é o ângulo entre os dois planos. β α r s i θº A δ p p P C B 180º - θº

5 Ângulo entre um Plano Vertical e um Plano Frontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano vertical α e um plano frontal φ. x fαfα hαhα (h φ ) Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção i entre os dois planos α e φ, que será uma recta vertical a passar pelo cruzamento de h α e h φ ; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o Plano Horizontal de Projecção; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram os traços horizontais dos dois planos, ou seja h α e h φ ; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, h α e h φ, será o ângulo entre os dois planos α e φ. θº i2i2 (i 1 )

6 Um plano de topo θ intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e contém o ponto A (-2; -1; 4). Um plano horizontal ν tem 2 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre os planos θ e ν. x y z A1A1 A2A2 fθfθ hθhθ (f ν ) Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção i entre os dois planos θ e ν, que será uma recta de topo a passar pelo cruzamento de f θ e f ν ; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o Plano Frontal de Projecção; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram os traços frontais dos dois planos, ou seja f θ e f ν ; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, f θ e f ν, será o ângulo entre os dois planos θ e ν. i 1 (i 2 ) αº

7 Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano Horizontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e o Plano Horizontal de Projecção. x fαfα hαhα Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será h α ; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano vertical γ; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram os traços horizontais dos dois planos, ou seja as rectas d e h γ ; 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, d e h γ, será o ângulo entre os dois planos, obtido via o rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. hγhγ fγfγ d 1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 d2d2 e 2 (e 1 ) h γr f γr F r HrHr drdr θº

8 Um plano oblíquo ψ é ortogonal ao β 1,3 e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º (a.d.) com o eixo x. Um plano frontal φ tem 4 cm de afastamento. Determina a V.G. do ângulo entre os planos ψ e φ. x fψfψ hψhψ (h φ ) Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será f ψ, com o Plano Frontal de Projecção a substituir o plano φ; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano de topo δ; 3 – Ao invés de determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, optou-se pela obtenção de uma recta de maior inclinação (a recta i) do plano ψ, pois o ângulo que um plano oblíquo faz com o Plano Frontal de Projecção é igual ao ângulo que qualquer das suas rectas de maior inclinação faz com o Plano Frontal de Projecção; 4 – O ângulo entre a recta i e f δ, será o ângulo entre os dois planos, obtido via o rebatimento do plano δ para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. fδfδ hδhδ H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 i1i1 i 2 e 2 e 1 i 2r F r HrHr irir αº

9 Ângulo entre um Plano de Rampa e um Plano Frontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano de rampa ρ e um plano frontal φ. x fρfρ hρhρ (h φ ) Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será uma recta fronto-horizontal, embora não seja necessário a sua determinação neste caso; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano de perfil π; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram as rectas p (recta de intersecção do plano π com o plano ρ) e v (recta de intersecção do plano π com o plano φ); 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, p e v, será o ângulo entre os dois planos, obtido pelo ângulo entre a recta p e o Plano Frontal de Projecção, via o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. f π h π H1H1 H2H2 F 1 F2F2 p 1 p 2 (e 1 ) e 2 h πr f πr F r HrHr prpr θº

10 Um plano de rampa ρ com um traço horizontal de 2 cm de afastamento e um traço frontal de 5 cm de cota. Um plano horizontal ν tem 3 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre os planos ρ e ν. x hρhρ fρfρ (f ν ) Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será uma recta fronto-horizontal, embora não seja necessário a sua determinação neste caso; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano de perfil π; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram as rectas p (recta de intersecção do plano π com o plano ρ) e v (recta de intersecção do plano π com o plano ν); 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, p e v, será o ângulo entre os dois planos, obtido pelo ângulo entre a recta p e o Plano Frontal de Projecção, via o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. f π h π H1H1 H2H2 F 1 F2F2 p 1 p 2 (e 1 ) e 2 h πr f πr HrHr F r prpr αº

11 Ângulo entre um Plano Vertical e um Plano Oblíquo Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano vertical γ e um plano oblíquo α. x fαfα hαhα hγhγ fγfγ Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. P2P2 P1P1 p1p1 p2p2 p1p1 p2p2 (f ν ) e 1 e 2 P r p r A2A2 A1A1 A r1 ArAr prpr θº

12 Um plano de topo θ corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto com -4 cm de abcissa, o seu traço horizontal faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x e o seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre os planos θ e α. x y z hθhθ fθfθ hαhα fαfα Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano frontal auxiliar φ. P2P2 P1P1 p1p1 p2p2 p1p1 p2p2 (h φ ) e 1 e 2 p r P r A2A2 A1A1 A r1 ArAr prpr βºβº

13 Ângulo entre dois Planos Oblíquos Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e um plano oblíquo δ. x fαfα hαhα fδfδ hδhδ Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. P2P2 P1P1 p1p1 p2p2 p1p1 p2p2 (f ν ) e 2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 e1e1 B r A r P r1 PrPr prpr prpr θº

