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GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Resumo © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Resumo © antónio de campos, 2010

2 INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO

3 GENERALIDADES – Intersecção entre recta e plano Uma recta e um plano não paralelos intersectam-se num ponto. x xz xy α fαfα hαhα I r

4 INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – geral 1 - Conduzir pela recta dada um plano auxiliar (em geral um plano projectante, mas não necessariamente) que contenha a recta dada; 2 - Determinar a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar; 3 - O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado. ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta com plano projectante Para um plano projectante horizontal, é no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção. ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta projectante com plano não projectante Para um plano projectante horizontal, primeiro obtem-se no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, a projecção horizontal do ponto de intersecção. Depois é utilizada uma recta auxiliar qualquer, que contém o ponto de intersecção, para assim se obter a projecção frontal do ponto de intersecção.

5 INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r (não projectante) com um plano oblíquo α (não projectante). x xz xy α x fαfα hαhα fαfα hαhα r2r2 r1r1 r2r2 r1r1 I I2I2 I1I1 fθfθ h θ F2F2 F1F1 H2H2 H1H1 r θ F H i2i2 i 1 I2I2 I1I1 fθfθ h θ i 1 i i2i2 1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical θ que contenha a recta r; 2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar θ; 3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado α.

6 INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta de topo t (projectante frontal) com um plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy x α fαfα hαhα hαhα fαfα t (t 2 ) t1t1 t1t1 I I1I1 I 2 I1I1 É no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante horizontal.

7 INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r com um plano de topo θ (projectante frontal). x xz xy x θ fθfθ hθhθ r r2r2 r1r1 fθfθ hθhθ r2r2 r1r1 I2I2 I1I1 I1I1 I2I2 I É no cruzamento da projecção frontal da recta com o traço frontal do plano, aonde se situa a projecção frontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante frontal.

8 INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta vertical v com um plano de rampa ρ (não projectante). x xz xy ρ fρfρ hρhρ x fρfρ hρhρ v2v2 (v 1 ) v v2v2 I I 1 I2I2 É utilizada uma recta auxiliar r qualquer, que contém o ponto I, para assim se obter a projecção frontal do ponto I. H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 r2r2 r1r1 I2I2 r r1r1 r2r2 H F

9 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS

10 GENERALIDADES - Intersecção entre dois planos Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa recta, a recta comum a ambos os planos. x xz xy α i δ

11 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS ENTRE DOIS PLANOS – projectantes e não projectantes As projecções da recta de intersecção são coincidentes com as respectivas projectantes, quando a situação for projectante. A situação de não projectante implica a obtenção das projecções da recta de intersecção através dos traços da recta, localizados no cruzamento dos traços dos dois planos. ENTRE DOIS PLANOS – um projectante e o outro não definido pelos traços Uma das projecções da recta de intersecção é coincidente com as respectiva projectante; enquanto a outra é obtida pelos pontos de intersecção das rectas que definem um plano com o outro plano. ENTRE DOIS PLANOS – de rampa, passantes A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal. Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar a recta fronto-horizontal. ENTRE DOIS PLANOS – plano passante e plano projectante com ponto comum O ponto comum e o ponto que define o plano passante definem a recta de intersecção.

12 ENTRE DOIS PLANOS – oblíquos ou passantes com um ponto comum no eixo x Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar um dos pontos da recta de intersecção entre os dois planos dados. O outro ponto será o ponto comum para definir a recta de intersecção. ENTRE DOIS PLANOS – não definidos pelos seus traços Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se quatro rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com os dois pontos coincidentes das quatro rectas a localizar a recta de intersecção.

13 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal). x xz xy x α fαfα hαhα hαhα fαfα i i 2 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). θ fθfθ hθhθ fθfθ hθhθ i 1 i 2 i 1

14 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante). x xz xy α fαfα hαhα i θ fθfθ hθhθ x hαhα fαfα i2i2 fθfθ hθhθ i 1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção frontal. F H

15 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos. x xz xy α x fαfα hαhα fαfα hαhα θ i fθfθ hθhθ fθfθ hθhθ H2H2 H1H1 H F F2F2 F1F1 i1i1 i2i2 Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.

