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Prof. Roberto Cristóvão Aula 15 Séries Alternadas.

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1 Prof. Roberto Cristóvão Aula 15 Séries Alternadas

2 Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos. Exemplos:

3 Observação Vemos desses exemplos que o n-ésimo termo de uma série alternada é da forma ou onde o número é um número positivo. (De fato, )

4 O Teste da Série Alternada Se a série alternada Satisfizer para todo então, a série é convergente.

5 Exemplo 1 A série harmônica alternada Satisfaz porque Logo a série é convergente pelo Teste da Série Alternada.

6 Exemplo 2 A série é alternada mas, Assim a condição (ii) não é satisfeita. Em vez disto, olhamos para o limite do n-ésimo termo da série:

7 Exemplo 2 O limite não existe, de modo que a série diverge pelo Teste para Divergência.

8 Exemplo 3 Teste a série quanto a divergência ou divergência. Solução: Não é óbvio que a sequência dada por é decrescente. Contudo, consideremos a função associada

9 Exemplo 3 Como estamos apenas considerando positivo, vemos que se isto é, Então é decrescente no intervalo Isto significa que e portanto quando

10 Exemplo 3 Então, a série dada é convergente pelo Teste da Série Alternada.

11 Teste de Estimativa de Séries Alternadas Se for a soma de uma série alternada que satisfaz então,

12 Exemplo 4 Encontre a soma da série com precisão de três casas decimais. Solução: então quando

13 Exemplo 4 Logo a série é convergente pelo Teste da Série Alternada. Agora note que Observe ainda que

14 Exemplo 4 E pelo Teorema da Estimativa da Série Alternada, sabemos que Esse erro menor que não afeta a terceira casa decimal. Assim temos com precisão de três casas decimais.

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