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Método da Bissecção Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero Aula de Cálculo Numérico de Wellington.

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Apresentação em tema: "Método da Bissecção Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero Aula de Cálculo Numérico de Wellington."— Transcrição da apresentação:

1 Método da Bissecção Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada.Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada 1

2 Método da Bissecção Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] tal que f(a).f(b)<0. 2

3 Método da Bissecção Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtemos o valor x 0. Com esta divisão, temos agora, dois subintervalos, [a, x 0 ] e [x 0, b]. ax0x0 b 3

4 Método da Bissecção A raiz estará no subintervalo onde a função tem sinais opostos no pontos extremos. ax0x0 b 4

5 Método da Bissecção O novo intervalo [a 1, b 1 ] que contém a raiz é dividido ao meio e obtém-se o ponto x 1. a1a1 b1b1 5

6 Método da Bissecção O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata, com tolerância desejada. 6

7 Método da Bissecção Exemplo: Considere a função f(x)=x 2 -3 e o intervalo [a,b]=[1,2]. Critério de parada: |b k - a k | < 0,01. Iteração: k=0 Intervalo: [a 0, b 0 ]= [1, 2] x 0 = 1,5 f (x 0 ) = -0,75 f(1) = -2 f(2) = 1 f (x 0 ).f(2) < 0 Novo intervalo: [a 1, b 1 ]= [1,5; 2] x 1 = 1,75 Erro: 0,5 7

8 Método da Bissecção Iteração: k=1 Intervalo: [a 1, b 1 ]= [1,5; 2] x 1 = 1,75 f (x 1 ) = f(1,5) = -0,75 f(2) = 1 f (x 1 ).f(1,5) < 0 Novo intervalo: [a 2, b 2 ]= [1,5; 1,75] x 2 = Erro: 0,25 8

9 Método da Bissecção Iteração: k=2 Intervalo: [a 2, b 2 ]= [1,5; 1,75] x 2 = f (x 2 ) = -0, f(1,5) = -0,75 f(1,75) = f (x 2 ).f(1,75) < 0 Novo intervalo: [a 3, b 3 ]= [1,625; 1,75] x 3 = Erro: 0,125 9

10 Método da Bissecção Iteração: k=3 Intervalo: [a 3, b 3 ]= [1,625; 1,75] x 3 = f (x 3 ) = f(1,625) = - 0, f(1,75) = f (x 3 ).f(1,75) < 0 Novo intervalo: [a 4, b 4 ]= [1,6875; 1,75] x 4 = Erro: 0,

11 Método da Bissecção Iteração: k=4 Intervalo: [a 4, b 4 ]= [1,6875; 1,75] x 4 = f (x 4 ) = f(1,6875) = f(1,75) = f (x 4 ).f(1,75) < 0 Novo intervalo: [a 5, b 5 ]= [1,71875; 1,75] x 5 = Erro: 0,

12 Método da Bissecção Iteração: k=5 Intervalo: [a 5, b 5 ]= [1,71875; 1,75] x 5 = f (x 5 ) = f(1,71875 ) = f(1,75) = f (x 5 ).f(1,6875) < 0 Novo intervalo: [a 6, b 6 ]= [1,71875; 1, ] x 6 = Erro:

13 Método da Bissecção Iteração: k=6 Intervalo: [a 6, b 6 ]= [1,71875; 1, ] x 6 = f (x 6 ) = f(1,71875 ) = f(1, ) = f (x 6 ).f(1,734375) < 0 Novo intervalo: [a 7, b 7 ]= [ ; 1,734375] x 7 = Erro: OK! Solução: x 7 =

14 Método da Bissecção 14

15 Método da Bissecção Algoritmo k := 0; a 0 := a; b 0 := b; x k := (a k + b k )/2; enquanto critério de parada não satisfeito ou k L se f(a k ).f(x k ) < 0 então a k+1 := a k ; b k+1 := x k ; senão a k+1 := x k ; b k+1 := b k ; x k+1 := (a k + b k )/2; k := k +1; fim_enquanto exiba x k 15

16 Método da Bissecção Observações: a)A convergência do método é garantida, desde que a função seja contínua num intervalo [a,b] tal que f(a).f(b)<0 b)Se o intervalo inicial for grande e se ε for pequeno, o número de iterações tende a ser grande; c)As iterações não envolvem cálculos laboriosos; 16


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