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Movimento Browniano ( Uma Introdução) Jalves S. Figueira UTFPR- Pato Branco Novembro, 2011

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Apresentação em tema: "Movimento Browniano ( Uma Introdução) Jalves S. Figueira UTFPR- Pato Branco Novembro, 2011"— Transcrição da apresentação:

1 Movimento Browniano ( Uma Introdução) Jalves S. Figueira UTFPR- Pato Branco Novembro, 2011

2 Resumo Um experimento de Pensamento; Movimento Browniano e os Fractais; Aspectos históricos: A realidade dos átomos; Tese de Einstein (1905); Atividades de laboratório; Final.

3 Experimento de Pensamento Imagine que você esteja em uma sala espaçosa. Um grande Shopping center. Houve um apagão, e a cidade toda está sem luz. Somente uma luz de emergência que acende em pequenos intervalos de tempo. Você caminha desesperado por encontrar uma janela. A Luz de emergência acende em intervalo de tempos de t =15 s. Você não tem idéia para onde está indo. Einstein ( )

4 Marque no papel suas posições A, B, C, D,... no intervalo de tempo T=15s. A trajetória não é suave Após ligue os pontos. 1- Atividade

5 Primeiro relato O Botânico Robert Brown, no ano de 1827 ao examinar no microscópio grãos de poléns num líquido observou que estes faziam um movimento incessante e caótico. Brown teria descoberto a fonte da vida??

6 Física Matemática Qual geometria representa o movimento browniano. Movimento browniano é o incessante e caótico movimento de pequenas partículas em suspensão em um fluido. Resultado de uma força aleatória exercida pelas colisões com as moléculas do fluido. Definição :

7 Fractais são figuras da geometria não-Euclidiana. Objetos com infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Cada parte é semelhante ao objeto original. Apresenta uma geometria fractal.

8 Velocidade instantânea: Velocidade média : Não é possível descrever o movimento utilizando as equações da cinemática da mecânica clássica. O movimento não tem velocidade instantânea ou seja a trajetória de uma partícula browniana não tem tangente.

9 Einstein (1905) Einstein geralmente é lembrado pelas rupturas da mecânica Newtoniana. Com os conceitos relativísticos de tempo e espaço. Publicou em 1905 cinco trabalhos, um deles sobre o movimento browniano resultado da tese de Doutorado. Recebeu o premio Nobel em 1922 pela explicação do efeito fotoelétrico.

10 Einstein (1905) Einstein adotou uma visão realista sobre a existência de átomos e moléculas. Procurando determinar o tamanho das moléculas e o número de Avogadro, analisa uma solução de açúcar e água. Einstein percebeu que não tinha sentido descrever uma trajetória individual, que a velocidade não era o conceito chave que carregava as informações principais. Construiu um modelo para o movimento Browniano com bases na teoria cinética dos gases e teoria molecular do calor.

11 Teoria Cinética Molecular Toda matéria é construida de átomos. Um gás é constituido de muitas partículas em movimento caótico. As moléculas são consideradas pontos materiais. As colisões entre duas moléculas ou entre uma molécula e uma parede do recipiente são supostas perfeitamente elásticas. U (energia interna) = é função da energia mecânica das partículas individuais. (U) med = nkT/2, n = número de graus de liberdade

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13 Movimento de micelas de Leite examinado com a ferramenta de análise de vídeos e modelagem Tracker.

14 2 – Atividade Caminho aleatório em duas dimensões. Inicialmente com uma folha quadriculada marque os eixos cartesianos x e y. Cada lado do quadrado mede uma unidade de comprimento l=1. Coloque a partícula (objeto marcador) na origem (0,0) e lance o dado uma vez seguindo as instruções. Se a face for: 1. conte um passo para direita. 2. conte um passo para esquerda. 3. conte um passo para frente. 4. conte um passo para trás. 5. Não conte passos. Repita o lançamento. 6. Não conte passos. Repita o lançamento. Repita o lançamento seguindo as instruções até que sejam contados dez passos marcando o caminho. Repita até que N=100.

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16 Jean Perrin ( ) Perrin utilizando um ultra- microscope realizou medidas quantitativas do movimento Browniano em Verificou as equações de Einstein determinando o número de Avogadro entre N = x10 23 Jean Perrin determinou o tamanho das moléculas. Recebeu o Premio Nobel em 1926

17 Caminho Aleatório =0, distância média é nula. =N, distância média quadrática é igual ao número de passos N. =NL 2, passos de comprimento l x rms = Raiz( ), raiz da distância média quadrática. … Um modelo para descrever o movimento browniano é o caminho aleatório. Em uma dimensão, temos que o jogador começa em x=0 e a cada movimento é solicitado a dar um passo a frente (direção +x) ou para trás( na direção –x). A escolha é aleatória. brownian/brownian.html

18 Observação do movimento browniano no Microscópio leite Água destilada Lâminas para solução Lamínulas de vidro

19 A pressão exercida por uma solução sobre uma membrama semi-permeavel, impedindo a passagem do soluto é dada pela leis dos gases perfeitos. 1- Pressão osmótica p = pressão osmótica = concentração da solução N A = número de Avogadro R = constante dos gases T = temperatura absoluta

20 2- Pressão osmótica Einstein considerou que as moléculas grandes de açúcar estão sujeitas a uma força de atrito viscoso dada pela lei de Stokes Sabe-se porém que as partículas se difundem devido ao gradiente de pressão ( força por unidade de volume). Assim, no equilíbrio temos:

21 Obtemos assim uma expressão para a velocidade v das partículas. Que resulta, regime estacionário, um fluxo ao longo da direção x sobre uma secão de area A. 3- Pressão osmótica E da relação da pressão obtemos que: O que resulta em um coeficiente de difusão D função da temperatura T, viscosidade η, número de Avogadro N A e raio das partículas a.

22 a = raio das partículas. ƞ = viscosidade da agua. F ext força aleatória sobre a partícula em suspensão. Equação de Langevin -1a Partindo da segunda lei de Newton, Paul Langevin (1908), derivou uma equação diferencial para o movimento browniano

23 Equação de Langevin – 1b pelo teorema da equipartição da energia, proposto por Clerk Maxwell. ½mV 2 = kT/2 energia de uma partícula para cada grau de liberdade é função da temperatura. k é a constante de Boltzmann. chega-se a solução

24 Fim


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