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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Axonometrias Clinogonais (ou Oblíquas) © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Axonometrias Clinogonais (ou Oblíquas) © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES A representação do tiedro no plano axonométrico, a perspectiva, processa-se através da projecção oblíqua do terceiro eixo sobre o plano axonométrico. x x p O O p z P r y y p zpzp PpPp yz xz xy

3 A representação final do tiedro no plano axonométrico. O eixo x p, y p e z p são as perspectivas dos três eixos coordenados. O ângulo entre as perspectivas dos eixos que estão contidos no plano axonométrico (o eixo x e y, nesta situação) é sempre o ângulo real (em V.G.), um ângulo recto. xpxp ypyp zpzp O

4 DIRECÇÃO E INCLINAÇÃO DAS RECTAS PROJECTANTES A direcção das rectas projectantes representa o ângulo que os planos projectantes (que contêm as rectas projectantes, o plano α neste caso) fazem com os planos coordenados ortogonais ao plano axonométrico, ou seja, o ângulo que a perspectiva do eixo ortogonal ao plano axonométrico faz com as perspectivas dos outros dois eixos. A direcção das rectas projectantes é dada por um par de ângulos (γ e β). A inclinação das rectas projectantes representa o ângulo (θ) que as rectas projectantes (que são paralelas entre si) fazem com o plano de projecção, o plano axonométrico. A inclinação das rectas projectantes vai determinar o coeficiente de deformação. x x p O O p z P r y y p zpzp PpPp yz xz xy α γºγº βºβº θºθº

5 Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é igual a 45º. A perspectiva de P (P p ) está em V.G., não havendo necessidade de coeficiente de deformação. x x p O O p z P r y y p zpzp PpPp yz xz xy α 45º

6 Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é superior a 45º. A perspectiva de P (P p ) está reduzida em relação à cota de P, havendo necessidade da existência de um coeficiente de deformação, mais especificamente de um coeficiente de redução. x x p O O p z P r y y p zpzp PpPp yz xz xy α αºαº

7 Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é inferior a 45º. A perspectiva de P (P p ) está reduzida em relação à cota de P, havendo necessidade da existência de um coeficiente de deformação, mais especificamente de um coeficiente de ampliação. x x p O O p z P r y y p zpzp PpPp yz xz xy α αºαº

8 TIPOS DE AXONOMETRIAS CLINOGONAIS Existem basicamente dois tipos de axonometrias clinogonais (ou oblíquas), distinguidas pela posição do plano axonométrico que é também um plano coordenado: Se o plano axonométrico for o plano xy (o plano horizontal), trata-se da perspectiva planométrica (ou militar); Se o plano axonométrico for um dos outros dois planos (o plano xz ou o plano yz), trata-se da perspectiva cavaleira.

9 x x p O O p z P r y y p zpzp PpPp yz xz xy Uma perspectiva planométrica (ou militar), com o plano axonométrico a ser o plano xy, no qual se projecta o eixo z. A perspectiva do eixo z é vertical, e as perspectivas dos outros eixos fazem entre si um ângulo de 90º. xpxp ypyp zpzp O

10 Uma perspectiva cavaleira, com o plano axonométrico a ser o plano xz, no qual se projecta o eixo y. A perspectiva do eixo z é vertical, e a perspectiva do eixo z faz com o eixo x um ângulo de 90º. xpxp ypyp zpzp O z z p x x p ypyp y PpPp r yz O O p P xy xz

11 INFLUÊNCIA DA DIRECÇÃO E INCLINAÇÃO DAS RECTAS PROJECTANTES A direcção e a inclinação das rectas projectantes influi na representação de um mesmo objecto. Em baixo a direcção das rectas projectantes é constante, 135º com o semieixo positivo x e com o semieixo positivo z, com inclinação das rectas projectantes diferente. z x y Inclinação das rectas projectantes: 45º. Coeficiente de deformação do eixo y: 1. z x y Inclinação das rectas projectantes: 63º 26. Coeficiente de deformação do eixo y: 0,5. z x y Inclinação das rectas projectantes: 26º 34. Coeficiente de deformação do eixo y: 2. O O O

