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ME623A Planejamento e Pesquisa. 4. Experimentos em Blocos 1.Blocos Completos e Aleatorizados a)Definição b)Análise Estatística c)Decomposição da Soma.

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1 ME623A Planejamento e Pesquisa

2 4. Experimentos em Blocos 1.Blocos Completos e Aleatorizados a)Definição b)Análise Estatística c)Decomposição da Soma de Quadrados d)Tabela Anova e)Estimação dos Parâmetros 2.Quadrado Latino 3.Quadrado Greco-Latino 4.Blocos Balanceados Incompletos 5.Delineamento Cruzados 2

3 Experimentos em Blocos Em qualquer experimento, a variabilidade devido a um fator ruído pode afetar os resultados Fator ruído: fator que provavelmente tem um efeito na resposta, mas não estamos interessados no seu efeito Típicos fatores ruídos são: fonte de máteria- prima, diferentes operadores, pacientes em um estudo, turno ou dia em que o experimento é realizado 3

4 Experimentos em Blocos Bloco: conjunto de UE similares ou homogêneas Na agricultura: típico bloco é um conjunto contíguo de terrenos em que todas as condições (fertilidade, umidade, etc) são similares, isto é, os terrenos são homogêneos Estudos com humanos: sexo e faixa etária são geralmente definidos como blocos Fator RuídoTécnica a ser usada Desconhecido e IncontrolávelAleatorização Conhecido mas IncontrolávelAnálise de Covariância Conhecido e ControlávelBlocagem 4

5 Experimentos Completamente Aleatorizados versus Blocos Completos Aleatorizados Experimentos Completamente Aleatorizados Blocos Completos Aleatorizados Cada retângulo pontilhado é um bloco 5

6 Exemplo Considere um experimento em que uma máquina de medir a dureza de um material pressiona uma ponteira em uma placa de metal com força conhecida Medindo a profundidade do furo causado pela ponteira, podemos determinar a dureza da placa Temos quatro ponteiras e queremos determinar se existe diferença entre as leituras produzidas pela máquina para essas quatro ponteiras O experimentador irá obter quatro medições por ponteira 6

7 Exemplo Unidades Experimentais (UE): placas de metal Fator: tipo de ponteira Num experimento completamente aleatorizado, precisaríamos de 4x4=16 placas de metal Possível problema: as placas de metal podem apresentar pequenas diferenças na sua dureza Estas podem ter sido feitas por fundimentos que foram obtidos em diferentes aquecimentos Nesse caso, a placa de metal (UE) está contribuindo para a variabilidade da resposta O erro experimental refletiria tanto o erro aleatório quanto a variabilidade entre as placas 7

8 Exemplo da Ponteira 8 Iremos utilizar o delineamento Blocos Completos Aleatorizados Objetivo: Eliminar o efeito dos blocos, diminuindo o erro experimental Placas de Metal (Bloco) 1234 Ponteira 3 Ponteira 2 Ponteira 1 Ponteira 4 Ponteira 1 Ponteira 4 Ponteira 2 Ponteira 3 Ponteira 2 Ponteira 1 Ponteira 4 Ponteira 3

9 Blocos Completos Aleatorizados Fator ABloco 1Bloco 2Bloco b 1y 11 y 12 y1by1b 2y 21 y 22...y2by2b aya1ya1 ya2ya2 y ab Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos 9

10 Modelo Estatístico – Efeitos Fixos As observações são descritas através do modelo: Restrições: 10

11 Hipóteses de Interesse Assim como no experimento com um único fator, queremos testar se: Como a média do i -ésimo tratamento é podemos reescrever as hipóteses como: 11

12 Notação 12

13 Decomposição da Soma de Quadrados Soma de Quadrados Total ( SS T ) Exercício: Demonstrar! 13

14 Graus de Liberdade das SS Soma de Quadrados Graus de Liberdade (gl)Explicação SS A a – 1a níveis do Fator A SS Blocos b – 1b blocos SS E (a – 1) (b – 1)ab – 1 – (a – 1) – (b – 1) SS T N – 1N=ab observações no total Pelo Teorema de Cochran, pode-se mostrar que: são v.a. qui-quadrado independentes 14

15 Quadrados Médios ( MS ) Quadrado Médio do Erro ( MS E ) Quadrado Médio do Fator A ( MS A ) Quadrado Médio dos Blocos ( MS Blocos ) 15

16 Valor Esperados dos MS MS E é um estimador não viciado de σ 2 Sob, MS A também é um estimador não viciado de σ 2 16

17 Construção do Teste F Um teste de hipótese para testar igualdade das médias pode ser elaborado através da comparação de MS E e MS A Estatística do Teste Calcula-se o p-valor = Rejeita-se H 0 se p-valor < α ou, de forma equivalente, se 17

18 Tabela ANOVA Blocos Completos Aleatorizados As SS podem ser simplificadas como: SS E é obtida pela subtração: 18

19 Comparação das Médias dos Blocos? Se comparássemos as médias dos blocos, poderí- amos verificar se a blocagem foi útil ou não As hipóteses seriam: Seria então natural usar como estatística do teste a razão entre MS Blocos e MS E Porém, lembre-se que a aleatorização foi aplicada apenas aos tratamentos dentro de cada bloco, isto é, os blocos representam uma restrição na aleatorização 19

20 Exemplo da Ponteira As observações para cada ponteira e placa de metal estão na Tabela abaixo Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal 20 Ponteir a Placa de Metal (Bloco)

21 Análise Estatística Exemplo das Ponteiras 21 Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada ponteira Queremos testar se: 1. Calcular SS T, SS A, SS Blocos e SS E 2. Encontrar a tabela ANOVA

22 22 Análise Estatística Exemplo das Ponteiras

23 Tabela ANOVA Blocos Completos Aleatorizados Exemplo Ponteiras 23 No R > dados <- read.table(DadosPonteiras.txt, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) *** factor(Placa) e-05 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

24 24 Análise Estatística Exemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F (3,9), α =0.05 Conclusão: Como F 0 = > 3.86 (ou p-valor < 0.01 ), rejeitamos H 0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal

25 Tabela ANOVA Experimento com Um Fator Exemplo Ponteiras 25 No R, desconsiderando o efeito dos blocos > dados <- read.table(DadosPonteiras.txt, header=TRUE) > fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados) > anova(fit) Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) Residuals Não Rejeita H 0 Não Rejeita H 0

26 26 Análise Estatística – Ignorando Efeito dos Blocos Exemplo Ponteiras Gráfico da Distribuição F (3,12), p-valor=0.22 Conclusão: Como F 0 = ), não temos evidência para rejeitar H 0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento

27 Exercícios Exercícios do Montgomery, 6ª edição Capítulo 3: 3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32 Capítulo 4: 4-1, 4-5(b), 4-17,


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