16 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas). x (f υ ) r2r2 r1r1 s1s1 s2s2 R2R2 R1R1 S2S2 S1S1 i1i1 i 2 x xz xy υ (f υ ) r s α i R S Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos R e S, que permitem obter a projecção horizontal da recta i.

17 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS DE RAMPA Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos de rampa, ρ e σ. x hσhσ hρhρ fρfρ fσfσ x xz xy ρ fρfρ hρhρ i fσfσ hσhσ σ fαfα hαhα α fαfα hαhα A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal, sendo assim já se conhece a orientação da recta i. Para obter a localização da recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano projectante auxiliar. F1F1 F2F2 H2H2 H1H1 F H a2a2 a 1 a H2H2 H1H1 F 1 F2F2 b 1 b2b2 F H b I I2I2 I1I1 i2i2 i1i1

18 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS COM UM PONTO COMUM SOBRE O EIXO X Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, α e δ, cujos traços são concorrentes entre si num ponto do eixo x, o ponto A. x xz xy α x fαfα hαhα fαfα hαhα fδfδ fδfδ hδhδ hδhδ A 1 A 2 A i Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto A, é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i. Um plano horizontal auxiliar ν permite obter as rectas de intersecção do plano ν com os planos α e δ. (f ν ) F2F2 F1F1 F F I a b F2F2 F1F1 a 2 b 2 a1a1 b1b1 I2I2 I1I1 i2i2 i1i1

19 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. x f ρ h ρ fαfα hαhα P2P2 P1P1 x xz xy ρ f ρ h ρ P α A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). A 1 A 2 i 1 Através de uma recta auxiliar fronto- horizontal r, que pertence ao plano ρ, obtem-se o ponto de intersecção com a recta i, o ponto I. Como o ponto A pertence aos dois planos, a recta de intersecção está definida pelos pontos A e I. A r I r1r1 r2r2 I2I2 I1I1 i2i2 i fαfα hαhα

20 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE COM PONTO COMUM Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. O ponto P está contido no plano α. x xz xy ρ f ρ h ρ P α A x fαfα hαhα Nesta situação, a determinação da recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é imediata, pois o ponto P é um ponto comum aos dois planos. A 1 A 2 i 1 P2P2 P1P1 i2i2 i fαfα hαhα

21 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano oblíquo α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. x P2P2 P1P1 f ρ h ρ A 1 A 2 É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano ρ é uma recta fronto- horizontal. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano α é uma recta frontal. x xz xy ρ f ρ h ρ P A a H α fαfα hαhα fαfα hαhα i (h φ ) φ b a 1 a2a2 H2H2 H1H1 b 1 b2b2 I A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que juntamente com o outro ponto comum aos dois planos ρ e α, permitem a definição da recta de intersecção i. I2I2 I1I1 i1i1 i2i2

22 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO DE RAMPA Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano de rampa σ. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. x xz xy ρ x fσfσ hσhσ fσfσ hσhσ σ f ρ h ρ P P2P2 P1P1 fαfα hαhα i F H α b a I É necessário utilizar um plano auxiliar vertical α passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção i entre o plano ρ e o plano σ é uma recta fronto-horizontal. A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que permite a definição da recta de intersecção i. fαfα hαhα F2F2 F1F1 H2H2 H1H1 a 1 a2a2 b 1 b2b2 I2I2 I1I1 i1i1 i2i2

23 INTERSECÇÃO ENTRE PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos α e δ. O plano α está definido pelas rectas paralelas a e b. O plano δ está definido pelas rectas concorrentes r e s, concorrentes no ponto P. x b2b2 a2a2 b1b1 a1a1 P2P2 P1P1 É necessário utilizar um plano auxiliar horizontal ν e determinar as rectas de intersecção entre os planos. A intersecção das rectas m e n vão definir o ponto I. A recta m é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano α. A recta n é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano δ. Para a definição da recta de intersecção i, será necessário um outro ponto I, obtido utilizando outro plano auxiliar horizontal ν 1 e outras rectas de intersecção de planos. A recta m é a recta de intersecção entre o plano ν 1 e o plano α. A recta n é a recta de intersecção entre o plano ν 1 e o plano δ. (f ν ) A2A2 A1A1 B2B2 B1B1 s2s2 r2r2 s1s1 r1r1 R2R2 R1R1 S2S2 S1S1 m 2 m1m1 n 2 n1n1 I2I2 I1I1 (f ν1 ) A2A2 A1A1 R2R2 R1R1 m 2 m1m1 n 2 n1n1 I2I2 I1I1 i1i1 i2i2

