7 Resultados de Medições Indiretas

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1 7 Resultados de Medições Indiretas
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial

2 Motivação b ± u(b) Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? c ± u(c) A = b . c u(A) = ? Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 2/52)

3 Considerações Preliminares
7.1 Considerações Preliminares

4 Medições indiretas O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. Exemplos: A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento. Determinação da corrente elétrica dividindo a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 4/52)

5 O Modelo Matemático É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. Exemplos: A = l . h V = d / t Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 5/52)

6 Dependência estatística & correlação
Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do dólar. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 6/52)

7 Dependência estatística
Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar (na verdade quem mais muda é o Real). A temperatura da água do mar em duas praias próximas. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 7/52)

8 Correlação direta Na correlação direta as variações estão sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 8/52)

9 Correlação inversa Na correlação inversa as variações estão sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 9/52)

10 Analogia da Gangorra ... A C B C B A A e B possuem correlação direta
A e C possuem correlação inversa B e C possuem correlação inversa Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 10/52)

11 Coeficiente de Correlação
sendo (X,Y) o coeficiente de correlação entre X e Y cov(X, Y) a covariância entre X e Y X o desvio padrão da variável aleatória X Y o desvio padrão da variável aleatória Y Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 11/52)

12 Estimativa do Coeficiente de Correlação
sendo r(X, Y) estimativa do coeficiente de correlação para X e Y xi e yi i-ésimo par de valores das variáveis X e Y valores médios das variáveis X e Y n número total de pares de pontos das variáveis X e Y Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 12/52)

13 Correlação direta e inversa
Correlação direta perfeita: ρ(X, Y) = +1,00 Correlação inversa perfeita: ρ(X, Y) = -1,00 Ausência total de correlação ρ(X, Y) = 0,00 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 13/52)

14 Correlação entre múltiplas variáveis aleatórias
B C D A B C D A B C D +1 -1 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 14/52)

15 Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando:
Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas grandezas; Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição; Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 15/52)

16 Nas medições indiretas há boas chances de não haver correlação se:
Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 16/52)

17 7.2 Estimativa da Incerteza Combinada em Medições não Correlacionadas (MNC)

18 Adição e subtração de MNC
O quadrado da incerteza combinada da adição ou subtração de MNC é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão de cada termo: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 18/52)

19 Exemplo: Adição de MNC mT = m1 + m2 MNC 2 1
[u(mT)]2 = [u(m1)]2 + [u(m2)]2 [u(mT)]2 = [3]2 + [4]2 = 25 m1 = (1000 ± 6) g u(mT) = 5 g m2 = (2000 ± 8) g U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g u(m1) = 6/2,0 = 3 g mT = (3000 ± 10) g u(m2) = 8/2,0 = 4 g Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 19/52)

20 Exemplo: Subtração de MNC
mC = m2 – m1 MNC 1 2 [u(mc)]2 = [u(m1)]2 + [u(m2)]2 [u(mT)]2 = [3]2 + [4]2 = 25 m1 = (1000 ± 6) g u(mT) = 5 g m2 = (2000 ± 8) g U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g mC + m1 = m2 mC = (1000 ± 10) g Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 20/52)

21 Multiplicação de MNC Na multiplicação de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada fator: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 21/52)

22 Divisão de MNC Na divisão de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas do divisor e do dividendo: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 22/52)

23 Generalizando: Multiplicação e Divisão de MNC
Na multiplicação e/ou divisão de qualquer número de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada termo por: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 23/52)

24 Exemplo: Divisão de MNC
Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0)  sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V. I R u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 Ω u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 24/52)

25 GEI - Divisão - Exemplo V I R V = (150,0 ± 2*1,5) V
u(I) = 0,0030 A I = (300 ±6) mA Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 25/52)

26 Caso Geral de MNC = coeficiente de sensibilidade
Podem ser calculados analitica ou numericamente Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 26/52)

