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GEOMETRIA DESCRITIVA A

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Apresentação em tema: "GEOMETRIA DESCRITIVA A"— Transcrição da apresentação:

1 GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano Axonometrias Clinogonais (ou Oblíquas) © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES A representação do tiedro no plano axonométrico, a perspectiva, processa-se através da projecção oblíqua do terceiro eixo sobre o plano axonométrico. r z P yz xz zp Pp y ≡ yp O ≡ Op xy x ≡ xp

3 A representação final do tiedro no plano axonométrico
A representação final do tiedro no plano axonométrico. O eixo xp, yp e zp são as perspectivas dos três eixos coordenados. O ângulo entre as perspectivas dos eixos que estão contidos no plano axonométrico (o eixo x e y, nesta situação) é sempre o ângulo real (em V.G.), um ângulo recto. zp O yp xp

4 DIRECÇÃO E INCLINAÇÃO DAS RECTAS PROJECTANTES
A direcção das rectas projectantes representa o ângulo que os planos projectantes (que contêm as rectas projectantes, o plano α neste caso) fazem com os planos coordenados ortogonais ao plano axonométrico, ou seja, o ângulo que a perspectiva do eixo ortogonal ao plano axonométrico faz com as perspectivas dos outros dois eixos. A direcção das rectas projectantes é dada por um par de ângulos (γ e β). A inclinação das rectas projectantes representa o ângulo (θ) que as rectas projectantes (que são paralelas entre si) fazem com o plano de projecção, o plano axonométrico. A inclinação das rectas projectantes vai determinar o coeficiente de deformação. r z α P yz xz βº θº zp Pp y ≡ yp O ≡ Op xy γº x ≡ xp

5 Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é igual a 45º.
A perspectiva de P (Pp) está em V.G., não havendo necessidade de coeficiente de deformação. z r α yz P 45º xz 45º zp Pp y ≡ yp O ≡ Op xy x ≡ xp

6 Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é superior a 45º.
A perspectiva de P (Pp) está reduzida em relação à cota de P, havendo necessidade da existência de um coeficiente de deformação, mais especificamente de um coeficiente de redução. r z P α yz xz αº zp Pp y ≡ yp O ≡ Op xy x ≡ xp

7 Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é inferior a 45º.
A perspectiva de P (Pp) está reduzida em relação à cota de P, havendo necessidade da existência de um coeficiente de deformação, mais especificamente de um coeficiente de ampliação. z α yz r P xz αº zp Pp y ≡ yp O ≡ Op xy x ≡ xp

8 TIPOS DE AXONOMETRIAS CLINOGONAIS
Existem basicamente dois tipos de axonometrias clinogonais (ou oblíquas), distinguidas pela posição do plano axonométrico que é também um plano coordenado: Se o plano axonométrico for o plano xy (o plano horizontal), trata-se da perspectiva planométrica (ou militar); Se o plano axonométrico for um dos outros dois planos (o plano xz ou o plano yz), trata-se da perspectiva cavaleira.

9 Uma perspectiva planométrica (ou militar), com o plano axonométrico a ser o plano xy, no qual se projecta o eixo z. A perspectiva do eixo z é vertical, e as perspectivas dos outros eixos fazem entre si um ângulo de 90º. zp r z P yz xz O zp Pp y ≡ yp O ≡ Op xy yp x ≡ xp xp

10 Uma perspectiva cavaleira, com o plano axonométrico a ser o plano xz, no qual se projecta o eixo y. A perspectiva do eixo z é vertical, e a perspectiva do eixo z faz com o eixo x um ângulo de 90º. zp z ≡ zp xz yz x ≡ xp O ≡ Op xy r O xp P Pp y yp yp

11 INFLUÊNCIA DA DIRECÇÃO E INCLINAÇÃO DAS RECTAS PROJECTANTES
A direcção e a inclinação das rectas projectantes influi na representação de um mesmo objecto. Em baixo a direcção das rectas projectantes é constante, 135º com o semieixo positivo x e com o semieixo positivo z, com inclinação das rectas projectantes diferente. z z z O O O x x x y y y Inclinação das rectas projectantes: 45º. Coeficiente de deformação do eixo y: 1. Inclinação das rectas projectantes: 63º 26’. Coeficiente de deformação do eixo y: 0,5. Inclinação das rectas projectantes: 26º 34’. Coeficiente de deformação do eixo y: 2.

