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Séries infinitas {uk} = {u1, u2, u3, ..., un ...} é uma sequência infinita A soma dos termos dessa sequência é uma série infinita

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1 Séries infinitas {uk} = {u1, u2, u3, ..., un ...} é uma sequência infinita A soma dos termos dessa sequência é uma série infinita 𝑘=1 ∞ 𝑢 𝑘 = 𝑢 𝑢 𝑢 … + 𝑢 𝑘 + … 𝑘=1 ∞ 𝑢 𝑘 uk são os termos da série infinita Ex: 0, Dízima periódica simples 0, = 0,3 + 0,03 + 0, = 1/3 Mostrar! Ex: 2, = Dízima periódica composta

2 A convergência de uma série
𝑘=1 ∞ 𝑢 𝑘 A n-ésima soma parcial da série 1 𝑛 𝑢 𝑘 = 𝑢 1 + 𝑢 2 + 𝑢 3 + …+ 𝑢 𝑛 Sn = {Sn } = sequência infinita de somas parciais (SSP) {Sn } = {S1, S2, S3, ..., Sn, ... } S1 = u1; S2 = S1 + u2 = u1 + u2 S3 = S2 + u3 = u1 + u2 + u3 Sn = Sn-1 + un = u1 + u2 + u un

3 Se a sequência de somas parciais (SSP)
1 𝑛 𝑢 𝑘 = 𝑢 1 + 𝑢 2 + 𝑢 3 + …+ 𝑢 𝑛 Seja 𝑘=1 ∞ 𝑢 𝑘 e Sn = Se a sequência de somas parciais (SSP) {Sn }n=1 = {S1, S2, ..., Sn, ...} convergir para um limite S dizemos que a série 𝑘=1 ∞ 𝑢 𝑘 converge para S e que S é a soma da série. Escrevemos S = 𝑘=1 ∞ 𝑢 𝑘 (na verdade, S = lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 ) Se {Sn } n=1 diverge dizemos a a série 𝑘=1 ∞ 𝑢 𝑘 diverge (não tem soma).

4 Exemplo: verificar se as séries convergem ou divergem.
𝑘=1 ∞ 𝑘 Algumas séries especiais! As séries geométricas 𝑘=0 ∞ 𝑎 𝑞 𝑘 =𝑎+𝑎𝑞+𝑎𝑞2+𝑎𝑞3+ …+𝑎𝑞𝑘+ … para n ≠ 0 convergem para S = 1 1 −𝑞 se |q| < 1 e divergem se |q| ≥ 1 Exemplos (p. 647)

5 2. As séries telescópicas
𝑘=1 ∞ 1 𝑘(𝑘+1) = …+ 1 𝑘. 𝑘+1 + … convergem para 1. 3. As séries p ou séries híper harmônicas (p > 0) 𝑘=1 ∞ 1 𝑘 𝑝 = 𝑝 𝑝 𝑝 + …+ 1 𝑘 𝑝 + … convergem se p > 1 e divergem se 0 < p < 1 Exemplos: a) 𝑘=1 ∞ 1 𝑘 𝑏) 𝑘=1 ∞ 1 𝑘 2

6 Propriedades das séries (propriedades dos somatórios)
Se 𝑢 𝑘 e 𝑣 𝑘 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 (𝑢 𝑘 + 𝑣 𝑘 ) 𝑒 (𝑢 𝑘 - 𝑣 𝑘 ) 𝑠ã𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒 (𝑢 𝑘 + 𝑣 𝑘 ) = 𝑢 𝑘 𝑣 𝑘 e (𝑢 𝑘 − 𝑣 𝑘 ) = 𝑢 𝑘 − 𝑣 𝑘 b) Se a ≠ 0 então as séries 𝑢 𝑘 e 𝑎. 𝑢 𝑘 ou ambas convergem ou ambas divergem e 𝑎. 𝑢 𝑘 = 𝑎 𝑢 𝑘 c) A convergência ou divergência não é alterada pela retirada de um número finito de termos de uma série, isto é, para Ⱪ > o e inteiro, 1 ∞ 𝑢 𝑘 = 𝑈 1 + 𝑈 2 + 𝑈 3 + … Ⱪ ∞ 𝑢 𝑘 = 𝑈 Ⱪ + 𝑈 Ⱪ+1 + 𝑈 Ⱪ+2 + … ambas convergem ou ambas divergem Exemplos (página 654)

7 Testes de convergência
Séries alternadas, convergências condicional e absoluta


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