27 Exemplo: Caso Geral de MNC
Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 27/52)

28 Medições Realizadas Para a massa: m = (1580 ± 22) g νm = 14
Para o diâmetro: D = (25,423 ± 0,006) mm νD = ∞ Para a altura: h = (77,35 ± 0,11) mm νh = 14 h D Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 28/52)

29 Massa Específica h D Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 29/52)

30 Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas. A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student: u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 g u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 30/52)

31 Cálculo da incerteza combinada
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 31/52)

32 Cálculo da incerteza combinada
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 32/52)

33 Cálculo da incerteza combinada
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 33/52)

34 Cálculo do número de graus de liberdade efetivos
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 34/52)

35 Valor da massa específica:
U() = 2,20 . u() U() = 2,20 . 0, = 0, g/mm3  = (0,04024  0,00056) g/mm3 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 35/52)

36 Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC)
7.3 Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC)

37 Adição de MC Com correlação direta perfeita:
1 2 Com correlação inversa perfeita: 1 2 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 37/52)

38 Adição de MC Soma de múltiplos termos: Z = A + B + C + D E = A + C
u(E) = u(A) + u(C) u(F) = u(B) + u(D) F = B + D E F Z = E + F u(Z) = |u(E) – u(F)| u(Z) = |u(A) – u(B) + u(C) – u(D)| Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 38/52)

39 Subtração de MC Com correlação direta perfeita:
1 2 Com correlação inversa perfeita: 1 2 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 39/52)

40 Subtração de MC Para múltiplos termos:
Z = A - B - C – D = (A - C) – (B + D) G = A - C u(G) = |u(A) - u(C)| u(H) = u(B) + u(D) H = B + D G H Z = G - H u(Z) = u(G) + u(H) u(Z) = |u(A) – u(C)| + u(B) + u(D) Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 40/52)

41 Multiplicação de MC Com correlação direta perfeita:
1 2 Com correlação inversa perfeita: 1 2 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 41/52)

42 Multiplicação de MC Para múltiplos termos: Z = A . B . C . D K = A . C
uR(K) = uR(A) + uR(C) uR(F) = uR(B) + uR(D) L = B . D K L Z = K . L uR(Z) = |uR(K) – uR(L)| uR(Z) = |uR(A) – uR(B) + uR(C) – uR(D)| Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 42/52)

43 Divisão de MC Com correlação direta perfeita:
1 2 Com correlação inversa perfeita: 1 2 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 43/52)

44 Divisão de MC Para múltiplos termos:
B D Z = A . B / (C . D) = (A/C) . (B/D) M = A/C uR(M) = |uR(A) - uR(C)| uR(N) = |uR(B) - uR(D)| N = B/D M N Z = M . N uR(Z) = |uR(M) – uR(N)| uR(Z) = ||uR(A) – uR(C)| - |uR(B) - uR(D)|| Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 44/52)

45 Caso Geral de MC Incerteza máxima possível
= coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado analitica ou numericamente Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 45/52)

46 Caso Geral de MC Incerteza máxima possível
u(A) = 3 e u(B) = 4 (a) Não correlacionadas: (b) Correlação direta: u(G) = u(A) + u(B) = = 7 (c) Correlação inversa: u(G) = |u(A) - u(B)| = |3 – 4| = 1 (d) Máxima possível: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 46/52)

47 7.4 Estimativa da Incerteza Combinada Quando o Coeficiente de Correlação é Conhecido

48 Caso Geral = coeficiente de sensibilidade
Pode ser calculado analitica ou numericamente Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 48/52)

49 Medições correlacionadas e não correlacionadas
Para múltiplos termos: C D B A G = A + B + C + D r A B C D +1 -1 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 49/52)

50 Medições correlacionadas e não correlacionadas
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 50/52)

51 Medições correlacionadas e não correlacionadas
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 51/52)

52 Correlação parcial com r(h, α) = -0,5
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 52/52)