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Introdução a Computação e Cálculo Numérico Rodrigo Cristiano Silva

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Apresentação em tema: "Introdução a Computação e Cálculo Numérico Rodrigo Cristiano Silva"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Rodrigo Cristiano Silva

2 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Agenda Interpolação Forma de Lagrange Introdução à Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Repetida Exercícios

3 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Interpolação Consiste em determinar, de forma aproximada, uma função que descreve o comportamento de outra função que não se conhece, mas que tem valores tabelados do tipo (x, f(x)).

4 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Casos de uso Quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.

5 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Interpolação Polinomial Através dos pontos: (x 0, f(x 0 )), (x 1, f(x 1 )),..., (x n, f(x n ))(n+1 pontos) Deseja-se aproximar f(x) por um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que: f(x i ) = p n (x i )i = 0, 1, 2,..., n Onde: p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n

6 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Interpolação Polinomial Podemos concluir que a interpolação polinomial consiste em obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto n+1 de dados {x i,f(x i )}

7 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Interpolação Polinomial Considere o conjunto de dados {x i,f(x i )} Como obter o valor de f(x) para um determinado valor de x que não foi medido A função f(x) não é conhecida xixi 01,53,04,56,0 f(x i )0,0010,0160,0280,0460,057

8 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Interpolação Polinomial

9 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Qual método foi escolhido? É possível escolhermos funções da forma polinomial, trigonométrica, exponencial, logarítmica ou racional para interpolar a função desconhecida, porém, estudamos apenas um dos métodos de interpolação polinomial: Lagrange.

10 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Considere o conjunto de n+1 dados {x i,f(x i )} Deseja-se obter o polinômio p n (x) de grau menor ou igual a n, que interpola f(x) em x 0, x 1, x 2,..., x n

11 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Podemos representar p n (x) como: Onde os polinômios L k (x) são de grau n Para cada i a condição p n (x i ) = f(x i ) deve ser satisfeita

12 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Para satisfazer a condição imposta, devemos considerar:

13 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Portanto, vamos provar a condição imposta: e

14 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é: onde L i (x) é igual a:

15 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Exemplo Ajustar uma reta aos seguintes pontos: Passo 1 X24 f(x)3,15,6

16 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Exemplo Passo 2 – L i (x) devem satisfazer as condições L 0 (x 0 ) = 1L 1 (x 0 ) = 0 L 0 (x 1 ) = 0L 1 (x 1 ) = 1 Passo 3 – Montar os L i (x), conforme:

17 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Exemplo Passo 3 (continuação)...

18 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Exemplo Passo 4

19 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau n, comete-se um erro: Erro absoluto: E n (x) = f(x) – p n (x), para todo x no intervalo [x 0, x n ] Estudar o erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de p n (x)

20 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) Sejam x 0 < x 1 < x 2 <... < x n (n+1 pontos) Seja f(x) com derivadas até a ordem n+1 para todo x pertencente ao intervalo [x 0, x n ] Seja p n (x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x 0, x 1,..., x n Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x 0, x n ], o erro é dado por:

21 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Limitante para o Erro A fórmula para o erro mostrada anteriormente tem seu uso limitado na prática, pois são raras as situações que conhecemos f (n+1) (x) e o ponto x nunca é conhecido; Agora estudaremos 2 corolários do estudo do erro na Interpolação, que relacionam o erro com um limitante de f (n+1) (x).

22 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Limitante para o Erro Corolário 1 Baseados no que foi dito anteriormente, se f (n) (x) for contínua em I=[x 0,x n ], podemos escrever a relação:

23 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Limitante para o Erro Corolário 2 Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados, ou seja: x 1 - x 0 = x 2 – x 1 =... = x n – x n-1 = h, Então: Observe que o majorante acima independe do ponto x considerando, x [x 0, x n ]

24 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Exercícios 1. Interpolar o ponto x = 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange x012 f(x)1311

25 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Exercícios A tabela seguinte relaciona a velocidade de queda de um pára-quedista em função do tempo. Determine a velocidade de queda do pára-quedista ao fim de 10s usando polinômio interpolador de Lagrange de grau menor igual a 3 Tempo(s) Vel(cm/s)

26 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Forma de Lagrange Exercícios Dada a tabela da função f(x) = ln(x), calcule uma aproximação para o valor f(12,3), usando a interpolação parabólica baseada no método de Lagrange. x f(x)2, , , , ,708050

27 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Integração Numérica A determinação da integral de uma função f(x) nem sempre é uma tarefa fácil, ou possível analiticamente; Em muitas situações práticas nem sempre temos a forma analítica da função a ser integrada; A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente em um intervalo [a, b]. Assim o problema é resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer.

28 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Regra dos Trapézios Graficamente

29 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Regra dos Trapézios Usando a forma de Lagrange para expressar o polinômio p 1 (x) que interpola f(x) em x 0 e x 1 temos: Assim temos:

30 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erro na Regra dos Trapézios Da interpolação polinomial sabemos que Portanto, o erro na integração pela regra dos trapézios é dado por Utilizando o Teorema do Valor Médio para Integrais temos

31 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Regra dos Trapézios Repetida Graficamente

32 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Regra dos Trapézios Repetida Como podemos ver, tanto graficamente quanto pela expressão do erro, se o intervalo de integração é grande, a fórmula dos trapézios nos fornece resultados que pouco têm a ver com o valor da integral exata. O que podemos fazer neste caso é uma subdivisão do intervalo de integração e aplicar a regra dos trapézios repetidas vezes.

33 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Regra dos Trapézios Repetida Chamando x i os pontos de subdivisão de [a, b], tais que x i+1 – x i = h, i = 0, 1,..., m-1 teremos: Desenvolvendo a somatória chegamos a seguinte expressão:

34 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Erro na Regra dos Trapézios Repetida O erro na Regra dos Trapézios Repetida será a somatória dos erros em cada trapézio: Utilizando novamente o Teorema do Valor Médio temos: Sendo f(x) contínua em [a, b] então existe M 2 = máx |f(x)|. Assim

35 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Regra dos Trapézios Repetida Exemplo Seja Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a Regra dos Trapézios Repetida.

36 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Exercícios Calcule as integrais a seguir pela Regra dos Trapézios usando quatro e seis divisões de [a, b].

37 Introdução a Computação e Cálculo Numérico Exercícios Usando as integrais do exercício anterior, quantas divisões do intervalo serão necessárias para obter erros menores que ?


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