12 Em baixo a inclinação das rectas projectantes é constante, 63º 26, com o coeficiente de deformação a 0,5, e com direcção das rectas projectantes diferente. Direcção das rectas projectantes: 120º com o semieixo positivo x e 150º com o semieixo positivo z. z x y O Direcção das rectas projectantes: 45º com o semieixo positivo x e 135º com o semieixo positivo z. Direcção das rectas projectantes: 135º com o semieixo positivo x e 45º com o semieixo positivo z. z x O y z x y O

13 REPRESENTAÇÃO (PERSPECTIVA) DE UM PONTO NUMA AXONOMETRIA CLINOGONAL Em baixo, temos a perspectiva do ponto P, com o ponto A a ser o ponto do eixo z que tem a cota do ponto P. Conduzem-se pelas perspectivas das três projecções do ponto P, as perspectivas das respectivas rectas projectantes (que são paralelas ao eixo ortogonal à face do paralelograma onde aquelas existem). x x p O z P y y p zpzp yz xz xy P3P3 P2P2 P 1 P 1p A ApAp P 2p PpPp P 3p x y z O P1P1 P P3P3 A P2P2

14 PERSPECTIVA CAVALEIRA Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 2) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com as partes positivas do eixo x e do eixo z. x y z O z z p x x p yryr y PpPp r yz O P xy xz O afastamento do ponto P, que se mede no eixo y, é a coordenada que apresenta coeficiente de deformação, pois o eixo y é o eixo que não está contido no plano axonométrico. Para determinar o coeficiente de deformação, rebate- se o plano projectante deste aeixo para o plano axonométrico. yryr ArAr 60º r P A P1P1 P2P2 P3P3 A ArAr ypyp ApAp P3P3 P1P1 P 3p P 1p P 2 P 2p

15 Representa o ponto A (2; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z. x y z O A2A2 yryr PrPrr 50º P A1A1 A3A3 A

16 Representa o ponto M (5; 4; 3) numa perspectiva cavaleira, sabendo que o plano axonométrico é o plano xz. A direcção das projectantes é de 45º com a parte positiva dos outros dois eixos. A inclinação das rectas projectantes é de 60º. x y z O M2M2 yryr PrPrr 60º P M1M1 M3M3 M

17 Representa um cubo numa perspectiva cavaleira, com 5 cm de aresta, e apoiado por três das suas faces nos planos coordenados. A direcção das projectantes é de 45º com o semieixo positivo x, e de 135º com semieixo positivo z. A inclinação das rectas projectantes é de 45º. x y z O yryr PrPrr 45º P

18 DIRECÇÃO DE AFINIDADE A direcção de afinidade é a direcção que nos permite relacionar, de forma directa e recíproca, uma qualquer coordenada em V.G. e a sua perspectiva. A direcção de afinidade é a direcção que nos permite inverter o rebatimento de qualquer plano coordenado rebatido para o plano axonométrico. x ypyp z O y r1 A r1 60º r ApAp Para determinar a direcção de afinidade é necessário rebater um plano coordenado (o plano xy neste caso) e o plano projectante do eixo y. A charneira é o eixo x. O eixo y r é o eixo y rebatido pelo rebatimento do plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x. A r é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano xy. É necessário rebater o plano projectante do eixo y (o plano yy p ), com o eixo y p como charneira. A recta d é a recta que dá a direcção de afinidade. yryr ArAr d

19 A determinação da perspectiva cavaleira de um ponto P (2; 4; 5), recorrendo à direcção de afinidade. As rectas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z. x ypyp z O P2P2 A perspectiva do ponto P é também a projecção frontal do ponto P. Para determinar a direcção de afinidade é necessário primeiro rebater um plano coordenado (o plano xy neste caso) e o plano projectante do eixo y. A charneira é o eixo x. O eixo y r é o eixo y rebatido pelo rebatimento do plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x. A r é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano xy, com o mesmo afastamento do ponto P, e em V.G. É necessário rebater o plano projectante do eixo y (o plano yy p ), com o eixo y p como charneira, obtendo A r1, depois A p, para finalmente obter a recta d. A recta d é a recta que dá a direcção de afinidade. Por fim é a determinação da perspectiva do ponto P. y r P 1r ArAr y r1 A r1 50º r ApAp d P1P1 P3P3 P

