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Www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI 7 Resultados de Medições Indiretas Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial.

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1 7 Resultados de Medições Indiretas Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial

2 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 2/52) Motivação Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? b c A = b. c u(A) = ? ± u(b) ± u(c)

3 7.1 Considerações Preliminares

4 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 4/52) Medições indiretas O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. Exemplos: Exemplos: A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento. A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento. Determinação da corrente elétrica dividindo a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência. Determinação da corrente elétrica dividindo a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência.

5 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 5/52) O Modelo Matemático É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. Exemplos: Exemplos: A = l. h A = l. h V = d / t V = d / t

6 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 6/52) Dependência estatística & correlação Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Exemplo: Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do dólar. a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do dólar.

7 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 7/52) Dependência estatística Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Exemplos: Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar (na verdade quem mais muda é o Real). Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar (na verdade quem mais muda é o Real). A temperatura da água do mar em duas praias próximas. A temperatura da água do mar em duas praias próximas.

8 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 8/52) Correlação direta Na correlação direta as variações estão sincronizadas de tal forma que: Na correlação direta as variações estão sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável. (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável.

9 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 9/52) Correlação inversa Na correlação inversa as variações estão sincronizadas de tal forma que: Na correlação inversa as variações estão sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável. (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável.

10 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 10/52) Analogia da Gangorra... A B CABC A e B possuem correlação direta A e C possuem correlação inversa B e C possuem correlação inversa

11 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 11/52) Coeficiente de Correlação sendo (X,Y)o coeficiente de correlação entre X e Y cov(X, Y)a covariância entre X e Y X o desvio padrão da variável aleatória X Y o desvio padrão da variável aleatória Y

12 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 12/52) Estimativa do Coeficiente de Correlação sendo r(X, Y)estimativa do coeficiente de correlação para X e Y x i e y i i-ésimo par de valores das variáveis X e Y valores médios das variáveis X e Y nnúmero total de pares de pontos das variáveis X e Y

13 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 13/52) Correlação direta e inversa Correlação direta perfeita: Correlação direta perfeita: ρ(X, Y) = +1,00 ρ(X, Y) = +1,00 Correlação inversa perfeita: Correlação inversa perfeita: ρ(X, Y) = -1,00 ρ(X, Y) = -1,00 Ausência total de correlação Ausência total de correlação ρ(X, Y) = 0,00 ρ(X, Y) = 0,00

14 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 14/52) Correlação entre múltiplas variáveis aleatórias A B C DABCD ABCD A+1+1 B+1+1 C+1+1 D+1+1

15 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 15/52) Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando: Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas grandezas; Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas grandezas; Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição; Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição; Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada. Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada.

16 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 16/52) Nas medições indiretas há boas chances de não haver correlação se: Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição. Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição.

17 7.2 Estimativa da Incerteza Combinada em Medições não Correlacionadas (MNC)

18 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 18/52) Adição e subtração de MNC O quadrado da incerteza combinada da adição ou subtração de MNC é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão de cada termo: O quadrado da incerteza combinada da adição ou subtração de MNC é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão de cada termo:

19 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 19/52) Exemplo: Adição de MNC 1 2 m T = m 1 + m 2 m 1 = (1000 ± 6) g m 2 = (2000 ± 8) g [u(m T )] 2 = [u(m 1 )] 2 + [u(m 2 )] 2 [u(m T )] 2 = [3] 2 + [4] 2 = 25 u(m T ) = 5 g MNC m T = (3000 ± 10) g u(m 1 ) = 6/2,0 = 3 g u(m 2 ) = 8/2,0 = 4 g U = t. u = 2,0. 5 = 10 g

20 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 20/52) Exemplo: Subtração de MNC m C = m 2 – m 1 m 1 = (1000 ± 6) g m 2 = (2000 ± 8) g [u(m c )] 2 = [u(m 1 )] 2 + [u(m 2 )] 2 [u(m T )] 2 = [3] 2 + [4] 2 = 25 u(m T ) = 5 g MNC m C = (1000 ± 10) g 1 2 m C + m 1 = m 2 U = t. u = 2,0. 5 = 10 g

21 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 21/52) Multiplicação de MNC Na multiplicação de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada fator: Na multiplicação de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada fator:

22 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 22/52) Divisão de MNC Na divisão de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas do divisor e do dividendo: Na divisão de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas do divisor e do dividendo:

23 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 23/52) Generalizando: Multiplicação e Divisão de MNC Na multiplicação e/ou divisão de qualquer número de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada termo por: Na multiplicação e/ou divisão de qualquer número de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada termo por:

24 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 24/52) Exemplo: Divisão de MNC V R I Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0) sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V. u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 Ω u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V

