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ME623A Planejamento e Pesquisa. Experimentos Fatoriais 2 k Experimentos com k fatores e cada fator tem apenas dois níveis Caso especial dos experimentos.

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1 ME623A Planejamento e Pesquisa

2 Experimentos Fatoriais 2 k Experimentos com k fatores e cada fator tem apenas dois níveis Caso especial dos experimentos fatoriais com k fatores Os fatores podem ser: a)Quantitativos: dois valores de temperatura, pressão ou tempo b)Qualitativos: níveis alto e baixo, presença e ausência de um fator, duas máquinas, dois operadores, gênero Um replicação completa requer: 2 x 2 x 2 x … x 2 = 2 k observações

3 Experimentos Fatoriais 2 k Os fatoriais 2 k são muito úteis no primeiros estágios da experimentação, quando muitos fatores podem ser de interesse (screening) Permite testar k fatores num fatorial completo com o menor número de rodadas Assume-se que a resposta é aproximadamente linear entre os dois níveis Continuaremos assumindo que: 1.os fatores são fixos 2.o experimento é completamente aleatorizado 3.as suposições de normalidade são satisfeitas

4 Experimentos Fatoriais 2 2 Caso mais simples do experimentos fatoriais 2 k Temos dois fatores ( k=2 ) com 2 níveis cada Cada replicação completa do experimento requer 2 2 =4 observações, ou seja, 4 tratamentos Os níveis dos fatores são denominados: baixo ( ) e alto (+) Fator Representaçã o ABTratamentodo TratamentoObservação A B (1)y 11k + A + B ay 21k +A B + by 12k ++A+B+A+B+ aby 22k

5 Fatoriais Representação Geométrica Os quatro tratamentos podem ser representados da seguinte forma: Fator AB Tratament o (1) + a + b ++ ab

6 Fatoriais Exemplo Pipoca de Microondas Problema: grãos que sobram sem estourar

7 Exemplo – Pipoca no Microondas Possíveis fatores que influenciam na quantidade de grãos que sobra sem estourar 1.Marca da pipoca 2.Tempo no microondas 3.Potência 4.… Vamos selecionar dois fatores com dois níveis cada: Marca da pipoca (1 e 2) Tempo no microondas (4 e 6 minutos) Variável resposta: peso (g) dos grãos sem estourar Repetiremos o experimento 3 vezes (replicação)

8 Exemplo – Pipoca Existem 4 tratamentos e 3 replicações, resultando num total de 12 observações As 12 rodadas foram executadas em ordem completamente aleatória Os dados estão na tabela abaixo FatorReplicação Marca (A) Tempo (B) TratamentoIIIIIITotal (1) a b ab

9 Exemplo – Pipoca O modelo linear para esse experimento ainda pode ser escrito da forma usual: E as SS podem ser calculadas como antes No entanto, veremos um maneira alternativa de calcular as SS para esse tipo particular de modelo Na notação usada aqui, letras maiúsculas denotam os fatores (A e B) e as letras minúsculas denotam os tratamentos ( a, b, ab )

10 Efeitos Principais e Interação No desenho fatorial 2 2 podemos definir o efeito médio de um fator como a mudança na resposta produzido pela mudança no nível do fator, tirando a média sobre os outros níveis do outro fator.

11 Efeitos Principais e Interação No desenho fatorial 2 2 podemos definir o efeito médio de um fator como a mudança na resposta produzido pela mudança no nível do fator, tirando a média sobre os outros níveis do outro fator. O efeito de A no nível baixo de B é O efeito de A no nível alto de B é

12 Efeitos Principais e Interação O efeito médio da interação AB é a diferença média entre o efeito de A no nível alto de B e o efeito de A no nível baixo de B

13 Efeitos Principais e Interação Efeitos principais Interação

14 Efeitos Principais e Interação Efeitos principais Interação

15 Exemplo - Pipoca Calculamos os efeitos principais e a interação no exemplo da pipoca Examinar a magnitude e direção dos efeitos para determinar quais variáveis são importantes

16 Exemplo - Pipoca Calculamos os efeitos principais e a interação no exemplo da pipoca A = 8.33, B = -5, AB = 1.67 O efeito de A é positivo: aumentar A de baixo para alto aumenta o peso dos graus sem estourar O contrário para B A interação parece ser pequena em relação aos efeitos principais

17 Fatoriais 2 2 – Análise de Variância Apesar que na maioria das vezes utilizaremos um software para fazer essa análise, aprenderemos alguns truques para fazer os cálculos manualmente O contraste usado para estimar o efeito de A é: Esse contraste é chamado de efeito total de A Similarmente, temos os contrastes para B e AB: Note que esses contrastes são ortogonais Lembram como calcular a SS de contrates?

18 Fatoriais 2 2 – Análise de Variância A SS dos contrastes é dada por: Dessa forma, no exemplo da pipoca temos:

19 Fatoriais 2 2 – Análise de Variância É conveniente escrever a seguinte tabela: Por exemplo, para estimar o efeito de A, o contraste é: Efeito Fatorial Tratament o IABAB (1) ++ a ++ b ++ ab ++++

20 Fatoriais 2 2 – Análise de Variância A SS T é calculada da mesma forma que antes: E a SS E é calculada pela subtração: No exemplo da pipoca

21 Exemplo – Pipoca Tabela ANOVA: Ambos efeitos principais (marca da pipoca e tempo no microondas) são significantes, isto é, influenciam na quantidade de grãos que ficam sem estourar E a interação?

22 Exemplo – Pipoca Interação AB não é significante

23 Regressão Em um experimento fatorial 2 2, é fácil expressar os resultados em um modelo de regressão Para o exemplo da pipoca temos Onde x 1 é representa o fator 1, assumindo -1 ou 1 e x 2 representa o fator 2, também assumindo -1 ou 1

24 Regressão Em um experimento fatorial 2 2, é fácil expressar os resultados em um modelo de regressão Para o exemplo da pipoca temos Lembrando que A = Marca da pipoca (1 e 2) B = Tempo no microondas (4 e 6 minutos)

25 Regressão Em um experimento fatorial 2 2, é fácil expressar os resultados em um modelo de regressão Para o exemplo da pipoca temos Temos as relações

26 Regressão Em um experimento fatorial 2 2, é fácil expressar os resultados em um modelo de regressão Para o exemplo da pipoca temos No exemplo da Pipoca

27 Regressão A regressão ajustada é então Onde o intercepto é a média geral

28 Fatoriais 2 3 Experimentos com 3 fatores e 2 níveis cada 2 x 2 x 2 = 2 3 = 8 tratamentos Representação geométrica

29 Fatoriais 2 3 Tabela dos sinais para calcular os efeitos Efeito Fatorial Tratament o IABABCACBCABC (1) ++++ a ++++ b ++++ ab ++++ c ++++ ac ++++ bc ++++ abc

30 Fatoriais 2 3 Cálculo dos efeitos principais:

31 Fatoriais 2 3 Cálculo das interações de 1ª ordem (dois a dois): E a interacão ABC:

32 Fatoriais 2 3

33 Fatoriais 2 3 – Exemplo 6.1 do livro Os dados estão na tabela abaixo FatorReplicação ABCIIITratamento (1) = a = b = ab = c = ac = bc = abc = 1589

34 Exemplo 6.1 Visualização dos dados no cubo: (1) = 1154 Fator B a = 1319 ab = 1277 b = 1234 c = 2089ac = 1617 bc = 2138 abc = 1589 Exercício: Calcular todos os efeitos, as SS e obter a tabela ANOVA para esse exemplo


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