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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Paralelismo Resumo © ant ó nio de campos, 2009.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Paralelismo Resumo © ant ó nio de campos, 2009.

2 recta – recta, geral: Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via os paralelos das suas projecções frontal e horizontal.

3 Uma recta oblíqua r é definida pelos pontos A (1; 2; 3) e B (2; 3; 5). Desenha as projecções de uma recta paralela à recta r e passando pelo ponto C (-1; 3; 2) x y z A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 C2C2 C1C1 r1r1 r2r2 s1s1 s2s2

4 recta de perfil – recta de perfil: Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via rectas auxiliares.

5 Uma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as projecções de uma recta de perfil p, paralela à recta p e passando pelo ponto M (-2; 3; 4). x y z N2N2 r2r2 s2s2 s1s1 r1r1 M1M1 M2M2 N1N1 A recta auxiliar s paralela à recta r (derivada dos pontos A e M conhecidos e concorrentes com p e p) localiza o ponto N, definindo a recta de perfil p paralela à recta de perfil p. A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 p 1 p 2

6 recta – plano, geral: Recta, sem ser parte do plano, paralela a uma recta do plano.

7 Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado um ponto C com as seguintes coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano α, oblíquo, contendo o ponto C e paralelo à recta r, sabendo que f α faz, com o eixo x, um ângulo de 60º (a.d.). x y z A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 C1C1 C2C2 r2r2 r1r1 fαfα s2s2 s1s1 F1F1 F2F2 H1H1 H2H2 hαhα

8 recta – bissector β 1,3 : Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções simétricas.

9 Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β 1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ. x P1P1 P2P2 fρfρ hρhρ a1a1 a2a2 F1F1 F2F2 H1H1 H2H2 fαfα h α i 1 i2i2 I2I2 I1I1 A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β 1,3. Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

10 recta – bissector β 2,4 : Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções paralelas.

11 Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β 1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ. x P1P1 P2P2 fρfρ hρhρ a1a1 a2a2 F1F1 F2F2 H1H1 H2H2 fαfα h α i 1 i2i2 I2I2 I1I1 A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β 1,3. Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

12 recta de perfil – bissector β 1,3 : Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta de perfil do bissector, via rectas auxiliares.

13 Uma recta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota, faz com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta de perfil p é paralela ao β 1,3 e concorrente com a recta h num ponto com 4 cm de afastamento. Determina os traços do plano θ definido pelas duas rectas. x h2h2 h1h1 p 1 p 2 R1R1 R2R2 Para se conseguir ver a situação de paralelismo, recorre-se a uma recta de perfil p, contido no β 1,3. Localiza-se dois pontos auxiliares da recta p e do β 1,3, A e B. Depois vêm as rectas r e s, paralelas entre si, obtendo um segundo ponto da recta p, o ponto S. p 1 p 2 A1A1 A2A2 B2B2 B1B1 r1r1 r2r2 s1s1 s2s2 S1S1 S2S2 Para determinar os traços do plano θ, recorre-se a uma outra recta horizontal (de nível), h, paralela a h e concorrente com a recta p em S. h2h2 h1h1 F1F1 F2F2 F1F1 F2F2 f θ h θ A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas rectas horizontais paralelas – f θ fica definido por F e F (os traços frontais das rectas h e h) e h θ é concorrente com f θ no eixo X e paralelo a h e h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si). Nota que os traços de θ ficam coincidentes. Uma outra forma de resolver o problema seria através do rebatimento do plano de perfil que contém a recta p, o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a recta p, paralela ao β 1,3, e os traços de p nos planos de projecção.

14 recta de perfil – bissector β 2,4 : Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta do bissector, via rebatimento.

15 Uma recta de perfil p é paralela ao β 2,4 e contém o ponto A (2; 5). Determina os traços a recta p nos planos de projecção. x p 1 p 2 A1A1 A2A2 h π f π i 1 i 2 e 2 f πr H 2 F 1 (e 1 ) h πr irir ArAr F r F 2 prpr H1H1 HrHr A solução passa pela utilização de um plano auxiliar de perfil π que contém a recta p. Depois uma recta auxiliar de perfil passante i, pertencente ao β 2,4, rebatida, permite desenhar a recta p rebatida, para depois obter as projecções de F e H da recta p.

16 plano – plano, geral: Planos com mesma orientação e não coincidentes, com duas rectas concorrentes de um plano paralelas a duas rectas concorrentes de outro plano, via os traços dos planos (frontal e horizontal).

17 Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com –2 de abcissa, que fazem com o eixo x ângulos de 60º (a.d.) e 30º (a.e.), respectivamente em relação ao f α e h α. Determina os traços de um plano δ, paralelo ao plano α e passando pelo ponto P (3; 2; 3). x y z fαfα hαhα P1P1 P2P2 h2h2 h1h1 F1F1 F2F2 fδfδ hδhδ A solução passa pela utilização de uma recta auxiliar horizontal h, passando pelo ponto P, e portanto pertencente ao plano δ.

18 plano de rampa - plano de rampa: Planos com mesma orientação e não coincidentes, com uma recta de um plano paralela a outra de outro plano, via rectas auxiliares.

19 Os traços frontal e horizontal do plano de rampa ρ, têm, respectivamente, 2 cm de cota e 3 cm de afastamento. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa σ, têm, respectivamente, 4 cm de cota e 6 cm de afastamento. Determina se os dois planos de rampa são paralelos entre si. x fρfρ hρhρ fσfσ hσhσ F1F1 F2F2 H1H1 H2H2 r1r1 r2r2 s1s1 H1H1 H2H2 F1F1 F2F2 s2s2


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