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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Distância Resumo © antónio de campos, 2010.

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1 GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Distância Resumo © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES - Distâncias Os problemas métricos são situações que envolvem a determinação de alguma grandeza mensurável (distância ou ângulo). Por norma, trata-se da determinação da verdadeira grandeza. Para resolver estes problemas métricos é necessário a utilização dos métodos geométricos auxiliares, em particular o rebatimento e a mudança de diedro de projecção. Quando se refere à distância, entende-se que se trata da menor distância entre dois elementos.

3 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - via rebatimento do Segmento de Recta para um Plano Horizontal A distância entre o ponto A e o ponto B é obtida com o rebatimento do segmento de recta oblíquo [AB], via uma recta e (uma recta do plano) como charneira, rebatendo o plano projectante horizontal do segmento de recta para um plano horizontal que passa por um dos pontos. Esta é talvez a mais fácil das variações do processo de rebatimento. Seria igualmente possível o rebatimento para um plano frontal. x xz xy α fαfα hαhα A2A2 A 1 O 1 B1B1 B2B2 B B r A x A2A2 B2B2 A 1 O 1 O r B 1 B r e1e1 e ArAr V.G. ArAr e 2 υ e 1 (f υ ) e 2 O2O2 O O r O2O2

4 GENERALIDADES – Distância entre em Ponto e uma Recta A distância de um ponto a uma recta é medida numa perpendicular à recta que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta perpendicular à recta dada. A r p d I Nas diferentes situações, haverá a necessidade de recorrer a um ou outro elemento auxiliar (ponto, recta ou plano) para resolver o exercício.

5 DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RECTA ENTRE UM PONTO E UMA RECTA - geral 1 - Conduzir um plano ortogonal à recta dada, passando pelo ponto dado; 2 - Determinar o ponto de intersecção da recta dada com o plano; 3 - A distância entre o ponto de intersecção e o ponto dado é a distância entre o ponto dado e a recta dada. ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta frontal ou horizontal Existe um processo mais simples que passa pela utilização do teorema das três perpendiculares, para medir este tipo de distância, que começa com a condução de uma recta perpendicular à recta dada, passando pelo ponto dado. ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta oblíqua Existe um processo alternativo que começa com o rebatimento do plano formado pelo ponto dado e a recta dada para um plano auxiliar (frontal ou horizontal) que contém o ponto dado. ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta de perfil Existe um processo alternativo que utiliza o método de mudança do diedro de projecção, que permite transformar a recta de perfil em recta frontal ou horizontal.

6 Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal - via Método Geral Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f. x I1I1 I2I2 f2f2 f1f1 Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P, o plano α. fαfα hαhα P1P1 P2P2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção do plano α com a recta f. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f. Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [PI] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ. PrPr V.G. I r (h φ ) e 1 e 2 Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal.

7 Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal - via Teorema das Três Perpendiculares Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f. x I1I1 I2I2 f2f2 f1f1 Para o caso de rectas frontais ou horizontais, é possível este processo mais simples. Primeiro, é conduzido uma recta perpendicular à recta dada, passando por P. p2p2 P1P1 P2P2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com a recta f. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f. Para obter a V.G., é utilizado a rotação do segmento de recta [PI] para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta frontal, perpendicular à recta f e passando pelo ponto I. PrPr V.G. I r (h φ ) e 1 e 2 p1p1 Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal.

8 Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua - via Método Geral Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r. x r2r2 r1r1 Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P, utilizando uma recta frontal do plano que passa por P e é ortogonal à recta r. É obtido o ponto I, ponto de intersecção do plano α com a recta r. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta r. É utilizado um plano auxiliar projectante θ, que contém a recta r. Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [PI] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ. P1P1 P2P2 f1f1 H1H1 H2H2 f2f2 fαfα hαhα F1F1 F2F2 fθfθ h θ H1H1 H2H2 i2i2 i 1 I1I1 I2I2 (h φ ) e 1 e2e2 IrIr P r V.G.

9 Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua - via Rebatimento do Plano Formado pelo Ponto e a Recta Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r. x r2r2 r1r1 É rebatido o plano formado pelo ponto P e a recta r para o plano frontal φ que contém o ponto P. A é o ponto de intersecção do plano φ com a recta r. B é um qualquer ponto da recta r para auxiliar o processo de rebatimento da recta r, e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento. I r é obtido via uma perpendicular entre o ponto P r e a recta r r. Para obter as projecções do ponto I, é necessário inverter o rebatimento do ponto I. P1P1 P 2 A1A1 A2A2 I1I1 I2I2 (h φ ) e 1 e2e2 IrIr P r V.G. B1B1 B2B2 BrBr A r r B r1

10 Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil - via Rebatimento Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de perfil p. x A1A1 A2A2 p 1 p 2 N1N1 M2M2 N2N2 M1M1 Pelo ponto A é conduzido um plano perpendicular à recta p, um plano de rampa ρ, definido pela recta fronto- horizontal g, que passa pelo ponto A. O plano de perfil π é o plano que contém p. A recta i é a recta de intersecção dos planos ρ e π, é perpendicular a p e contém A. A é o ponto de intersecção de π com a recta g, que contém A. O plano π é rebatido para o Plano Frontal de Projecção, com f π como charneira. I1I1 I2I2 g2g2 e2e2 I r1 A r V.G. g1g1 f π h π i 1 i 2 A2A2 A1A1 e 2 f πr h πr (e 1 ) MrMr NrNr ArAr prpr irir IrIr A V.G. de AI é obtida rebatendo o plano projectante frontal de [AI] para o plano frontal φ que contém o ponto A. (h φ ) e 1

11 Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil - via Mudança de Diedro de Projecção Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de perfil p. x A1A1 A2A2 p 1 p 2 N1N1 M2M2 N2N2 M1M1 A mudança de diedro de projecção permite transformar a recta de perfil em recta frontal ou horizontal, consoante a opção, que neste caso será frontal. 2 1 x 4 1 N4N4 M4M4 p4p4 A4A4 I 4 é obtido via uma recta (r) perpendicular entre o ponto A 4 e a recta p 4. Depois é seguido um processo invertido de mudança de diedros de projecção para obter I 1, I 2, r 1 e r 2. Os pontos I e A são rebatidos para obter a V.G. r4r4 I4I4 I1I1 I2I2 r2r2 r1r1 (f υ ) e 2 e 1 IrIr A r V.G.

