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SISTEMAS Prof. Marcelo de Oliveira Rosa. Sistemas Definição manipula Entidade que manipula um ou vários sinais (entrada), produzindo um ou vários sinais.

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1 SISTEMAS Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Sistemas Definição manipula Entidade que manipula um ou vários sinais (entrada), produzindo um ou vários sinais (saída) Composição: Sinais de entrada Sistema (propriamente dito) Sinais de saída Sistema Sinais de entrada Sinais de saída

3 Sistemas Definição Terminologias adicionais Excitação Entradas Excitação x(t) Resposta Saídas Resposta y(t) Matematicamente h{}operação h{} é uma operação realizada sobre uma função x(t) para produzir uma função y(t) h{} x(t) y(t)

4 Sistemas Diagrama de Blocos Somador w(t) = x(t) – y(t) + z(t) x(t) y(t) z(t) w(t) x(t) y(t) z(t) w(t) Σ x(t) y(t) z(t) w(t)

5 Sistemas Diagrama de Blocos Amplificador y(t) = K x(t) K y(t)x(t) y(t)x(t) K y(t)x(t) K

6 Sistemas Diagramas de Blocos Integrador/diferenciador y(t) = x(τ) dτ (de – até t) y(t) = dx(t)/dt y(t)x(t) d/dt y(t)x(t)

7 Sistemas Exemplos Navegação de barcos Entradas Empuxo da hélice Posição do leme Direção e velocidade da correnteza Saída Direção do barco Velocidade do barco Sistema Dinâmica dos fluidos Equações do movimento de corpos

8 Sistemas Exemplos Suspensão automotiva Entradas Distância entre roda e solo Saídas Distância entre chassi e chão Sistema Equações dinâmicas de movimento fator de amortecimento energia elástica.

9 Sistemas Exemplos Ponte Entrada Direção do vento Velocidade do vento Saída Deslocamento da ponte Sistema Dinâmica dos fluidos Interação entre fluido e estrutura exemplo: Ponte Tacoma

10 Sistemas Exemplos Corpo humano Entradas Dose de medicamento Saídas Concentração da dose no corpo Sistema Equação farmacocinética do medicamento Equação de infusão e eliminação do medicamento

11 Sistemas Modelagem de sistemas Definir equações que ligam as entradas às saídas Geralmente equações integro-diferenciais Equações diferenciais ordinárias (por exemplo) Há sistemas complexos demais para modelagem detalhada Uso de aproximações e simplificações Tratamento estocástico Exemplos

12 Sistemas Propriedades Resposta com entrada nula Resposta com entrada nula Saída do sistema para entrada x(t) = zero Condições de contorno não-nulas Caracteriza efeito da energia inicial do sistema na saída Resposta com condições iniciais nulas Resposta com condições iniciais nulas Saída do sistema para entrada x(t) zero Condições de contorno nulas Geralmente energia inicial do sistema é nula

13 Sistemas Propriedades Resposta total Respostas com entrada nula + Respostas com condições inicias nulas Existe situações de igualdade EDOs lineares a coeficientes constantes Solução homogênea Solução particular

14 Sistemas Propriedades Homogeneidade Homogeneidade Um sistema é homogêneo quando sua saída é sempre proporcional à sua entrada Condições iniciais nulas

15 Sistemas Propriedades Aditividade Aditividade Duas entradas (x 1 (t) e x 2 (t)) produzem respostas y 1 (t) e y 2 (t), respectivamente, para um sistema H. Condições iniciais nulas O sistema é aditivo se x 3 (t) [= x 1 (t) + x 2 (t)] produzir resposta y 3 (t) [= y 1 (t) + y 2 (t)]

16 Sistemas Propriedades Linearidade Linearidade Combinação de homogeneidade e aditividade. Princípio da superposição. Dividir para conquistar Método comum a classe de sistemas (lineares)

17 Sistemas Propriedades Linearidade Como aplicar o método a sistemas não-lineares? Processo de linearização Linearização Linearização transformadas Equações diferenciais não-lineares exatas transformadas em equações diferenciais lineares aproximadas Adição de restrições para aproximação Exemplo clássico: Pêndulo para pequenos ângulos

18 Sistemas Propriedades Invariância no tempo Invariância no tempo Um sistema é invariante no tempo se uma entrada x(t) atrasada/adiantada t 0 instantes de tempo produz uma saída atrasada/ adiantada t 0 instantes de tempo Condições iniciais nulas

19 Sistemas Propriedades Linearidade e Invariância no tempo Linearidade e Invariância no tempo LTI Linear and time-invariant system Combinação de linearidade e invariância no tempo Classe específica de sistemas Análise será baseada em relações em excitações específicas convolução Uso de convolução

20 Sistemas Propriedades Estabilidade Estabilidade O sistema não explode BIBO Critério BIBO Para qualquer excitação limitada, o sistema produzirá sempre respostas limitadas Condições iniciais nulas

21 Sistemas Propriedades Estabilidade Para um sistema descrito por uma EDO linear com coeficientes constantes, a solução homogênea (sem excitação) Descrita por combinação linear de exponenciais complexas Exponenciais complexas = autofunções instável Se Re{autovalores} zero sistema instável estável Se Re{autovalores} < zero sistema estável Caso particular importante

22 Sistemas Propriedades Causalidade Causalidade Um sistema é causal se ele apresenta resposta somente durante ou após a aplicação de alguma excitação. Sistema não-antecipatório Condições iniciais nulas

23 Sistemas Propriedades Causalidade Causal Processamento tempo-real Não-causal processamento off-line Impossibilidade de aplicações em tempo real, pois análise depende do futuro.