25 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 25/52) GEI - Divisão - Exemplo V R I V = (150,0 ± 2*1,5) V R = (500,0 ± 2*0,5) u(I) = 0,0030 A I = (300 ±6) mA

26 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 26/52) Caso Geral de MNC = coeficiente de sensibilidade Podem ser calculados analitica ou numericamente

27 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 27/52) Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada: Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada: Exemplo: Caso Geral de MNC

28 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 28/52) Medições Realizadas D h Para a massa: m = (1580 ± 22) g νm = 14 Para o diâmetro: D = (25,423 ± 0,006) mm νD = νD = Para a altura: h = (77,35 ± 0,11) mm νh = 14

29 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 29/52) Massa Específica D h

30 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 30/52) Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas. A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student: u(m) = U(m)/t 14 = 22/2,20 = 10 g u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm u(h) = U(h)/t 14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm

31 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 31/52) Cálculo da incerteza combinada

32 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 32/52) Cálculo da incerteza combinada

33 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 33/52) Cálculo da incerteza combinada

34 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 34/52) Cálculo do número de graus de liberdade efetivos

35 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 35/52) Valor da massa específica: U( ) = 2,20. u( ) U( ) = 2,20. 0, = 0, g/mm 3 = (0, ,00056) g/mm 3

36 7.3 Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC)

37 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 37/52) Adição de MC Com correlação direta perfeita: Com correlação direta perfeita: 1 2 Com correlação inversa perfeita: Com correlação inversa perfeita: 1 2

38 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 38/52) Adição de MC Soma de múltiplos termos: Soma de múltiplos termos: A C B D Z = A + B + C + D E = A + C F = B + D Z = E + F u(E) = u(A) + u(C) u(F) = u(B) + u(D) u(Z) = |u(E) – u(F)| u(Z) = |u(A) – u(B) + u(C) – u(D)| E F

39 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 39/52) Subtração de MC Com correlação direta perfeita: Com correlação direta perfeita: 1 2 Com correlação inversa perfeita: Com correlação inversa perfeita: 1 2

40 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 40/52) Subtração de MC Para múltiplos termos: Para múltiplos termos: A C B D Z = A - B - C – D = (A - C) – (B + D) G = A - C H = B + D Z = G - H u(G) = |u(A) - u(C)| u(H) = u(B) + u(D) u(Z) = u(G) + u(H) u(Z) = |u(A) – u(C)| + u(B) + u(D) G H

41 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 41/52) Multiplicação de MC Com correlação direta perfeita: Com correlação direta perfeita: 1 2 Com correlação inversa perfeita: Com correlação inversa perfeita: 1 2

42 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 42/52) Multiplicação de MC Para múltiplos termos: Para múltiplos termos: A C B D Z = A. B. C. D K = A. C L = B. D Z = K. L u R (K) = u R (A) + u R (C) u R (F) = u R (B) + u R (D) u R (Z) = |u R (K) – u R (L)| u R (Z) = |u R (A) – u R (B) + u R (C) – u R (D)| K L

43 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 43/52) Divisão de MC Com correlação direta perfeita: Com correlação direta perfeita: 1 2 Com correlação inversa perfeita: Com correlação inversa perfeita: 1 2

44 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 44/52) Divisão de MC Para múltiplos termos: Para múltiplos termos: A C B D Z = A. B / (C. D) = (A/C). (B/D) M = A/C N = B/D Z = M. N u R (M) = |u R (A) - u R (C)| u R (N) = |u R (B) - u R (D)| u R (Z) = |u R (M) – u R (N)| u R (Z) = ||u R (A) – u R (C)| - |u R (B) - u R (D)|| M N

45 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 45/52) Caso Geral de MC Incerteza máxima possível = coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado analitica ou numericamente

46 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 46/52) Caso Geral de MC Incerteza máxima possível u(A) = 3 e u(B) = 4 (a) Não correlacionadas: (b) Correlação direta: u(G) = u(A) + u(B) = = 7 (c) Correlação inversa: u(G) = |u(A) - u(B)| = |3 – 4| = 1 (d) Máxima possível:

47 7.4 Estimativa da Incerteza Combinada Quando o Coeficiente de Correlação é Conhecido

48 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 48/52) Caso Geral = coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado analitica ou numericamente

49 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 49/52) Medições correlacionadas e não correlacionadas Para múltiplos termos: Para múltiplos termos: AB C D G = A + B + C + DrABCDA+10 B+10 C0 D000

50 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 50/52) Medições correlacionadas e não correlacionadas

51 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 51/52) Medições correlacionadas e não correlacionadas

52 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 52/52) Correlação parcial com r(h, α) = -0,5


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