12 GENERALIDADES - Distância entre em Ponto e um Plano A distância de um ponto a um plano é medida numa recta ortogonal ao plano que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta que tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no plano (no ponto de intersecção da recta com o plano). A p d I α

13 DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO ENTRE UM PONTO E UM PLANO - geral 1 - Conduzir uma recta ortogonal ao plano dado, passando pelo ponto dado; 2 - Determinar o ponto de intersecção da recta ortogonal com o plano dado; 3 - A distância entre o ponto de intersecção e o ponto dado é a distância entre o ponto dado e o plano dado. ENTRE UM PONTO E UM PLANO – plano projectante Processo sem necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância está em V.G., devido ao factor projectante. ENTRE UM PONTO E UM PLANO – plano não projectante Processo com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância não está em V.G., devido ao factor não projectante.

14 Distância entre um Ponto e um Plano Projectante Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano α. x Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por M. fαfα hαhα M1M1 M2M2 É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α, a partir do cruzamento das projecções horizontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano α é projectante horizontal. p2p2 p1p1 I1I1 I2I2 A distância de M a I é a distância do ponto M ao plano α. O segmento de recta [MI] é um segmento de recta horizontal, pelo que a V.G. de MI está na projecção horizontal de MI, M 1 I 1. V.G.

15 Distância entre um Ponto e um Plano Oblíquo Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano α. x A1A1 A2A2 fαfα hαhα p2p2 p1p1 Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por A. É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α; utilizando um plano auxiliar θ, (plano vertical neste caso, plano projectante horizontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i. F1F1 F2F2 H1H1 H2H2 fθfθ h θ i 1 i2i2 I1I1 I2I2 A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano α. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. e 2 (h φ ) e 1 ArAr I r V.G.

16 GENERALIDADES - Distância entre dois Planos A distância entre dois planos é medida numa recta ortogonal aos dois planos, para planos paralelos entre si. A distância entre dois planos é a distância entre quaisquer dois pontos dos planos (um ponto de cada plano) contidos numa mesma recta ortogonal aos planos. p d A α δ B

17 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS PARALELOS ENTRE DOIS PLANOS - geral 1 - Conduzir uma recta ortogonal aos dois planos dados; 2 - Determinar os pontos de intersecção da recta ortogonal com os planos dados; 3 - A distância entre os pontos de intersecção é a distância entre os planos dados. ENTRE DOIS PLANOS – planos projectantes Processo sem necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância está em V.G., devido ao factor projectante. ENTRE DOIS PLANOS – planos não projectante Processo com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância não está em V.G., devido ao factor não projectante. ENTRE DOIS PLANOS – planos de rampa Existe um processo alternativo que utiliza o método de mudança do diedro de projecção.

18 Distância entre Dois Planos Projectantes Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fαfα hαhα A1A1 A2A2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como os planos são projectantes frontais, as intersecções são determinadas nos cruzamentos da projecção frontal da recta com os traços frontais dos planos. p2p2 p1p1 B1B1 B2B2 A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de AB está na projecção frontal de AB, A 2 B 2. V.G. fδfδ hδhδ

19 Distância entre Dois Planos Oblíquos Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. fαfα hαhα A1A1 A2A2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar γ, que é projectante horizontal e contém a recta p. p2p2 p1p1 B1B1 B2B2 A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento. V.G. fθfθ hθhθ F1F1 F2F2 H1H1 H2H2 fγfγ h γ i 1 i2i2 H1H1 H2H2 i2i2 (f υ ) e 2 e 1 BrBr A r

20 Distância entre Dois Planos de Rampa via Rebatimento Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x fρfρ hσhσ hρhρ fσfσ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 p 2 Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar π, que é plano de perfil e contém a recta p. Para se determinar os pontos A e B é necessário recorrer ao processo de rebatimento. f π h π H2H2 H1H1 F 1 F2F2 i 1 i 2 F2F2 F 1 i 1 i 2 e 1 h πr (e 2 ) f πr H r FrFr irir FrFr irir prpr ArAr BrBr V.G. A r B r é a V.G. da distância entre os dois planos. Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. A1A1 A2A2 B1B1 B2B2

21 Distância entre Dois Planos de Rampa via Mudança de Diedro de Projecção Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos. x hσhσ hρhρ fρfρ fσfσ Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 p 2 São determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos, depois de transformar os dois planos em planos projectantes via a mudança de diedro de projecção. Um ponto auxiliar P, que pertence a h ρ, vai permitir determinar h 4ρ, que passa por P 4 e é concorrente com f ρ no eixo x. 2 1 x 2 4 P1P1 P2P2 P4P4 h 4ρ h 4σ p4p4 A4A4 B4B4 V.G. A 4 B 4 é a V.G. da distância entre os dois planos, pois os dois planos são projectantes horizontais, no novo diedro de projecção. Invertendo a mudança de diedro de projecção, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB]. A2A2 B2B2 A1A1 B1B1


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