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ME623A Planejamento e Pesquisa. 5. Experimentos Fatoriais 1.Experimento Fatorial com Dois Fatores 2.Experimento Fatorial Generalizado (k Fatores) 3.Experimento.

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1 ME623A Planejamento e Pesquisa

2 5. Experimentos Fatoriais 1.Experimento Fatorial com Dois Fatores 2.Experimento Fatorial Generalizado (k Fatores) 3.Experimento Fatorial 2 k 4.Única Replicação de Um Fatorial 2 k 5.Experimento Fatorial Fracionado 2 k-p

3 Experimento Fatorial Generalizado Os resultados que vimos para o modelo com dois fatores podem ser generalizados para k fatores No caso geral temos a níveis do fator A, b níveis do fator B, c níveis do fator C e assim por diante Esses fatores são arranjados num experimento fatorial com abc... n observações totais, sendo n o número de replicações Fator A 1, 2,..., a Fator A 1, 2,..., a Fator B 1, 2,..., b Fator B 1, 2,..., b Fator C 1, 2,..., c Fator C 1, 2,..., c... abc... n observações abc... n observações

4 Experimento Fatorial Generalizado Considerando todos os fatores fixos, iremos testar os fatores principais e interações usando ANOVA A ANOVA particiona a soma de quadrados total em soma de quadrados dos efeitos principais, das interações e do erro experimental Se todas as interações estão presentes, é necessário pelo menos duas replicações ( n 2 ) para que a variância do erro seja estimável Cada fator adicional acrescenta uma camada de commplexidade para a análise

5 Modelo com Três Fatores (Fixos) As observações podem ser descritas pelo modelo: com Suposição: constante As restrições lineares sob os efeitos principais e interações são as mesmas que as vistas anteriormente

6 Modelo com Três Fatores Representação das Observações Suponha que temos a = 4, b = 3, c = 2 e n = 3 C1 B1B2B3 A1 y 1111, y 1112, y 1113 y 1211, y 1212, y 1213 y 1311, y 1312, y 1313 A2 y 2111, y 2112, y 2113 y 2211, y 2212, y 2213 y 2311, y 2312, y 2313 A3 y 3111, y 3112, y 3113 y 3211, y 3212, y 3213 y 3311, y 3312, y 3313 A4 y 4111, y 4112, y 4113 y 4211, y 4212, y 4213 y 4311, y 4312, y 4313 C2 B1B2B3 A1 y 1121, y 1122, y 1123 y 1221, y 1222, y 1223 y 1321, y 1322, y 1323 A2 y 2121, y 2122, y 2123 y 2221, y 2222, y 2223 y 2321, y 2322, y 2323 A3 y 3121, y 3122, y 3123 y 3221, y 3222, y 3223 y 3321, y 3322, y 3323 A4 y 4121, y 4122, y 4123 y 4221, y 4222, y 4223 y 4321, y 4322, y 4323

7 Modelo com Três Fatores No modelo com 3 fatores iremos estimar e testar: Três efeitos principais (A, B e C) Três interações de primeira ordem ou dois a dois (AB, AB e BC) Uma interação de segunda ordem, ou seja, com os três fatores (ABC) No caso de efeitos fixos, os testes de hipótese (testes F ) para efeitos principais e interações são baseados na comparação do MS correspondente com o MS E

8 Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados A SS T é calculada da forma usual: Essa soma de quadrados é decomposta em:

9 Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados A SS dos efeitos principais A, B e C utiliza os totais dos níveis do respectivo fator:

10 Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados A SS das interações dois a dois são dados por:

11 Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados A SS da interação ABC é calculada como: A SS E é obtida pela subtração:

12 Modelo com Três Fatores – Tabela ANOVA

13 Interpretação Depende dos resultados dos testes F para efeitos principais e interações: Se a interação ABC é significante: Nenhum dos fatores está agindo independentemente Resumir numa tabela de médias para cada tratamento Se as interações de 1ª ordem são significantes (e não a interação com 3 fatores) Nenhum dos efeitos principais são independentes Resumir em tabelas 2x2 de médias para as interações significantes Se os efeitos principais são significantes (mas não as interações) Resumir com as médias dos efeitos principais significantes

14 Tabela das Médias dos Efeitos Principais Tabela das Médias para Interações de 1ª Ordem Essa Tabela é para interação AB Calcular também para AC e BC Essa Tabela é para interação AB Calcular também para AC e BC

15 Tabela das Médias dos Tratamentos

16 Exemplo: Engarrafamento de Refrigerante Uma fábrica de refrigerante quer controlar três variáveis durante o processo de engarrafamento: Porcentagem de CO2 (Fator A): 10, 12 e 14% Pressão (Fator B): 25 e 30 psi Velocidade da produção (Fator C): 200 e 250 garrafas/min Esse é um delineamento fatorial com 3 fatores e teremos duas replicações (n = 2) As 24 rodadas com todos os tratamentos serão realizadas em ordem aleatória A variável resposta é o desvio da altura nominal

17 Exemplo: Engarrafamento de Refrigerante Os dados estão na tabela abaixo: Vamos analisar esses dados. Quais fatores influenciam no desvio médio da altura do líquido? Existem interações? Pressão (B) 2530 CO 2 (A) Velocidade(C)

18 Exemplo: Engarrafamento de Refrigerante Tabela ANOVA com 3 fatores e interações: No R > dados <- read.table(ExemploRefrigerante.txt", header=TRUE) > fit <- lm(Altura ~ factor(CO2)*factor(Pressao)*factor(Velocidade), data=dados) > anova(fit)

19 Exemplo: Engarrafamento de Refrigerante

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