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Prof. Roberto Cristóvão Aula 12 Séries.

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1 Prof. Roberto Cristóvão Aula 12 Séries

2 Se tentarmos somar os termos de uma sequência infinita obteremos uma expressão da forma que é denominado uma série infinita (ou apenas série) e é denotada, por simplicidade pelo símbolo

3 Séries Mas faz sentido falar sobre a soma de uma quantidade infinita de termos?

4 Séries Seria impossível encontrar uma soma finita para a série porque, se começarmos adicionando os termos, obteremos as somas cumulativas e depois do -ésimo termo, que se torna muito grande à medida que aumenta.

5 Séries Contudo, se começarmos a somar os termos da série obteremos

6 Séries Podemos observar que quando adicionamos mais e mais termos, essas somas parciais se tornam cada vez mais próximas de 1. Dessa forma, parece razoável dizer que a soma dessa séria infinita é 1 e escrever

7 Séries Dada uma série usamos uma idéia parecida para determinar se ela tem uma soma ou não.

8 Somas Parciais

9 Essas somas parciais formam uma nova sequência que pode ou não ter limite. Se existir o chamaremos de soma da série infinita

10 Série Convergente Definição: Dada uma série Seja sua -ésima soma parcial: Se for convergente e então a série é dita convergente e caso contrário, a série é divergente.

11 Exemplo 1 Série geométrica Se então Como não existe, a série geométrica diverge nesse caso.

12 Série geométrica Se temos subtraindo essas equações, obtemos

13 Série geométrica Se então quando então Então, quando a série geométrica converge, e sua soma é

14 Série geométrica Se ou a sequência é divergente, assim não existe. Portanto, a série geométrica diverge naqueles casos.

15 Prova Geométrica Por semelhança de triângulos temos

16 Resumindo A série geométrica é convergente se e sua soma é Se a série geométrica divergente.

17 Exemplo 01 Encontre a soma da série geométrica Solução:

18 Graficamente

19 Exemplo 02 A série converge ou diverge? Solução: Diverge !

20 Exemplo 3 Escreva o número como fração de inteiros. Solução:

21 Exemplo 4 Encontre a soma da série onde Solução:

22 Exemplo 5 Mostre que a série é convergente e encontre sua soma. Solução:

23 Exemplo 5

24 Exemplo 6 Mostre que a série harmónica diverge.

25 Solução

26


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