Prof. Wellington D. Previero

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1 Prof. Wellington D. Previero
Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero Método de Newton Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada.

2 Método de Newton Dado o ponto (x0, f(x0)) traçamos a reta L0(x) tangente a curva nesse ponto. y = L0(x) Obtenha a equação da reta y=L0(x) x0

3 Método de Newton A aproximação x1 da raiz da equação f(x) = 0 é o ponto onde a reta L0(x) intersepta o eixo x. y = L0(x) Obtenha o ponto x1 x1 x0

4 Método de Newton .

5 Método de Newton Determinamos a reta L1(x) tangente ao gráfico de f(x) no ponto (x1, f(x1)) y = L1(x) x1

6 Método de Newton De forma análoga, a aproximação x2 é o ponto onde a reta L1(x) intersepta o eixo x. y = L1(x) x2 x1

7 Método de Newton .

8 Método de Newton Assim temos:

9 Método de Newton n= 0, x[1] = 2.062500, |f(x[1])| = 0.316406
Exercício: Seja f(x)=x2+x-6. Determine uma aproximação para a raiz de f considerando x0=1,5. Considere o critério de parada | f(xk) | < 10-4. n= 0, x[1] = , |f(x[1])| = n= 1, x[2] = , |f(x[2])| = n= 2, x[3] = , |f(x[3])| =

10 Método de Newton

11 Método de Newton Observe que se considerarmos temos que

12 Método de Newton Logo, a função
é uma função iteração do Método de Ponto Fixo. Assim, a convergência do Método de Newton estará garantida desde que satisfaça o critério de convergência do Método do Ponto Fixo.

13 Método de Newton Observações a) Rápida convergência; b) Necessidade do cálculo de f’(x); c) Cálculo do valor numérico de xk em f’(x) e f(x) em cada iteração.