24 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR

25 ENTRE PLANO E BISSECTOR – definido por duas rectas Os traços nos bissectores das duas rectas definem as projecções da recta de intersecção. ENTRE PLANO OBLÍQUO OU DE RAMPA E BISSECTOR – definido pelos seus traços Uma recta auxiliar do plano dado localiza o traço da recta no bissector, que juntamente com ponto do plano no eixo x definem a as projecções da recta de intersecção. ENTRE PLANO PROJECTANTE E BISSECTOR – definido pelos seus traços A projecção homónima com a projectante resulta em projecção coincidente. A outra projecção será simétrica ou coincidente à primeira projecção, consoante o bissector é o β 1,3 ou o β 2,4.

26 INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β 1,3. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. x r2r2 s2s2 s1s1 r1r1 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 1,3. Os traços das duas rectas situados no β 1,3, Q e Q, são dois pontos que pertencem aos dois planos. Q2Q2 Q1Q1 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2

27 INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β 2,4. O plano θ é definido por duas rectas paralelas. x r2r2 s2s2 s1s1 r1r1 Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β 2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β 2,4. Os traços das duas rectas situados no β 1,3, I e I, são dois pontos que pertencem aos dois planos. I 1 I 2 i 1 i 2

28 INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β 1,3. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. x fαfα hαhα A 1 A 2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β 1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β 1,3. Como o β 1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β 1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção. h2h2 F2F2 F1F1 h1h1 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2

29 INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β 2,4. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A. x fαfα hαhα A 1 A 2 Para definir a recta de intersecção do plano α com o β 2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β 2,4. Como o β 2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β 2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção. r1r1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 r2r2 I 1 I 2 i 1 i 2

30 INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β 1,3. x hρhρ fρfρ A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β 1,3. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β 1,3, o ponto Q, que será um ponto da recta de intersecção. r1r1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 r2r2 Q2Q2 Q1Q1 i1i1 i2i2

31 INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β 2,4. x hρhρ fρfρ A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector. Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β 2,4, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β 2,4. Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β 2,4, o ponto I, que será um ponto da recta de intersecção. r1r1 H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 I 1 I 2 i 1 i 2 r2r2

32 INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β 1,3 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β 1,3. x fδfδ hδhδ A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x. i 2 i1i1

33 INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β 2,4 Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β 2,4. x hδhδ fδfδ A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal. Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β 2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β 1,3 será coincidente com a sua projecção frontal. i 1 i 2

34 INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS

35 ENTRE TRÊS PLANOS – primeira possibilidade Primeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados. A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados. O ponto de intersecção entra as rectas obtidas será a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados. ENTRE TRÊS PLANOS – segunda possibilidade Primeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados. A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados. As rectas obtidas são de facto uma única recta, que será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.

36 INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Primeira possibilidade O estudo que se segue trata de planos com uma intersecção própria, seja um ponto próprio ou uma recta própria. Pretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três planos: o plano de rampa ρ, o plano oblíquo α e o plano horizontal ν. x (f ν ) fρfρ hρhρ fαfα hαhα Primeiro é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ν, a recta i. A seguir é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ρ, a recta i. O ponto I será o ponto de intersecção entra as rectas i e i, e será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados. i 2 F2F2 F1F1 i1i1 F2F2 F1F1 H2H2 H1H1 i1i1 i2i2 I2I2 I1I1

37 INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Segunda possibilidade Pretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três planos: o plano de rampa ρ, o plano oblíquo α e o plano vertical δ. x hρhρ fρfρ hαhα fαfα fδfδ hδhδ Primeiro é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ρ, a recta i. A seguir é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano δ, a recta i. As rectas i e i são de facto uma única recta, que será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados. H2H2 H1H1 F2F2 F1F1 i 1 i2i2 H 1 H 2 F 1 F 2 i 1 i 2


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