14 Um plano oblíquo α é ortogonal ao β 1,3 e corta o eixo x num ponto com 0 cm de abcissa, sendo que o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano oblíquo δ tem o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, o seu traço frontal a fazer um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x, sendo ambos os traços concorrentes num ponto com 0 cm de abcissa.Determina a V.G. do ângulo entre os planos α e δ. x y z hαhα fαfα hδhδ fδfδ Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. P2P2 P1P1 p1p1 p2p2 p1p1 p2p2 (f ν ) e 2 A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 e1e1 A r B r P r1 PrPr prpr prpr βºβº

15 Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano de Rampa Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e um plano de rampa ρ. x hρhρ fρfρ hαhα fαfα Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p, rebatida com uso de um plano auxiliar π e a recta de intersecção i entre o plano π e o plano ρ; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. P2P2 P1P1 p1p1 p2p2 p 1 p 2 f π h π H1H1 H2H2 F 1 F2F2 i 1 i 2 e 1 (e 2 ) h πr f πr H r FrFr irir PrPr prpr ArAr A1A1 A2A2 (f ν ) e 2 B2B2 B1B1 e1e1 A r1 B r P r1 P r2 prpr p r1 θº

16 Um plano vertical γ faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de afastamento e um traço frontal com 5 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre os planos γ e ρ. x hγhγ fγfγ hρhρ fρfρ Como a recta de intersecção será uma recta oblíqua, qualquer plano auxiliar ortogonal será oblíquo e não projectante, o que implica a utilização do 2.º processo. O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica: 1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas p e p, rebatida com uso de um plano auxiliar π e a recta de intersecção i entre o plano π e o plano ρ; 2 – O ângulo entre as duas rectas p e p é o ângulo entre os dois planos, via o rebatimento para um plano horizontal auxiliar ν. P2P2 P1P1 p1p1 p2p2 p 1 p 2 f π h π H1H1 H2H2 F 1 F2F2 i 1 i 2 (e 1 ) e 2 f πr h πr F r HrHr irir PrPr prpr ArAr A1A1 A2A2 (f ν ) e 2 e 1 p r P r1 A r1 A r2 p r1 αº

17 Ângulo entre dois Planos de Rampa Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre dois planos de rampa ρ e σ. x hρhρ fρfρ fσfσ hσhσ Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será uma recta fronto-horizontal, embora não seja necessário a sua determinação neste caso; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano de perfil π; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram as rectas i (recta de intersecção do plano π com o plano ρ) e i (recta de intersecção do plano π com o plano σ); 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, i e i, será o ângulo entre os dois planos, obtido via o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. f π h π H1H1 H2H2 F 1 F2F2 H1H1 H 2 F2F2 i 1 i 2 F 1 e 2 (e 1 ) h πr f πr HrHr F r irir HrHr irir θº

18 Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de afastamento e é ortogonal ao β 1,3. Um plano de rampa σ é passante e está definido pelo ponto P (2; 5). Determina a V.G. do ângulo entre os planos ρ e σ. x hρhρ fρfρ f σ h σ P2P2 P1P1 A solução passaria pelo 1.º processo, embora neste caso, o processo mais simples é via o processo de mudança do diedro de projecção, transformando os dois planos em planos projectantes, planos de topo. O ponto P no novo diedro define a recta f 4σ. A é um ponto de f ρ utilizado para definir f 4ρ. O ponto C de f ρ é utilizado para determinar o traço do plano ρ no plano 4. O ângulo entre f 4σ e f 4ρ é o ângulo entre os dois planos. 2 1 x 4 1 P4P4 f 4ρ A2A2 A1A1 A4A4 f4σf4σ αº

19 Um plano de rampa ρ tem um traço horizontal com 3 cm de afastamento e é ortogonal ao β 1,3. Um plano de rampa σ é passante e está definido pelo ponto P (2; 5). Determina a V.G. do ângulo entre os planos ρ e σ. x hρhρ fρfρ f σ h σ P2P2 P1P1 Utilizar o 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos: 1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos, que será uma recta fronto-horizontal, embora não seja necessário a sua determinação neste caso; 2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro, que será o plano de perfil π; 3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, que seram as rectas i (recta de intersecção do plano π com o plano ρ) e i (recta de intersecção do plano π com o plano σ); 4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção, i e i, será o ângulo entre os dois planos, obtido via o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção para determinar a sua V.G.. f π h π H1H1 H2H2 F 1 F2F2 i 1 i 2 H 1 H 2 F 1 F 2 i 1 i 2 (e 1 ) e 2 f πr h πr HrHr F r irir PrPr irir αº


Carregar ppt "GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Ângulos (Diedros) entre Planos © antónio de campos, 2010."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google