12 Em baixo a inclinação das rectas projectantes é constante, 63º 26’, com o coeficiente de deformação a 0,5, e com direcção das rectas projectantes diferente. z z z y O x O x x O y y Direcção das rectas projectantes: 120º com o semieixo positivo x e 150º com o semieixo positivo z. Direcção das rectas projectantes: 45º com o semieixo positivo x e 135º com o semieixo positivo z. Direcção das rectas projectantes: 135º com o semieixo positivo x e 45º com o semieixo positivo z.

13 REPRESENTAÇÃO (PERSPECTIVA) DE UM PONTO NUMA AXONOMETRIA CLINOGONAL
Em baixo, temos a perspectiva do ponto P, com o ponto A a ser o ponto do eixo z que tem a cota do ponto P. Conduzem-se pelas perspectivas das três projecções do ponto P, as perspectivas das respectivas rectas projectantes (que são paralelas ao eixo ortogonal à face do paralelograma onde aquelas existem). z z yz A P3 A P3 zp xz P3p O P P2 P2 Ap y ≡ yp xy O P2p Pp P1 ≡ P1p P x ≡ xp y x P1

14 PERSPECTIVA CAVALEIRA
Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 2) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com as partes positivas do eixo x e do eixo z. z z ≡ zp yr yr xz Ar P2 ≡ P2p Ar yz P2 x ≡ xp Pp rr P rr P3 P P3 O P3p xy P1p P1 x O 60º A Ap A P1 y yp y O afastamento do ponto P, que se mede no eixo y, é a coordenada que apresenta coeficiente de deformação, pois o eixo y é o eixo que não está contido no plano axonométrico. Para determinar o coeficiente de deformação, rebate-se o plano projectante deste aeixo para o plano axonométrico.

15 Representa o ponto A (2; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z. x y z O A2 rr yr A3 Pr A 50º P A1

16 Representa o ponto M (5; 4; 3) numa perspectiva cavaleira, sabendo que o plano axonométrico é o plano xz. A direcção das projectantes é de 45º com a parte positiva dos outros dois eixos. A inclinação das rectas projectantes é de 60º. x y z O yr M3 M M2 Pr rr M1 P 60º

17 Representa um cubo numa perspectiva cavaleira, com 5 cm de aresta, e apoiado por três das suas faces nos planos coordenados. A direcção das projectantes é de 45º com o semieixo positivo x, e de 135º com semieixo positivo z. A inclinação das rectas projectantes é de 45º. x y z O 45º Pr rr P yr

18 DIRECÇÃO DE AFINIDADE A direcção de afinidade é a direcção que nos permite relacionar, de forma directa e recíproca, uma qualquer coordenada em V.G. e a sua perspectiva. A direcção de afinidade é a direcção que nos permite inverter o rebatimento de qualquer plano coordenado rebatido para o plano axonométrico. z Para determinar a direcção de afinidade é necessário rebater um plano coordenado (o plano xy neste caso) e o plano projectante do eixo y. A charneira é o eixo x. O eixo yr é o eixo y rebatido pelo rebatimento do plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x. Ar é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano xy. É necessário rebater o plano projectante do eixo y (o plano yyp), com o eixo yp como charneira. A recta d é a recta que dá a direcção de afinidade. yr1 Ar1 rr O x 60º Ap Ar yp d yr

19 A determinação da perspectiva cavaleira de um ponto P (2; 4; 5), recorrendo à direcção de afinidade. As rectas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z. x yp z O ≡ yr A perspectiva do ponto P é também a projecção frontal do ponto P. Para determinar a direcção de afinidade é necessário primeiro rebater um plano coordenado (o plano xy neste caso) e o plano projectante do eixo y. A charneira é o eixo x. O eixo yr é o eixo y rebatido pelo rebatimento do plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x. Ar é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano xy, com o mesmo afastamento do ponto P, e em V.G. É necessário rebater o plano projectante do eixo y (o plano yyp), com o eixo yp como charneira, obtendo Ar1, depois Ap, para finalmente obter a recta d. A recta d é a recta que dá a direcção de afinidade. Por fim é a determinação da perspectiva do ponto P. P2 rr yr1 P3 Ar1 P 50º Ap P1 P1r Ar d