20 Representa o ponto A (3; 5; 3) numa perspectiva cavaleira, recorrendo à direcção de afinidade, cujas rectas projectantes têm 60º de inclinação. A perspectiva do eixo y faz 135º com as partes positivas dos outros dois eixos. x y z O A2A2 y r P r1 A 1r y r1 PrPr 60º r P d A1A1 A3A3 A

21 PERSPECTIVA CAVALEIRA NORMALIZADA A perspectiva cavaleira normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas axonométricas do eixo ortogonal ao plano axonométrico. Mais especificamente, a perspectiva cavaleira normalizada implica a direcção das rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas projectantes de 63º 26 6, a que corresponde um coeficiente de deformação de 0,5. z x O y

22 É dada uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º triedro, com a base contida num plano horizontal ν. Os pontos A (2; 2; 7) e B (6; 2; 7) são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD] da base. O vértice da pirâmide tem cota nula. Representa a pirâmide numa perspectiva cavaleira, considerando que o plano axonométrico é o plano xz. As projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 140º com o semieixo positivo x e de 130º com semieixo positivo z. x y z O A2A2 B2B2 V2V2 A 1r B 1r D 1r C 1r V 1r C 2 D 2 fνfν y r PrPr y r1 P r1 P d V r D1D1 C1C1 A1A1 B1B1 V A D C B pνpν 50º

23 É dado um prisma hexagonal regular, situado no 1.º tiedro, com 8 cm de altura e bases contidas em planos frontais. A base de menor afastamento é o hexágono [ABCDEF], que está contido no plano xz. Os pontos A (3; 0; 1) e B (1; 0; 3) são dois vértices consecutivos do hexágono [ABCDEF]. Representa o prisma numa perspectiva cavaleira. As projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes é de 140º com o semieixo positivo y e de 130º com semieixo positivo z. x y z O x r A3A3 A 2r B 2r B3B3 C 2r D 2r E 2r F 2r C3C3 D3D3 E3E3 F3F3 PrPr x r1 P r1 P d A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 E 1 F1F1 A B C D E F pφpφ hφhφ A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 E1E1 F1F1 A B C D E F 60º

24 PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar) Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com as partes positivas do eixo x e do eixo y. x x p O z P y y p zpzp yz xz xy P3P3 P2P2 P 1 P 1p A ApAp P 2p PpPp P 3p x y z O P1P1 zrzr ArAr 60º r A P3P3 P2P2 P zrzr ArAr

25 PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar) NORMALIZADA A perspectiva planométrica normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas axonométricas do eixo ortogonal ao plano axonométrico. Mais especificamente, a perspectiva planométrica normalizada implica a direcção das rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas projectantes de 56º 18 36, a que corresponde um coeficiente de deformação de 2 / 3. z x O y

26 É dado um objecto constituído por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1.º tiedro. Os pontos A (6; 2; 0) e B (1; 2; 0) são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD], contido no plano xy. O quadrado [ABCD] é a face inferior do cubo. A base da pirâmide é o quadrado [JKLM], cujos vértices são os pontos médios da face superior do cubo. A pirâmide tem 7 cm de altura, e o seu vértice tem cota superior à base. Representa o objecto numa perspectiva planométrica normalizada. x y z O A 1 A B 1 B D 1 D C 1 C V1V1 J1J1 K1K1 L1L1 M1M1 R S T U S U V2V2 V L MJ K

27 Considera o objecto ao lado, representado por três das suas vistas (projecções): horizontal, frontal e lateral direita. As dimensões apresentadas são em centímetros, e as coordenadas de A (0; 0; 0). Representa o objecto numa perspectiva planométrica. As projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes é de 135º com as partes positivas dos eixos x e y. A1A1 A2A2 A3A

28 x y z O A z r z r1 60º r d


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