GEOMETRIA DESCRITIVA A

Apresentação em tema: "GEOMETRIA DESCRITIVA A"— Transcrição da apresentação:

1 GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano Paralelismo Resumo © antónio de campos, 2009.

2 recta – recta, geral: Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via os paralelos das suas projecções frontal e horizontal.

3 Uma recta oblíqua r é definida pelos pontos A (1; 2; 3) e B (2; 3; 5)
Uma recta oblíqua r é definida pelos pontos A (1; 2; 3) e B (2; 3; 5). Desenha as projecções de uma recta paralela à recta r e passando pelo ponto C (-1; 3; 2) y ≡ z r2 s2 B1 B2 A1 A2 C2 C1 x s1 r1

4 recta de perfil – recta de perfil:
Rectas paralelas e complanares, sem ponto em comum, via rectas auxiliares.

5 Uma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2)
Uma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as projecções de uma recta de perfil p’, paralela à recta p e passando pelo ponto M (-2; 3; 4). y ≡ z A1 A2 B1 B2 p1 ≡ p2 p’1 ≡ p’2 r2 M2 s2 r1 N2 x M1 s1 A recta auxiliar s paralela à recta r (derivada dos pontos A e M conhecidos e concorrentes com p e p’) localiza o ponto N, definindo a recta de perfil p’ paralela à recta de perfil p. N1

6 recta – plano, geral: Recta, sem ser parte do plano, paralela a uma recta do plano.

7 Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1)
Uma recta r é definida pelos pontos A (-2; 1; 3) e B (-5; 4; 1). É dado um ponto C com as seguintes coordenadas (1; 2; 2). Determina os traços de um plano α, oblíquo, contendo o ponto C e paralelo à recta r, sabendo que fα faz, com o eixo x, um ângulo de 60º (a.d.). r2 s2 y ≡ z s1 fα F2 A1 A2 C1 C2 B1 B2 H2 x F1 hα r1 H1

8 recta – bissector β1,3: Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções simétricas.

9 Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento
Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ. fα a2 fρ F1 F2 I2 I1 P1 P2 a1 ≡ hα ≡ i1 H1 H2 x i2 hρ A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3. Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

10 recta – bissector β2,4: Recta não contida no bissector e paralela a uma recta do bissector, via recta com projecções paralelas.

11 Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento
Um plano de rampa, ρ, têm 3cm de cota e 4 cm de afastamento. Uma recta oblíqua, a, é paralela ao β1,3 e contém o ponto P (3; 2). A recta a faz a sua projecção horizontal com o eixo x num ângulo de 50º (a.d.). Determina as projecções do ponto de intersecção da recta a com o plano ρ. fα a2 fρ F1 F2 I2 I1 P1 P2 a1 ≡ hα ≡ i1 H1 H2 x i2 hρ A projecção frontal da recta a tem que ter o mesmo ângulo de 50º, pois é paralela ao β1,3. Para obter o ponto I (ponto de intersecção da recta a com o plano ρ), recorre-se ao método de intersecções entre rectas e planos: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I.

12 recta de perfil – bissector β1,3:
Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta de perfil do bissector, via rectas auxiliares.

13 Uma recta h, horizontal (de nível), com 2 cm de cota, faz com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta de perfil p é paralela ao β1,3 e concorrente com a recta h num ponto com 4 cm de afastamento. Determina os traços do plano θ definido pelas duas rectas. p’1 ≡ p’2 Para se conseguir ver a situação de paralelismo, recorre-se a uma recta de perfil p’, contido no β1,3. Localiza-se dois pontos auxiliares da recta p’ e do β1,3, A e B. Depois vêm as rectas r e s, paralelas entre si, obtendo um segundo ponto da recta p, o ponto S. p1 ≡ p2 fθ ≡ hθ F’1 F’2 h’2 s2 S2 h2 F1 F2 B2 r2 R2 A2 x A1 r1 Para determinar os traços do plano θ, recorre-se a uma outra recta horizontal (de nível), h’, paralela a h e concorrente com a recta p em S. B1 s1 R1 Uma outra forma de resolver o problema seria através do rebatimento do plano de perfil que contém a recta p, o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a recta p, paralela ao β1 ,3, e os traços de p nos planos de projecção. A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas rectas horizontais paralelas – fθ fica definido por F e F’ (os traços frontais das rectas h e h’) e hθ é concorrente com fθ no eixo X e paralelo a h e h’ (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si). Nota que os traços de θ ficam coincidentes. h1 S1 h’1

14 recta de perfil – bissector β2,4:
Recta não contida no bissector, e paralela a uma recta do bissector, via rebatimento.

15 Uma recta de perfil p é paralela ao β2,4 e contém o ponto A (2; 5)
Uma recta de perfil p é paralela ao β2,4 e contém o ponto A (2; 5). Determina os traços a recta p nos planos de projecção. p1 ≡ p2 ≡ hπ ≡ fπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e2 ≡ fπr Fr ≡ F2 A2 Ar pr (e1) ≡ H2 ≡ F1 Hr x ≡ hπr A solução passa pela utilização de um plano auxiliar de perfil π que contém a recta p. Depois uma recta auxiliar de perfil passante i, pertencente ao β2,4 , rebatida, permite desenhar a recta p rebatida, para depois obter as projecções de F e H da recta p. A1 ir H1

16 plano – plano, geral: Planos com mesma orientação e não coincidentes, com duas rectas concorrentes de um plano paralelas a duas rectas concorrentes de outro plano, via os traços dos planos (frontal e horizontal).

17 Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com –2 de abcissa, que fazem com o eixo x ângulos de 60º (a.d.) e 30º (a.e.), respectivamente em relação ao fα e hα. Determina os traços de um plano δ, paralelo ao plano α e passando pelo ponto P (3; 2; 3). y ≡ z fα fδ h2 P1 P2 F1 F2 x h1 hδ hα A solução passa pela utilização de uma recta auxiliar horizontal h, passando pelo ponto P, e portanto pertencente ao plano δ.

18 plano de rampa - plano de rampa:
Planos com mesma orientação e não coincidentes, com uma recta de um plano paralela a outra de outro plano, via rectas auxiliares.

19 Os traços frontal e horizontal do plano de rampa ρ, têm, respectivamente, 2 cm de cota e 3 cm de afastamento. Os traços frontal e horizontal do plano de rampa σ, têm, respectivamente, 4 cm de cota e 6 cm de afastamento. Determina se os dois planos de rampa são paralelos entre si. fσ F’1 F’2 s2 fρ F1 F2 H1 H2 H’1 H’2 x r2 hρ r1 s1 hσ