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© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 11 Funções exponenciais.

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1 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 11 Funções exponenciais

2 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 2 Objetivos de aprendizagem Gráficos de funções exponenciais. A base da função dada pelo número e. Funções de crescimento e decaimento logístico. Taxa percentual constante e funções exponenciais. Modelos de crescimento e de decaimento exponencial.

3 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 3 Gráficos de funções exponenciais Para f (x) = x 2, a base é a variável x, e o expoente é a constante 2; f é tanto uma função potência como uma função monomial. Para g(x) = 2 x, a base é a constante 2, e o expoente é a variável x; g, portanto, é uma função exponencial.

4 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 4 Funções exponenciais Sendo a e b constantes reais, uma função exponencial em x é a função que pode ser escrita na forma f (x) = a b x, onde a é diferente de zero, b é positivo e b 1. A constante a é o valor de f quando x = 0 e b é a base. Quando o expoente é irracional, não existe uma propriedade de potenciação para expressar o valor de uma função exponencial. O que podemos fazer são apenas aproximações, como mostra a tabela a seguir.

5 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 5 Funções exponenciais Valores de f (x) = 2 x para números racionais aproximando de 3, Valores para uma função exponencial f (x) = a b x

6 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 6 Crescimento e decrescimento exponencial Para qualquer função exponencial f (x) = a b x e qualquer número real x, f (x + 1) = b f (x). Se a > 0 e b > 1, então a função f é crescente, sendo uma função de crescimento exponencial. A base b é o seu fator de crescimento. Se a > 0 e b < 1, então a função f é decrescente, sendo uma função de decaimento exponencial. A base b é o seu fator de decaimento.

7 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 7 A base da função dada pelo número e Função exponencial f (x) = e x

8 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 8 A base natural e Aproximações para a base natural e

9 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 9 Funções exponenciais e a base e Qualquer função exponencial f (x) = a b x pode ser reescrita como

10 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 10 Funções de crescimento logístico Sejam a, b, c e k constantes positivas, com b < 1. Uma função de crescimento logístico em x é uma função que pode ser escrita na forma onde a constante c é o limite de crescimento. Se b > 1 ou k < 0, então as fórmulas serão de funções de decaimento logístico.

11 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 11 Taxa percentual constante e funções exponenciais Suponha que uma população está se modificando a uma taxa percentual constante r, onde r é a taxa percentual da mudança em forma decimal. A população então segue o seguinte padrão:

12 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 12 Modelo de crescimento exponencial de uma população Se uma população P está se modificando a uma taxa percentual constante r a cada ano, então: P(t) = P 0 (1 + r) t, Por um lado, se r > 0, então P(t) é uma função de crescimento exponencial, e seu fator de crescimento é a base da função exponencial, dada por 1 + r. Por outro lado, se r < 0, então a base 1 + r < 1, P(t) é uma função de decaimento exponencial, e 1 + r é o fator de decaimento para a população.

13 © 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 13 Modelos de crescimento e decaimento exponencial Os modelos de crescimento e decaimento exponencial são usados para populações, por exemplo, de animais, bactérias e átomos radioativos. Esses modelos se aplicam em qualquer situação na qual o crescimento ou o decrescimento é proporcional ao tamanho atual da quantidade de interesse. As funções de decaimento exponencial modelam a quantidade de uma substância radioativa presente em uma amostra.


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