24 Sistemas Propriedades Causalidade Exemplo: Mercado de ações e filtro média-móvel.

25 Sistemas Propriedades Memória Memória com excitações em instantes anteriores ou posteriores Um sistema com memória depende das excitações em instantes anteriores ou posteriores, além da excitação no instante atual. dinâmico Também chamado sistema dinâmico sem Um sistema sem memória depende apenas da excitação no instante atual estático Também chamado sistema estático

26 Sistemas Propriedades Reversibilidade/Inversibilidade Reversibilidade/Inversibilidade Um sistema é inversível se excitações singulares produzem respostas singulares Condições iniciais nulas Sistema inverso anula completamente os efeitos do sistema direto. Idéia de função bijetora

27 Sistemas Convolução Estado atual: Sistemas descritos por EDOs Solução completa soluções particular + homogênea Solução homogênea combinação linear de autofunções Questão: sem considerar Podemos analisar o sistema sem considerar excitações e respostas?

28 Sistemas Convolução Princípio básico Excitação Combinação linear de sinais elementares Sistema específico Sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) Uso do princípio de sobreposição Resposta Combinação linear dos efeitos produzidos pelos sinais elementares impulso Sinal elementar sinal impulso δ(t)

29 Sistemas Convolução Sistema original F(y, y, y,..., y (n-1), y (n) ) = G(x, x, x,..., x (m-1), x (m) ) y = y(t) e x = x(t) Resposta ao impulso h(t) A(h, h, h,..., h (n-1), h (n) ) = B(δ, δ, δ,..., δ (m-1), δ (m) ) h = h(t) e δ = δ(t)

30 Sistemas Convolução Obtenção da resposta ao impulso h(t) Encontre solução homogênea de h(t) h h (t) Características da solução particular correspondência Derive h(t) até a n-ésima derivada e aplique no lado esquerdo da EDO: deve haver correspondência com todas as derivadas de δ(t) até m-ésima derivada Para t = zero Combinação linear Combinação linear de h(t) e suas derivadas = zero Para t zero Garantia de solução homogênea vingar

31 Sistemas Convolução Obtenção da resposta ao impulso h(t) n>m h h (t) u(t) n=m h h (t) u(t) + K δ δ(t) n

32 Sistemas Convolução Resposta ao impulso Descrição do sistema para qualquer excitação Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo! Como obter resposta dado h(t) e excitação?

33 Sistemas Convolução Decomposição de x(t) em soma de pulsos T p duração dos pulsos

34 Sistemas Convolução Decomposição de x(t) em soma de pulsos Combinação linear de pulsos deslocados no tempo.

35 Sistemas Convolução Pelo princípio da superposição... Válido para sistemas lineares e invariantes no tempo Lembre-se do exemplos dos filtros RC, RL, RLC, LC x(t) = pulso unitário y(t) = h p (t)

36 Sistemas Convolução Exemplo Excitação senóide amortecida Sistema filtro RC

37 Sistemas Convolução Exemplo Excitação senóide amortecida Sistema filtro RC

38 Sistemas Convolução Considerando o limite T p τ Excitação Qualquer sinal = combinação linear de δ(t) Resposta Integral de convolução Integral de convolução

39 Sistemas Convolução Diagrama de blocos y(t) = h(t) * x(t) Reforçando resposta ao impulso h(t) resposta ao impulso do sistema h(t) x(t) y(t)

40 Sistemas Propriedades da Convolução Em relação à variável τ x(τ) é mantido é mantida fixa h(t – τ) é revertida e deslocada t instante de tempo Reflexão h(–τ) Atraso no tempo h(–(τ – t))

41 Sistemas Propriedades da Convolução Visualização do processo Para cada t fixo, calculamos a integral (– a +)

42 Sistemas Propriedades da Convolução Convolução entre dois pulsos unitários

43 Sistemas Propriedades da Convolução Amostragem do impulso Amostragem do impulso Comutativa Comutativa Distributiva Distributiva

44 Sistemas Propriedades da Convolução Associativa Associativa y(t) x(t) w(t) z(t) y(t) x(t) w(t) z(t)

45 Sistemas Propriedades da Convolução Distributiva Distributiva w(t)x(t) y(t) z(t) y(t)+z(t) x(t) w(t)

46 Sistemas Propriedades da Convolução Se y(t) = x(t)*h(t) Diferenciação Diferenciação Área Área Escala Escala

47 Sistemas Propriedades da Convolução Estabilidade Estabilidade Se x(t) é limitado Então absolutamente integrável Um sistema é estável ser sua resposta ao impulso for absolutamente integrável Existência da convolução

48 Sistemas Propriedades da Convolução Causalidade Causalidade Um sistema linear e invariante no tempo é causal se Sistema não-antecipatório Convolução em tempo-real

49 Sistemas Propriedades da Convolução Memória Memória Um sistema linear e invariante no tempo é estático se: Sistema sem memória

50 Sistemas Diagrama de Blocos Genericamente Sistema linear e invariante no tempo Pode ser representado por convolução

51 Sistemas Diagrama de Blocos forma direta I Usando integradores (forma direta I): bnbn b n-1 b n-2 b1b1 b0b0 x(t) 1/a n a n-1 a n-2 a1a1 a0a0 y(t) –

52 Sistemas Diagrama de Blocos Pela propriedade de comutação bnbn b n-1 b n-2 b1b1 b0b0 y(t) 1/a n a n-1 a n-2 a1a1 a0a0 x(t) –

53 Sistemas Diagrama de Blocos forma direta II Simplificando (forma direta II) bnbn b n-1 b n-2 b1b1 b0b0 y(t) 1/a n a n-1 a n-2 a1a1 a0a0 x(t) –


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