20 Representa o ponto A (3; 5; 3) numa perspectiva cavaleira , recorrendo à direcção de afinidade, cujas rectas projectantes têm 60º de inclinação. A perspectiva do eixo y faz 135º com as partes positivas dos outros dois eixos. x y z O ≡ yr rr yr1 Pr A2 A A3 60º P A1 A1r Pr1 d

21 PERSPECTIVA CAVALEIRA NORMALIZADA
A perspectiva cavaleira normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas axonométricas do eixo ortogonal ao plano axonométrico. Mais especificamente, a perspectiva cavaleira normalizada implica a direcção das rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas projectantes de 63º 26’ 6’’, a que corresponde um coeficiente de deformação de 0,5. z O x y

22 O vértice da pirâmide tem cota nula.
É dada uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º triedro, com a base contida num plano horizontal ν. Os pontos A (2; 2; 7) e B (6; 2; 7) são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD] da base. O vértice da pirâmide tem cota nula. Representa a pirâmide numa perspectiva cavaleira, considerando que o plano axonométrico é o plano xz. As projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 140º com o semieixo positivo x e de 130º com semieixo positivo z. x y z O ≡ yr B2 ≡ C2 A2 ≡ D2 A yr1 B Pr1 C D V2 B1 A1 B1r A1r 50º V P C1 D1 V1r ≡ Vr C1r D1r Pr d

23 Representa o prisma numa perspectiva cavaleira.
É dado um prisma hexagonal regular, situado no 1.º tiedro, com 8 cm de altura e bases contidas em planos frontais. A base de menor afastamento é o hexágono [ABCDEF], que está contido no plano xz. Os pontos A (3; 0; 1) e B (1; 0; 3) são dois vértices consecutivos do hexágono [ABCDEF]. Representa o prisma numa perspectiva cavaleira. As projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes é de 140º com o semieixo positivo y e de 130º com semieixo positivo z. x y z O D2r D3 C2r C3 C D C’ E2r E3 D’ B2r B3 B B’ E E’ F2r F3 A2r A3 A A’ Pr B1 ≡ xr F B’1 F’ A1 C’1 C1 d A’1 D1 F1 D’1 60º F’1 E’1 P ≡ E1 Pr1 xr1

24 PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar)
Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com as partes positivas do eixo x e do eixo y. x y z O z yz A P3 60º A rr P2 zp P3p xz P Ar P3 P2 Ap y ≡ yp zr xy O zr P2p Pp P1 ≡ P1p P Ar x ≡ xp P1

25 PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar) NORMALIZADA
A perspectiva planométrica normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas axonométricas do eixo ortogonal ao plano axonométrico. Mais especificamente, a perspectiva planométrica normalizada implica a direcção das rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas projectantes de 56º 18’ 36’’, a que corresponde um coeficiente de deformação de 2/3. z O x y

26 O quadrado [ABCD] é a face inferior do cubo.
É dado um objecto constituído por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1.º tiedro. Os pontos A (6; 2; 0) e B (1; 2; 0) são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD], contido no plano xy. O quadrado [ABCD] é a face inferior do cubo. A base da pirâmide é o quadrado [JKLM], cujos vértices são os pontos médios da face superior do cubo. A pirâmide tem 7 cm de altura, e o seu vértice tem cota superior à base. Representa o objecto numa perspectiva planométrica normalizada. S’ x y z O U’ V2 S U V T R K L B1 ≡ B K1 L1 J M A1 ≡ A V1 C1 ≡ C M1 J1 D1 ≡ D

27 Representa o objecto numa perspectiva planométrica.
Considera o objecto ao lado, representado por três das suas vistas (projecções): horizontal, frontal e lateral direita. As dimensões apresentadas são em centímetros, e as coordenadas de A (0; 0; 0). Representa o objecto numa perspectiva planométrica. As projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes é de 135º com as partes positivas dos eixos x e y. 2 2 2 A2 A3 4 4 3 3 A1 4 4

28 x y z O d 60º ≡ A zr1 rr ≡ zr


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