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Informática Teórica Engenharia da Computação. Fecho sob as operações regulares Agora retornamos ao fecho da classe de linguagens regulares. Agora retornamos.

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1 Informática Teórica Engenharia da Computação

2 Fecho sob as operações regulares Agora retornamos ao fecho da classe de linguagens regulares. Agora retornamos ao fecho da classe de linguagens regulares. O uso de não-determinismo torna as provas muito mais fáceis. O uso de não-determinismo torna as provas muito mais fáceis.

3 Operações Regulares Teorema: A classe de linguagens regulares é fechada sob a operação de união. Teorema: A classe de linguagens regulares é fechada sob a operação de união. Em outras palavras, se A 1 e A 2 são linguagens regulares, o mesmo acontece com A 1 A 2. Em outras palavras, se A 1 e A 2 são linguagens regulares, o mesmo acontece com A 1 A 2. Idéia da Prova: Se A 1 e A 2 são linguagens regulares, então existem AFNs N 1 e N 2 que as reconhecem, respectivamente. Idéia da Prova: Se A 1 e A 2 são linguagens regulares, então existem AFNs N 1 e N 2 que as reconhecem, respectivamente. Vamos fazer uma nova prova. Vamos construir um AFN N, que reconheça A 1 A 2, a partir de N 1 e N 2. Vamos fazer uma nova prova. Vamos construir um AFN N, que reconheça A 1 A 2, a partir de N 1 e N 2.

4 União N 1 = (Q 1, 1, 1, q 1, F 1 ) reconhece A 1 N = (Q,,, q 0, F) reconhece A 1 A 2 Q = Q 1 Q 2 {q 0 } (q,a) = F = F 1 F 2 N 2 = (Q 2, 2, 2, q 2, F 2 ) reconhece A 2. 1 (q,a) se q Q 1, 2 (q,a) se q Q 2, {q 1,q 2 } se q=q 0 e a= se q=q 0 e a

5 Operações Regulares Teorema: A classe de linguagens regulares é fechada sob a operação de concatenação. Teorema: A classe de linguagens regulares é fechada sob a operação de concatenação. Idéia da Prova: Se A 1 e A 2 são linguagens regulares, então existem AFNs N 1 e N 2 que as reconhecem, respectivamente. Idéia da Prova: Se A 1 e A 2 são linguagens regulares, então existem AFNs N 1 e N 2 que as reconhecem, respectivamente. Vamos construir um AFN N, que reconheça A 1 A 2, a partir de N 1 e N 2. Vamos construir um AFN N, que reconheça A 1 A 2, a partir de N 1 e N 2.

6 Concatenação N 1 = (Q 1, 1, 1, q 1, F 1 ) rec. A 1 N 2 = (Q 2, 2, 2, q 2, F 2 ) rec. A 2. N = (Q,,, q 1, F 2 ) reconhece A 1 A 2 Q = Q 1 Q 2 (q,a) = 1 (q,a) se q Q 1 e q F 1 1 (q,a) se q F 1 e a 1 (q,a) {q 2 } se q F 1 e a 2 (q,a) se q Q 2

7 Operações Regulares Teorema: A classe de linguagens regulares é fechada sob a operação estrela. Teorema: A classe de linguagens regulares é fechada sob a operação estrela. Idéia da Prova: Se A 1 é uma linguagem regular, então existe um AFN N 1 que a reconheça. Idéia da Prova: Se A 1 é uma linguagem regular, então existe um AFN N 1 que a reconheça. Vamos construir um AFN N, que reconheça A 1 *, a partir de N 1. Vamos construir um AFN N, que reconheça A 1 *, a partir de N 1.

8 Operação Estrela Podemos construir N como N1 com setas adicionais retornando ao estado inicial a partir dos estados de aceitação. Podemos construir N como N1 com setas adicionais retornando ao estado inicial a partir dos estados de aceitação. Adicionalmente, temos que modificar N de tal forma que ele aceite, que é sempre um membro de A*. Adicionalmente, temos que modificar N de tal forma que ele aceite, que é sempre um membro de A*. Uma idéia (levemente má) é simplesmente adicionar o estado inicial ao conjunto de estados de aceitação. Uma idéia (levemente má) é simplesmente adicionar o estado inicial ao conjunto de estados de aceitação. O que você acha dessa abordagem? O que você acha dessa abordagem?

9 Fecho N 1 = (Q 1, 1, 1, q 1, F 1 ) N = (Q,,, q 0, F) reconhece A 1 * Q = Q 1 {q 0 } F = F 1 {q 0 } (q,a) = 1 (q,a) se q Q 1 e q F 1 1 (q,a) se q F 1 e a 1 (q,a) {q 1 } se q F 1 e a {q 1 } se q = q 0 e a se q = q 0 e a


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